解微分方程欧拉法-R-K法及其MATLAB实例.pdf

-解微分方程的欧拉法，龙格解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法及其库塔法及其ATLATLB B 简简单实例单实例欧拉方法欧拉方法（lermethod)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解分为前进 EULER 法、后退 EULER 法、改进的 EULE法。缺点:欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。改进欧拉格式：为提高精度,需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。算法为：微分方程的本质特征是方程中含有导数项,数值解法的第一步就是设法消除其导数值。对于常微分方程:xa,b(a)=y0可以将区间,分成 n 段，那么方程在第 xi 点有 y（xi)=f（,y（xi)，再用向前差商近似代替导数则为：在这里，是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据i 点和 y点的数值计算出i+1 来：i=,1,2,L这就是向前欧拉格式。改进的欧拉公式：将向前欧拉公式中的导数 f（i,yi）改为微元两端导数的平均，即上式便是梯形的欧拉公式。-可见,上式是隐式格式,需要迭代求解。为了便于求解，使用改进的欧拉公式：数值分析中，龙格龙格-库塔法库塔法（Rnge-Kutta)是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。实际上,龙格-库塔法是欧拉方法的一种推广,向前欧拉公式将导数项简单取为（n,yn),而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数的平均。龙格龙格-库塔方法的基本思想库塔方法的基本思想:在区间xn，n+1内多取几个点,将他们的斜率加权平均,作为导数的近似。龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用,以至于经常被称为“K4”或者就是“龙格库塔法”。令初值问题表述如下。则，对于该问题的 RK4 由如下方程给出：其中这样，下一个值(y+1)由现在的值（yn)加上时间间隔（h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均:k是时间段开始时的斜率;k2 是时间段中点的斜率,通过欧拉法采用斜率 k1 来决定 y 在点 tn h/2 的值；k3 也是中点的斜率,但是-这次采用斜率k决定y值；k是时间段终点的斜率,其y值用k3决定。当四个斜率取平均时,中点的斜率有更大的权值：RK4 法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶,而总积累误差为h4阶。注意上述公式对于标量或者向量函数（y可以是向量）都适用。例子：下面给出了数值求解该微分方程的简单程序。其中 y1,y2，y,4 分别为向前欧拉公式,改进的欧拉公式，4 级 4 阶龙格库塔公式及精确解。h0;=0:；y1=zrs(size(x)；y1(1)=1;y2=zeros(size（x)）;y2(1)；y3zo(sze()；y3(1)=1;or1=2:lengt(x）1(i1)=y1(i1-1)+(y1(i-1）(11）y1(1-）);1y(i1-1）-2*x(i1-1）y2(i11）;k2=y2(i1-1）+*k12x（)/(y2(i1-1)+hk1）;y2(i)y2(11)+*(k1+k2)/;1=y2(i1)-*x(i1-1)/y2(-1）；k2y2（i1-）+hk/2-2（x(11)h/2）/（2(1)+h*k1/2);k32(i1-)h*k2/2-（x(1-)h/2）(y2(i-1）+h*/2）;k4=2(i1-1)+h*3-2*(x(i1-）+)(2（i1-)+h*k3);y3(i1)=y3(i)+（k12*k2+2*k3k)*h/6;edy4=sqrt（+2*x);%pl(，y1,x，y2,x,y,x,y4)%ged(y1,y,y,)plot(，4-y1,y4-y2,x,y4-y3)eged(y,2,3)-