高中数学(北师大版)必修1知识点.pdf
数学必修 1 知识点1.集合的基本运算；2.集合的包含关系:；3.识记重要结论：AB AA B;AB A A B;CUABCUACUB;CUABCUACUB24对常用集合的元素的认识A x x23x4 0中的元素是方程x 3x4 0的解，A即方程的解集；Bx|x60中的元素是不等式x60的解，B即不等式的解集；C y y x22x1,0 x 5中的元素是函数y x 2x1,0 x 5的函数值，2C即函数的值域；D x y log2x 2x1中的元素是函数y log2x22x1的自变量，D即函数的定义域；M 2x,yy 2x3中的元素可看成是关于x,y的方程的解集，也可看成以方程ny 2x3的解为坐标的点，M为点的集合，是一条直线。nnn5.集合a1,a2,an的子集个数共有2个；真子集有21 个；非空子集有21 个；非空的真子集有22 个.6.方程ax bx c 0(a 0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0，或f(k1)0且k1 22k k2k k2bb1 k2.,或f(k2)0且12a222a二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一：一：看开口方向开口方向；二：二：看对称轴对称轴与所给区间的相对位置与所给区间的相对位置关系。7.闭区间上的二次函数的最值问题：二次函数f(x)ax bx c(a 0)在闭区间p,q上的最值只能在x 8.ab处及区间的两端点处取得。2afxafxmax；a fxafxmin9.由不等导相等的有效方法：假设a b且a b，则a b.函数一、函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域注：1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；3)对数式对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5 指数为零底不可以等于零，2.相同函数的判断：定义域一致 表达式相同与表示自变量和函数值的字母无关3.值域:先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法1 方程f(x)0有实数根函数y f(x)的图象与x轴有交点函数y f(x)有零点2、函数零点函数零点的求法：1 代数法求方程f(x)0的实数根；2 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点3、二次函数的零点二次函数的零点：二次函数y ax bx c(a 0)1，方程ax bx c 0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点2，方程ax bx c 0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个零点3，方程ax bx c 0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点1.1.函数的单调性 1设x1 x2a,b,x1 x2那么2222f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是增函数；x1 x2f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是减函数.(x1x2)f(x1)f(x2)0 x1 x2(x1x2)f(x1)f(x2)02单调性性质：增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。2.2.复合函数单调性的判断方法：如果函数f(x)和g(x)都是减函数增函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数增函数;对于复合函数y f g(x)的单调性，必须考虑y f(u)与u g(x)的单调性，从而得出y f g(x)的单调性。y fuy f u gxgx增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数减函数增函数减函数3 3函数的奇偶性注：奇偶函数大前提大前提：定义域必须关于原点对称小结：同同增增异异减减。研究函数的单调性，定义域优定义域优先考虑。先考虑。且复合函数的单调区间是它的定义域的某个子区间。假设f(x)是偶函数，则fx fx fx；偶函数的图象关于 y 轴对称；偶函数在对称区间上的单调性相反。如果一个奇函数在x 0处有定义，则f(0)0；奇函数的图象关于原点对称；奇函数在对称区间上的单调性相同。判断函数奇偶性可用定义的等价形式：fx fx 0或者fx 1fx 0fx奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数（5）两个奇函数之和差为奇函数；之积商为偶函数。（6）两个偶函数之和差为偶函数；之积商为偶函数。7一个奇函数与一个偶函数的积商为奇函数。8两个函数y f(u)和u g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。4.函 数y f(x)的 图 象 的 对 称 性：函 数y f(x)的 图 象 关 于 直 线x a对 称 f(a x)f(a x)f(2a x)f(x).5.两个函数图象的对称性(1)函数y f(x)与函数y f(x)的图象关于直线x 0(即y轴)对称.(2)函数y f(x)与函数y f(x)的图象关于直线y 0(即x轴)对称.(3)指数函数y a和yxlogax的图象关于直线 y=x 对称.16.假设将函数y f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y f(x a)b的图象7.互为反函数的两个函数的关系：f(a)b f(b)a.8.几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型(1)正比例函数f(x)kx,f(x y)f(x)f(y),f(1)k.(2)指数函数f(x)a,f(x y)f(x)f(y),f(x y)f(x)f(y),f(1)a 0.(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f()f(x)f(y),.xxyf(a)1(a 0,a 1)(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).12.分数指数幂：(1)a(2)amnmnnama 0,m,nN，且n 1;1amna 0,m,nN，且n 1.n13根式的性质:(na)a；当n为奇数时，nan a；当n为偶数时，an|a|14有理指数幂的运算性质(1)a a arrsrsrna,a 0.a,a 0(a 0,r,sR);(2)(ar)s ars(a 0,r,sR);(3)(ab)a b(a 0,b 0,rR).15.指数式与对数式的互化式：logaN b ab N(a 0,a 1,N 0).16.对数的换底公式：logaN 推论logamb nrlogmN(a 0,且a 1,m 0,且m 1,N 0).logmanlogab(a 0,且a 1,m,n 0,且m 1,n 1,N 0).mloga1 0；17对数有关性质：logab的符号有口诀“同正异负”记忆；logaa 1；(3)对数恒等式：alogaN Na 0,a 1,N 0(4)logabm mlogab；22(5)设函数f(x)logm(ax bx c)(a 0),记 b 4ac.假设f(x)的定义域为R,则a 0，且 0;假设f(x)的值域为R,则a 0，且 0.对于a 0的情形,需要单独检验.；9.幂函数，指数函数，对数函数的图像及性质分析y 表 11y xy x2y x3y xx幂函数y x(R)12第一象限性质过定点表2定值 0减函数过点 1，1 后，|越大，图像下落的越快01 1增函数1图像是向上凸的图像是向下凸的0，0,1，1对数函数1，1指数函数y aa 0,a 1xy logaxa 0,a 1x0，+xRy0，+0 a 1yRa 10 a 1a 1图象过定点0，,1减函数增函数减函数过定点1，,0增函数0 x 1时，y 0；x 0时，y 1；0 x 1时，y 0；x 0时，0 y 1；x 0时，y 10 y 1x 1时，y 0 x 0时，x 1时，y 0a ba ba ba b
