高二数学练习卷极限的四则运算.pdf

分类讨论求极限分类讨论求极限例例已知数列an、bn都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q，其中p q，且p 1，q 1，设cn anbn，Sn为数列Cn的前n项和，求lim（1997 年全国高考试题，理科难度0.33）Sn.nS 1na1pn1b1qn1解：解：Snp1q1Sna1q1pn1 b1p1qn1.Sn1a1q1pn11 b1p1qn11分两种情况讨论；（1）当p 1时，p q 0，故0q1，plimSnnSn1 qn1 1 npa1q11pnb1p1pnpnlimn1 q1 1 pn1a1q1 1b p1n1n1pn11pp pa1q110b1p10a1q110b1p10a1q1 pa1q1 p（2）当p 1时，0 q p 1，limSnnSn1a1q1pn1 b1p1qn1 limnaq1pn11 bp1qn1111a1q101b1p101a1q101b1p101a1q1b1p11.a1q1b1p1说明：说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法自变量趋向无穷时函数的极限自变量趋向无穷时函数的极限例例 求下列极限：x45x21（1）limx1 x22x4x3x2（2）limx2x212x1分析：分析：第（1）题中，当x 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“的一般方法是分子、分母同除以x 的最高次幂，再应用极限的运算法则”型，变形x3x2第（2）题中，当x 时，分式2与都趋向于，这种形式叫“”2x 12x1型，变形的一般方法是先通分，变成“0”型或“”型，再求极限05112442x 5x 1xx解：解：（1）lim lim24x1 x 2xx112x4x251lim1lim2lim41001xxxxx.112lim4lim2lim2002xxxxxx3x2x3(2x1)x2(2x21)（2）lim2 limx2x21x2x1(2x 1)(2x1)x x limx(2x21)(2x1)x11(22)(2)xx1lim(1)101xx11lim(22)lim(2)(20)(20)4xxxx说明：说明：“”型的式子求极限类似于数列极限的求法 lim3211x无穷减无穷型极限求解无穷减无穷型极限求解例例求极限：（1）lim(1 x x 1 x x)x22（2）lim(1 x x 1 x x)x22分析：分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限解：解：（1）原式xlim2x1 x x2 1 x x2xlim2 x21 x x2 1 x x2 2xlim111 1.x2x1x21x1（2）原式xlim2x1 x x2 1 x x22xlim111.x21x1x21x1说说明明：当x 0时，x x22x1 x x2 1 x x221 2111x2xx21x1利用运算法则求极限利用运算法则求极限例例计算下列极限：（1）limn1n214n217n213n2n21；（2）11nlim391n11 2713n.（1992 年全国高考试题，文科难度0.63）因此，1n3n1解解：（1）原式 lim22nn 11323n nn3.lim limn2n21n2222nn111 33 lim（2）原式n11311 lim1n43n1110.44说明：说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的：（1）原式 lim（2）原式143n2limlimnn21nn21nn2111111111n113 limlimlimlim10 n3n9n27n3n39271413用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限p111n例例设pN*，求limn1n11分析：分析：把1np1用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得1解：解：1n11n1np1p11C1p11122p11p1Cp()C1p1()nnn1121p11p C1Cp1()2C3p1p1Cp1()nnn11nlimn1np11 C1p1 p1或：逆用等比数列求和公式：p1121原式 lim111 1 nnnn111 p1 p1个1说明：说明：要注意 p 是与 n 无关的正整数，1np1不是无限项，对某些分式求极限应先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等零乘无穷型转化为无穷除无穷型零乘无穷型转化为无穷除无穷型例例求lim(n1n)n.n分析：分析：当n时，所求极限相当于0型，需要设法化为我们熟悉的解：解：lim(n1n)nn型 lim lim(n1n)(n1n)nn(n1n)nnn1n11 lim.n2111n说明：说明：对于这种含有根号的0型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实现 如本题是通过分子有理化，从而化为n，即为型，也可以将分子、分母同除以nn1n的最高次幂即n，完成极限的计算根据极限确定字母的范围根据极限确定字母的范围4n1例例已知limn2，求实数 m 的取值范围n4(m2)n16分析：分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决4n解：解：limn2 limnn4n(m2)1m2164n116于是m21，即4 m2 4,6 m 241m2说明：说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由lim可知，的nn164m2164极限必为 