2016-2017学年上海市静安区高三（上）期中数学试卷(带参考答案).docx

2016-2017学年上海市静安区高三（上）期中数学试卷一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分1（5分）已知集合A=x|lnx0，B=x|2x3，则AB= 2（5分）若实数x，y满足约束条件则z=x+3y的最大值等于 3（5分）已知展开式中x3的系数为84，则正实数a的值为 4（5分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 5（5分）设f（x）为R上的奇函数当x0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（1）的值为 6（5分）设P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：（为参数）的点，则|PQ|的最小值为 7（5分）各项均不为零的数列an的前n项和为Sn 对任意nN*，都是直线y=kx的法向量若存在，则实数k的取值范围是 8（5分）已知正四棱锥PABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是 9（5分）设a0，若对于任意的x0，都有，则a的取值范围是 10（5分）若适合不等式|x24x+k|+|x3|5的x的最大值为3，则实数k的值为 11（5分）已知，数列an满足，对于任意nN*都满足an+2=f（an），且an0，若a20=a18，则a2016+a2017的值为 二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12（5分）已知a，bR，则“log3alog3b”是“（）a（）b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件13（5分）已知复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为（）AiB1C1Di14（5分）当时，方程的根的个数是（）A1B2C3D415（5分）曲线C为：到两定点M（2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹以下结论正确的个数为（）（1）曲线C一定经过原点；（2）曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；（3）MPN的面积不大于8；（4）曲线C在一个面积为60的矩形范围内A0B1C2D3三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤16（12分）如图，等腰RtAOB，OA=OB=2，点C是OB的中点，AOB绕BO所在的边逆时针旋转一周（1）求ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；（2）设OA逆时针旋转至OD，旋转角为，且满足ACBD，求17（14分）设函数（1）求函数y=f（x）的最大值和最小正周期；（2）设A、B、C为ABC的三个内角，若，求sinA18（15分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g（n）是生产时间n个月的二次函数g（n）=n2+kn（k是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元（1）求前8个月的累计生产净收入g（8）的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入19（16分）设点F1、F2是平面上左、右两个不同的定点，|F1F2|=2m，动点P满足：（1）求证：动点P的轨迹为椭圆；（2）抛物线C满足：顶点在椭圆的中心；焦点与椭圆的右焦点重合设抛物线C与椭圆的一个交点为A问：是否存在正实数m，使得AF1F2的边长为连续自然数若存在，求出m的值；若不存在，说明理由20（18分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a1=9，a2为整数，且对任意nN*都有SnS5（1）求an的通项公式；（2）设，（nN*），求bn的前n项和Tn；（3）在（2）的条件下，若数列cn满足是否存在实数，使得数列cn是单调递增数列若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由2016-2017学年上海市静安区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分1（5分）已知集合A=x|lnx0，B=x|2x3，则AB=（1，log23）【解答】解：A=x|lnx0=x|x1，B=x|2x3=x|xlog23，则AB=（1，log23）；故答案为：（1，log23）2（5分）若实数x，y满足约束条件则z=x+3y的最大值等于12【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