2017-2018学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷(带参考答案).doc

2017-2018学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一.填空题1（3分）函数f（x）=的定义域是 2（3分）函数y=x2+2（1x0）的反函数是f1（x）= 3（3分）设，则f（x）g（x）= 4（3分）若正数a、b满足loga（4b）=1，则a+b的最小值为 5（3分）幂函数f（x）=（t3t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）= 6（3分）函数的单调递减区间是 7（3分）函数y=的值域是 8（3分）设关于x的方程|x26x+5|=a的不同实数解的个数为n，当实数a变化时，n的可能取值组合的集合为 9（3分）对于函数f（x）=x2+ax+4，若存在x0R，使得f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）在x1，3恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围 10（3分）若函数f（x）=|x1|+m|x2|+6|x3|在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是 11（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x2ax+a，其中aRf（1）= ；若f（x）的值域是R，则a的取值范围是 12（3分）已知函数，x1，2的最大值为f（t），则f（t）的解析式为f（t）= 二.选择题13（3分）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）ABy=（x1）2Cy=x2Dy=log0.5（x+1）14（3分）已知函数y=x22x+3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A1，+）B0，2C1，2D（，215（3分）如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）Ay=f（x）是区间（0，+）上的减函数，且x+y4By=f（x）是区间（1，+）上的增函数，且x+y4Cy=f（x）是区间（1，+）上的减函数，且x+y4Dy=f（x）是区间（1，+）上的减函数，且x+y416（3分）若函数f（x）的反函数为f1（x），则函数f（x1）与f1（x1）的图象可能是（）ABCD三.解答题17已知关于x的不等式log2（2x2+3x+t）0，其中tR（1）当t=0时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围18已知函数（x0）（1）求函数f（x）的反函数f1（x）；（2）若x2时，不等式恒成立，求实数a的范围19某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为，x0，24），其中a是与气象有关的参数，且若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）（1）令t=，x0，24），求t的取值范围；（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标20指数函数y=g（x）满足g（2）=4，且定义域为R的函数是奇函数（1）求实数m、n的值；（2）若存在实数t，使得不等式f（t22t）+f（2t2k）0成立，求实数k的取值范围21设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：定义域为R；对任意实数x1、x2（x1x2），都有（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由；（2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）M；（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）=也是M中的元素，并举例说明，G（x）=不一定是M中的元素2017-2018学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1（3分）函数f（x）=的定义域是x|x2且x1【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x1且x2；故函数的定义域为：x|x2且x1，故答案为：x|x2且x12（3分）函数y=x2+2（1x0）的反函数是f1（x）=，x2，3【解答】解：y=x2+2（1x0）x=，2y3，故反函数为，x2，3故答案为：，x2，33（3分）设，则f（x）g（x）=x，x（1，+）【解答】解：，f（x）的定义域是（1，+），g（x）的定义域是1，+），f（x）g（x）=x，x（1，+），故答案为：x，x（1，+）4（3分）若正数a、b满足loga（4b）=1，则a+b的最小值为1【解答】解：根据题意，若正数a、b满足loga（4b）=1，则有a=，即ab=，则a+b2=1，即a+b的最小值为1；故答案为：15（3分）幂函数f（x）=（t3t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）=2【解答】解：函数f（x）=（t3t+1）x3t+1是幂函数，t3t+1=1，解得t=0或t=1；当t=0时，f（x）=x是奇函数，满足题意；当t=1时，f（x）=x4是偶函数，不满足题意；当t=1时，f（x）=x2是偶函数，不满足题意；综上，f（x）=x；f（2）=2故答案为：26（3分）函数的单调递减区间是（2，1【解答】解：要求函数的单调递减区间，需求函数y=，（8+2xx20）的增区间，由8+2xx20可得2x4，对应的二次函数，开口向下，增区间为：（1，4），减区间为：（2，1由复合函数的单调性可知：函数的单调递减区间是：（2，1故答案为：（2，17（3分）函数y=的值域是（1，）【解答】解：函数y=12x+33，0函数y=的值域是（1，） 