极值点偏移问题专题.pdf

-极值点偏移问题专题（极值点偏移问题专题（0)0)偏移新花样（拐点偏移）偏移新花样（拐点偏移）例例 1 1 已知函数fx 2ln x x2 x，若正实数x1,x2满足fx1+fx2=4,求证：x1 x2 2。证明证明:注意到f1=2，fx1+fx2=2f1fx1+fx2=2f12f x=+2x1 0 x2f x=22,f 1=0,则（1,2）是fx图像的拐点，若拐点（1,2)也是fx的对x称中心,则有x1 x2=2，证明x1 x2 2则说明拐点发生了偏移,作图如下想到了“极值点偏移”,想到了“对称化构造”,类似地,不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理.不妨设0 x11 x2，要证x1 x2 2 x2 2 x11 fx2 f2 x1 4 fx1 f2 x1 4 fx1 f2 x1Fx fx f2x,x0,1,则Fx f x f 2 x 222x122 x1x2 x-1 41 x1x2 x 0,得Fx在0,1上单增,有Fx F1 21 4,得证。、极值点偏移、极值点偏移 PKPK 拐点偏移常规套路拐点偏移常规套路1、极值点偏移(f x0 0)二次函数fx1 fx2 x1 x2 2x02、拐点偏移f x00fx1 fx2 x2 2x0 x1 x1 x2 2x0fx1 fx2 2fx0 x1 x2 2x0fx1 fx22fx0 x22x0 x1 x1x22x0极值点偏移问题专题极值点偏移问题专题(1)(1)对称化构造对称化构造(常规套路）常规套路）例例 1 1(010 天津）已知函数fx xex(1）求函数fx的单调区间和极值;（2）已知函数gx的图像与fx的图像关于直线x 1对称，证明:当x 1时，-fx gx;（3）如果x1 x2,且fx1 fx2，证明:x1 x2 2.点评:该题的三问由易到难，层层递进,完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法对称化构造的全过程，直观展示如下:x例是这样一个极值点偏移问题：对于函数fx xe，已知fx1 fx2，x1 x2，证明x1 x2 2.再次审视解题过程，发现以下三个关键点:(1）x1，x2的范围0 x11 x2；（2）不等式fx f2 xx 1;-(3)将x2代入（2)中不等式，结合fx的单调性获证结论.把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题例例 2 2(2016 新课标卷）已知函数fxx2exax1有两个零点2()求a的取值范围;(2)设x1,x2是fx的两个零点，证明:x1 x2 2.解:（1)0,过程略；（2)由（1)知fx在,1上，在1,上，由fx1 fx2 0,可设x11 x2.构造辅助函数Fx fx f2 xx1ex2a1 xe2x2ax1exe2x当x 1时,x1 0，e exFx f x f 2 x2x 0，则Fx0，得Fx在,1上,又F1 0,故Fx 0 x 1,即fx f2 xx 1将x1代入上述不等式中得fx1 fx2 f2 x1,又x21,2 x11，fx在1,上,故x1 2 x1,x1 x2 2通过以上两例,相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解.但极值点偏移问题的结论不一定总是x1 x22x0,也可以是x1x2x0,借鉴前面的2解题经验,我们就可给出类似的过程.例例3 3已知函数fx xlnx的图像与直线y m交于不同的两点Ax1,y1,Bx2,y2,求证:x1x212e1e,在,上证明:（i）f x lnx1,得fx在0,上1e;当0 x 1时,fx 0;f1 0；当x 1时，fx 0；当x0时,fx0（洛必达法则）;-当x时,fx，于是fx的图像如下,得0 x11 x21e小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步:ste1：求导，获得fx的单调性,极值情况，作出fx的图像，由fx1 fx2得x1，x2的取值范围(数形结合）；sep2:构造辅助函数（对结论x1 x22x0，构造Fx fx f2x0 x；对结论x1x2x获得不等式;ste3：代入x1(或x2）,利用fx1 fx2及fx的单调性证明最终结论20,构造2 x0Fx fx f),求导，限定范围(x1或x2的范围），判定符号，x-