立方程组，解得：A（3，3），化目标函数z=x+3y为y=+，由图可知，当直线y=+过A时，直线在y轴上的截距最大，对应z最大；此时z=3+33=12故答案为：123（5分）已知展开式中x3的系数为84，则正实数a的值为2【解答】解：通项公式Tr+1=x7r=（a）rx72r，令72r=3，解得r=284=（a）2，a0，解得a=2故答案为：24（5分）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于【解答】解：从中随机取出2个球，每个球被取到的可能性相同，是古典概型从中随机取出2个球，所有的取法共有C52=10所取出的2个球颜色不同，所有的取法有C31C21=6由古典概型概率公式知P=故答案为5（5分）设f（x）为R上的奇函数当x0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（1）的值为3【解答】解：根据题意，f（x）为R上的奇函数则有f（0）=0，又由当x0时，f（x）=2x+2x+b，则f（0）=20+b=0，解可得b=1，则x0时，f（x）=2x+2x1，则f（1）=21+21=3，又由函数为奇函数，则f（1）=f（1）=3；故答案为：36（5分）设P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：（为参数）的点，则|PQ|的最小值为【解答】解：由题意，曲线C：，消去参数：可得曲线C的普通方程为：（x1）2+（y+2）2=5直线（t为参数），消去参数t，可得直线的普通方程为：2x+y6=0由曲线C的普通方程为：（x1）2+（y+2）2=5可知圆心为（1，2），半径r=那么：圆心到直线的距离d=可得|PQ|的最小值为：dr=；故答案为：7（5分）各项均不为零的数列an的前n项和为Sn 对任意nN*，都是直线y=kx的法向量若存在，则实数k的取值范围是（，1）（0，+）【解答】解：由题意，数列的公比q满足0|q|1，对任意nN*，都是直线y=kx的法向量，k=+，k（，1）（0，+），故答案为（，1）（0，+）8（5分）已知正四棱锥PABCD的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是【解答】解：如图，正四棱锥PABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO面ABCD，PO交MN于E，则PE=EO，又BDAC，BD面PAC，过A作直线lBD，则lEA，lAO，EAO为所求二面角的平面角又EO=AO=a，AO=a，AE=acosEAO=截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是9（5分）设a0，若对于任意的x0，都有，则a的取值范围是）【解答】解：对于任意的x0，都有，得到，因为，所以，解得a；故答案为：）10（5分）若适合不等式|x24x+k|+|x3|5的x的最大值为3，则实数k的值为8【解答】解：因为x的最大值为3，故x30，原不等式等价于|x24x+k|x+35，即x2x24x+kx+2，则 x25x+k20且x23x+k+20解的最大值为3，设 x25x+k2=0 的根分别为x1和x2，x1x2，x23x+k+2=0的根分别为x3和 x4，x3x4则x2=3，或 x4=3若x2=3，则915+k2=0，k=8，若x4=3，则99+k+2=0，k=2当k=2时，原不等式无解，检验得：k=8 符合题意，故答案为：811（5分）已知，数列an满足，对于任意nN*都满足an+2=f（an），且an0，若a20=a18，则a2016+a2017的值为【解答】解：由题意，an+2=f（an），且an0，a3=，a5=，a7=，a9=，a2017=，an+2=f（an），an+4=f（an+2），an+4=an，即数列的周期为4a20=a18=t，则t=，t2+2t1=0，t0，t=1，a2016=1，a2016+a2017=，故答案为：二、选择题（20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12（5分）已知a，bR，则“log3alog3b”是“（）a（）b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：a，bR，则“log3alog3b”ab0，“（）a（）b，ab，“log3alog3b”“（）a（）b，反之则不成立，“log3alog3b”是“（）a（）b的充分不必要条件，故选：A13（5分）已知复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为（）AiB1C1Di【解答】解：复数z满足（i是虚数单位），1+z=iiz，z=i则z的虚部为1故选：C14（5分）当时，方程的根的个数是（）A1B2C3D4【解答】解：作出y=与y=k（x+1）的函数图象，如图所示：显然当k0时，两图象在（，0）上必有一交点，设y=k（x+1）与y=相切，切点坐标为（x0，y0），