高二数学选修2教案空间向量及其运算第5课时.pdf
高中数学3.1.53.1.5空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示【学情分析】【学情分析】：平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。【教学目标】【教学目标】：（1）知识与技能：知识与技能：能用坐标表示空间向量（2）过程与方法：过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算（3）情感态度与价值观：情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。【教学重点】【教学重点】：空间向量的坐标运算【教学难点】【教学难点】：空间向量的坐标运算【课前准备】【课前准备】：课件【教学过程设计】【教学过程设计】：教学环节一温故知新平面向量的坐标运算1空间向量的直角坐标运算律z教学活动设计意图（1）若a (a1,a2,a3)，A(a1,a2,a3)b(b1,b2,b3)，则kixOjB(b1,b2,b3)yab (a1b1,a2b2,a3b3)，ab (a1b1,a2b2,a3b3)，a (a1,a2,a3)(R)，二新课讲授（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则注重类比学习，举一反三，在平面向量中有坐标运算，空间向量中也有，运算规律和结论的本质是一样的。AB (x2 x1,y2 y1,z2 z1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。2数量积：即ab=a1b1 a2b2 a3b33夹角：cos ab a1b1a2b2a3b3ab222222|a|b|a1a2a3b1b2b34模长公式：若a (a1,a2,a3)，高中数学高中数学则|a|aa a1a2a32225平行与垂直：a/b a1b1,a2b2,a3b3(R)a b ab 0 a1b1a2b2a3b3 06距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则|AB|AB(x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)2，或dA,B(x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)2例 1如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成的角的余弦值。解：不妨设正方体的棱长为1，分别以DA，DC，A A1 1D D1 1F F1 1E E1 1B B1 1C C1 12DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,1,0)，E1(1,A AD DC CB B三典例讲练31,1)，D(0,0,0)，F1(0,1)44将空间向量的运算与向量11所以BE1(0,1)，DF1(0,1)的坐标表示结合起来，不仅44|BE1|151717BE DF，|DF，|111164415，171517F FB B1 1E EO OC CA AB BC C1 1可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单。所以cos BE1,DF1因此，BE1与DF1所成角的余弦值是例 2如图，正方体D D1 1A A1 1ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF DA1证明：不妨设正方体的棱长为1，分别以DA，DC，DD1高中数学高中数学为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则E(1,1,111111)，F(,1)所以EF (,)，222222又A1(1,0,1)，D(0,0,0)，所以DA)，1(1,0,1所以EF DA1 0，因此EF DA1，即EF DA1四练习巩固课本 P105 练习 1，2，31如图在正方体 AC1中，M、N 分别是 AA1、BB1的中点，求直线 CM 与 D1N 所成的角。ABMDNCA1D1C1B12已知三角形的顶点 A（1，1，1），B（2，1，1），C（1，1，2），这个三角形的面积是（）五拓展与提高A.学习注意触类旁通，举一反三，引进向量的坐标运算式把定性的向量定量化的有效办法。这样可以把向量问题转化为代数问题1012B.101C.2101D.10143已知点A（1，2，3），B=（2，1，2），P（1，1，2）在直线 OP（或延长线上）取一点 P，使SASB最小，求 S的坐标及最小值.解：设 S（k,k,2k)为 OP 上一点，则SB=(1k,2k,32k)SB=(2k,1k,22k)SASB=(1k)(2k)+(2k)(1k)+(32k)(22k)422)33424 4 8k=时，(SASB)min=此时OS=（,）333 3 3=6k216k+10=6(k六小结1空间向量的直角坐标运算律2数量积与夹角高中数学高中数学七作业练习与测试：练习与测试：（基础题）3模长与距离4平行于垂直课本 P106 习题 3.1，A 组 第 8、9、11 题1已知向量a (0,2,1),b (1,1,2),则a与b的夹角为（）A0B45C90D1802已知a (1,0,2),b (6,21,2),若a/b,则与的值分别为（）A,1 111B5，2C,D-5，-2525 2（中等题）3.已知A(3,1,3)，B(1,0,5)，求：（1）线段AB的中点坐标和长度；（2）到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件解：（1）设M是线段AB的中点，则OM AB的中点坐标是(2,3,)，13(OAOB)(2,3,)2232AB(2,4,3)|AB|(2)2 42(3)229（2）点P(x,y,z)到A,B两点的距离相等，则(x 3)2(y 1)2(z 3)2(x 1)2(y 5)2(z 0)2,化简得：4x 8y 6z 7 0,所以，到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件是4x 8y 6z 7 0点评：到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段 AB 的中垂面，若将点P的坐标x,y,z满足的条件4x 8y 6z 7 0的系数构成一个向量a(4,8,6)，发现与AB(2,4,3)共线。4,已知三角形的顶点是A(1,1,1)，B(2,1,1)，C(1,1,2)，试求这个三角形的面积。分析：可用公式S 1|AB|AC|sin A来求面积2解：AB (1,2,2)，AC (2,0,3)，高中数学高中数学|AB|12 22(2)2 3，|AC|(2)20(3)213，ABAC (1,2,2)(2,0,3)26 4，cos A cos AB,AC AB AC44 13|AB|AC|3 13，39sin A sin AB,AC 1cos2 AB,AC 13 10139所以SABC12|AB|AC|sin A 10125已知a (cos,1,sin),b (sin,1,cos)，则向量ab与ab的夹角是（A90B60C30D06已知a (1t,1t,t),b (2,t,t)，则|ab|的最小值是（）A55B555C3 55D1157已知P 3cos,3sin,1和Q 2cos,2sin,1，则PQ的取值范围是（A.0,5B.0,25C.1,5D.1,5高中数学）