故答案为（1，）8（3分）设关于x的方程|x26x+5|=a的不同实数解的个数为n，当实数a变化时，n的可能取值组合的集合为0，2，3，4【解答】解：关于x的方程|x26x+5|=a，分别画出y=|x26x+5|与y=a的图象，如图：若该方程没有实数根，则a0；n=0；若a=0，则该方程恰有两个实数解，n=2；若a=4时，该方程有三个不同的实数根，n=3；当0a4，该方程有四个不同的实数根，n=4；当a4，该方程有两个不同的实数根，n=2；n的可能取值组合的集合为0，2，3，4故答案为：0，2，3，49（3分）对于函数f（x）=x2+ax+4，若存在x0R，使得f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）在x1，3恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围【解答】解：根据题意，f（x）=x2+ax+4在1，3恒有两个不同的不动点，得x=x2+ax+4在1，3有两个实数根，即x2+（a1）x+4=0在1，3有两个不同实数根，令g（x）=x2+（a1）x+4在1，3有两个不同交点，即，解得：a，3）；故答案为：，3）10（3分）若函数f（x）=|x1|+m|x2|+6|x3|在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是5，+）【解答】解：当x1时，f（x）=1x+2mmx+186x=19+2m（m+7）x，当1x2时，f（x）=x1+2mm，x+186x=17+2m（m+5）x，f（1）=12+m，2x3时，f（x）=x1+mx2m+186x=172m+（m5）x，f（2）=7，当x3时，f（x）=x1+mz2m+6x18=192m+（m+7）x，f（3）=m+2，若函数f（x）=|x1|+m|x2|+6|x3|在x=2时取得最小值，则解得m5，故m的取值范围为5，+），故答案为：5，+），11（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x2ax+a，其中aRf（1）=1；若f（x）的值域是R，则a的取值范围是（，04，+）【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x2ax+a，其中aR，f（1）=f（1）=（1a+a）=1；若f（x）的值域是R，由f（x）的图象关于原点对称，可得当x0时，f（x）=x2ax+a，图象与x轴有交点，可得=a24a0，解得a4或a0，即a的取值范围是（，04，+）故答案为：1 （，04，+）12（3分）已知函数，x1，2的最大值为f（t），则f（t）的解析式为f（t）=【解答】解：根据题意，函数，其导数g（x）=（t1）+=，令h（x）=（t1）x2+4，令h（x）=0，即（t1）x2+4=0可得，x2=，分5种情况讨论，t1时，h（x）=（t1）x2+4为开口向上的二次函数，在1，2上，有h（x）0，则有g（x）0，函数g（x）为增函数，则g（x）在1，2上的最大值为g（2）=2（t1）=2t4，t=1时，h（x）=4，在1，2上，有h（x）0，则有g（x）0，函数g（x）为增函数，则g（x）在1，2上的最大值为g（2）=2（t1）=2t4，0t1时，h（x）=（t1）x2+4为开口向下的二次函数，且h（0）=4，且h（2）=t0，则在1，2上，有h（x）0，则有g（x）0，函数g（x）为增函数，则g（x）在1，2上的最大值为g（2）=2（t1）=2t4，当3t0时，h（x）=（t1）x2+4为开口向下的二次函数，令h（x）=0，即（t1）x2+4=0可得x=，有12，则有在1，）上，有h（x）0，则有g（x）0，函数g（x）为增函数，在（，2上，有h（x）0，则有g（x）0，函数g（x）为减函数，此时g（x）在1，2上的最大值为g（）=4，当t3时，h（x）=（t1）x2+4为开口向下的二次函数，令h（x）=0，即（t1）x2+4=0可得x=，此时1，在1，2上，有h（x）0，则有g（x）0，函数g（x）为减函数，此时g（x）在1，2上的最大值为g（1）=t5；综合可得：；故答案为：二.选择题13（3分）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）ABy=（x1）2Cy=x2Dy=log0.5（x+1）【解答】解：A.在（0，+）上是增函数，满足条件，By=（x1）2在（，1上为减函数，在1，+）上为增函数，不满足条件Cy=x2在（0，+）上为减函数，不满足条件Dy=log0.5（x+1）在（0，+）上为减函数，不满足条件故选：A14（3分）已知函数y=x22x+3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A1，+）B0，2C1，2D（，2【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，函数f（x）=x22x+3在闭区间0，m上上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是1，2故选：C15（3分）如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（）Ay=f（x）是区间（0，+）上的减函数，且x+y4By=f（x）是区间（1，+）上的增函数，且x+y4Cy=f（x）是区间（1，+）上的减函数，且x+y4Dy=f（x）是区间（1，+）上的减函数，且x+y4【解答】解