则，解得k=，x0=1，y0=1当0时，直线y=k（x+1）与y=有两个交点，直线y=k（x+1）与y=有三个交点故选：C15（5分）曲线C为：到两定点M（2，0）、N（2，0）距离乘积为常数16的动点P的轨迹以下结论正确的个数为（）（1）曲线C一定经过原点；（2）曲线C关于x轴对称，但不关于y轴对称；（3）MPN的面积不大于8；（4）曲线C在一个面积为60的矩形范围内A0B1C2D3【解答】解：设P（x，y），则=16，（1）（0，0）代入，方程不成立，即曲线C一定经过原点，不正确；（2）以x代替x，y代替y，方程成立，即曲线C关于x、y轴对称，不正确；（3）x=0，y=，MPN的最大面积=48，故正确；（4）令y=0，可得x=2，曲线C在一个面积为4=16的矩形范围内，不正确故选：B三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤16（12分）如图，等腰RtAOB，OA=OB=2，点C是OB的中点，AOB绕BO所在的边逆时针旋转一周（1）求ABC旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；（2）设OA逆时针旋转至OD，旋转角为，且满足ACBD，求【解答】解：（1）；（3分）S=2（2）（3分）（2）如图建立空间直角坐标系，得A（2，0，0），C（0，0，1），B（0，0，2）由三角比定义，得D（2cos，2sin，0），（1分）则，（2分），得，0，2），（2分）所以，（1分）17（14分）设函数（1）求函数y=f（x）的最大值和最小正周期；（2）设A、B、C为ABC的三个内角，若，求sinA【解答】解：（1）函数化简可得：=函数y=f（x）的最大值为，最小正周期T=；（2）由，得，0C，0C解得，ABC是直角三角形因此，18（15分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g（n）是生产时间n个月的二次函数g（n）=n2+kn（k是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元（1）求前8个月的累计生产净收入g（8）的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入【解答】解：（1）据题意g（3）=32+3k=309，解得k=100，g（n）=n2+100n，（n5）第5个月的净收入为g（5）g（4）=109万元，所以，g（8）=g（5）+3109=852万元（2）g（n）=即若不投资改造，则前n个月的总罚款3n+=n2+2n，令g（n）500+10070n（n2+2n），得：g（n）+n268n4000显然当n5时，上式不成立；当n5时，109n20+n268n4000，即n（n+41）420，又nN，解得n9所以，经过9个月投资开始见效19（16分）设点F1、F2是平面上左、右两个不同的定点，|F1F2|=2m，动点P满足：（1）求证：动点P的轨迹为椭圆；（2）抛物线C满足：顶点在椭圆的中心；焦点与椭圆的右焦点重合设抛物线C与椭圆的一个交点为A问：是否存在正实数m，使得AF1F2的边长为连续自然数若存在，求出m的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）证明：根据题意，分2种情况讨论：若点P、F1、F2构成三角形，又由，则整理得，即|PF1|+|PF2|=4m（4m2m0）若点P、F1、F2不构成三角形，即P、F1、F2三点共线；也满足|PF1|+|PF2|=4m（4m2m0）所以动点P的轨迹为椭圆（2）根据题意，由（1）可得，动点P的轨迹方程为抛物线的焦点坐标为（m，0）与椭圆的右焦点F2重合假设存在实数m，使得AF1F2的边长为连续自然数因为|PF1|+|PF2|=4m=2|F1F2|，不妨设|AF1|=2m+1，由抛物线的定义可知|AF2|=2m1=xA+m，解得xA=m1，设点A的坐标为（m1，yA），整理得7m222m+3=0，解得或m=3所以存在实数m=3，使得AF1F2的边长为连续自然数20（18分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a1=9，a2为整数，且对任意nN*都有SnS5（1）求an的通项公式；（2）设，（nN*），求bn的前n项和Tn；（3）在（2）的条件下，若数列cn满足是否存在实数，使得数列cn是单调递增数列若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【解答】解：（1）设an的公差为d，由题意得，a2Z，即9+d是整数，d=2an=9+2（n1）=2n11（2）当n为偶数时，当n为奇数时（n3），Tn=b1+（b2+b3）+（b4+b5）+（bn1+bn）=当n=1时也符合上式当n为偶数时，（3），假设cn是单调递增数列，则对任意nN*都成立，当n为奇数时，令f（n）=42n，则f（n）单调递减，f（n）f（1）=，当n为偶数时，令g（n）=42n，则g（n）单调递增，g（n）g（2）=，综上：国产考试小能手