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，由x+y=xy得：，解得：x+y4再由x+y=xy得：（x1）设x1x21，则=因为x1x21，所以x2x10，x210则，即f（x1）f（x2）所以y=f（x）是区间（1，+）上的减函数，综上，y=f（x）是区间（1，+）上的减函数，且x+y4故选：C16（3分）若函数f（x）的反函数为f1（x），则函数f（x1）与f1（x1）的图象可能是（）ABCD【解答】解：函数f（x1）是由f（x）向右平移一个单位得到，f1（x1）由f1（x）向右平移一个单位得到，而f（x）和f1（x）关于y=x对称，从而f（x1）与f1（x1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x1，排除B，D；A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得：A选项有可能，C选项排除；故选：A三.解答题17已知关于x的不等式log2（2x2+3x+t）0，其中tR（1）当t=0时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围【解答】解：（1）关于x的不等式log2（2x2+3x+t）0，当t=0时，不等式为log2（2x2+3x）0，即02x2+3x1，等价于，解得，即0x或1x；不等式的解集为（0，）（1，）；（2）不等式log2（2x2+3x+t）0有解，02x2+3x+t1，化为2x23xt2x23x+1；设f（x）=2x23x，xR，f（x）min=f（）=，且f（x）无最大值；实数t的取值范围是（，+）18已知函数（x0）（1）求函数f（x）的反函数f1（x）；（2）若x2时，不等式恒成立，求实数a的范围【解答】解：（1）y=（）2=（1+）2（x0）y1（2分）由原式有：=，x+1=xx=（2分）f1（x）=，x（1，+）（2分）（2）（x1）f1（x）a（a）（x1）a（a）（x0）（+1）（1）a（a）+1a2a（a+1）a21（2分）当a+10即a1时a1对x2恒成立1a+1当a+10即a1时a1对x2恒成立a+1此时无解（3分）综上1a+1（1分）a19某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为，x0，24），其中a是与气象有关的参数，且若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）（1）令t=，x0，24），求t的取值范围；（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（5分），第2小题满分（9分）解：（1）当x=0时，t=0； （2分）当0x24时，因为x2+12x0，所以，（4分）即t的取值范围是 （5分）（2）当时，由（1），令，则，（1分）所以=（3分）于是，g（t）在t0，a时是关于t的减函数，在时是增函数，因为，由，所以，当时，；当时，即（6分）由M（a）2，解得 （8分）所以，当时，综合污染指数不超标 （9分）20指数函数y=g（x）满足g（2）=4，且定义域为R的函数是奇函数（1）求实数m、n的值；（2）若存在实数t，使得不等式f（t22t）+f（2t2k）0成立，求实数k的取值范围【解答】解：（1）指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，g（x）=2x；f（x）=是奇函数f（x）是奇函数，f（0）=0，即=0，n=1；f（x）=，又由f（1）=f（1）知=，m=2；（2）由（1）知f（x）=+易知f（x）在（，+）上为减函数又f（x）是奇函数，从而不等式：f（t22t）+f（2t2k）0等价于f（t22t）f（2t2k）=f（k2t2），f（x）为减函数，t22tk2t2，k3t22t=3（t）2，k21设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：定义域为R；对任意实数x1、x2（x1x2），都有（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由；（2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）M；（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）=也是M中的元素，并举例说明，G（x）=不一定是M中的元素【解答】解：（1）函数f（x）=x2的定义域为R，由f（x1）+f（x2）=x12+x22，f（x1+x2）=（x1+x2）2=x12+x1x2+x22，f（x1+x2）f（x1）f（x2）=x12+x1x2x22=（x1x2）20，即有f（x1+x2）f（x1）+f（x2），则函数f（x）=x2为M中元素；（2）证明：函数f（x）是奇函数，定义域为R，且f（x）=f（x），图象关于原点对称，若x0时，f（x1+x2）f（x1）+f（x2），则x0时，f（x1+x2）f（x1）+f（x2），则条件不满足，则f（x）M；（3）证明：设f（x）和g（x）都是M中的元素，当x1，x2对应的点在f（x）或g（x）的图象上，由题设可得结论成立；若x1，x2对应的点一个在f（x）图象上，一个在g（x）的图象上，由f（x1）+g（x2）g（x1）+g（x2）g（x1+x2），或f（x1）+g（x2）f（x1）+f（x2）f（x1+x2），由题设可得结论成立，综上可得F（x）=也是M中的元素；比如：f（x）=x2，g（x）=（x+3）2，如x1.5，可得G（x）=x2，x1.5，可得G（x）=（x+3）2，取x1=2，x2=1，可得x1+x2=，G（）=，f（x1）+f（x2）=+=1，可得f（x1+x2）f（x1）+f（x2），则G（x）不一定为M中的元素国产考试小能手