0，而qn 0的充要条件是q 1，于是解不等式1nm214零比零型的极限零比零型的极限10例例求limx01 x 1x1001 x 1分析：分析：这是一个型的极限，显然当x 0时，直接从函数分子、分母中0 x约去 x 有困难，但是101 x 1当x 0时也趋近于 0，此时 x 化为(101 x)101，这就启发我们通过换元来解决这一难题，即设y 101 x，则x y1解：解：设y 101 x，则x y1，于是，当x 0时，y 1原式 limy11010y111 lim1098y1y1y y y110说明：说明：本题采用的换元法是把x 0化为y1 0，这是一种变量代换灵活地运用这种代换，可以解决一些0型的极限问题0 x21例如对于lim，我们一般采用因式分解，然后约去x1，得到lim(x1)2 其x1x1x1实也可以采用这种代换，即设t x1，则当x 1时，t 0，这样就有x21(t 1)21lim lim lim(t 2)2.x1x 1t0t0t组合与极限的综合题组合与极限的综合题nC2例例limnn()nC12n2A0B2C11D24分析分析：将组合项展开后化简再求极限nC2解：解：limnnnC12n2(2n)!(n1)!(n1)!limnn!n!(2n2)!(n1)2 limn(2n1)(2n2)n22n11 lim2.n4n 6n24故应选 D说明：说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念高考填空题高考填空题1计算lim(nnn)_.n22若数列an的通项公式是an3计算：lim(n1(nN*)，则lim(a1n2an)_.nn(n1)n3n)_.n1n22nn22n lim111解析limnn2nn2n2n2nn2 e21说明：利用数列极限公式lim1 e，把原题的代数式稍加变形即可获解本题nn主要考查灵活运用数列极限公式的能力2解析an11,a1.n(n1)211limn2n2n(n1)1113 lim()1.n21221n说明：本题的思考障碍点是如何求a1？只要懂得在通项公式中令n 1，可立得a1的具体值，本题考查数列极限的基本知识3解析lim(nn 3n)n 1n122 lim(1)nn12nn1 e2说明：本题考查数列极限公式的应用根据已知极限和四则运算求其它极限根据已知极限和四则运算求其它极限例例若lim2nan1，且liman存在，则lim(1n)an _.nnnA0B11CD不存在22分析：分析：根据题设知nan和an均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论解：解：lim2nan1,limnan存在,nnlimannlim2nannn lim1 0 liman 0n2nnn又lim2nan1,limnan12nnlim(1n)an lim(annan)limanlimnan 0nn1122即lim(1n)an.n12选 C说明：说明：liman是关键，不能错误地认为liman 0，lim(1n)an 0nnn两个数列an、差、积存在极限的充分条件 但bn的极限存在是两个数列的和anbn的极限不一定存在化简表达式再求数列的极限化简表达式再求数列的极限例例求下列极限（1）lim572n13222nn21n 1n 1n 11111n393（2）limn1111n242（3）limn11 n 131111145n2分析：分析：先运用等差数列、等比数列的前 n 项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算解：解：（1）原式 lim357(2n1)2nn 121n(n2)n1 lim2 limnn 1n112nn1 1 4lim3（2）原式 limnnnn311121 22311 23n1lim1lim 4nn34 103n33 1041lim1limnn2（3）原式 limnnn2 3 4n12n 2.limn3 4 5n2n2说说 明明：先 化 简，再 求 极 限 是 求 极 限 经 常 用 到 的 方 法，不 能 认 为2n135lim2 0,lim2 0,lim2 0而得到（1）的结果是 0nn 1nn 1nn 1无穷比无穷和字母讨论的数列极限无穷比无穷和字母讨论的数列极限例例求下列极限：2n153n11an(a 0)（1）lim（2）limn32n43nn1an分析：分析：第（1）题属“”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子 第（2）题中当 a 的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论22 1522n153n3解：解：（1）原式 lim limnn32n43nn23 4322lim lim15n3n2015 15.n304423lim lim4n3n1 an11 lim 0，（2）当0 a 1时，limn1 ann11nn111lim lim1na1anan01 1.当a 1时，lim limnnn1 ann01111lim lim1nnaa说明：说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为nnliman 0n根据极限确定等比数列首项的取值范围根据极限确定等比数列首项的取值范围例例已知等比数列an的首项为a1，公比为 q，且有lim值范围分析：分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知limq存在，因此可得q 的取值范围，nn a11qn2，求a1的取n1q从而确定出a1的取值范围解：解：由lim a11nlimq，得存在qn 2nn1qq 1且q 0或q 1 当q 1时，有a11，1q2q 2a11，2a1 1解得0 a11，又q 0，因此a112当q 1时，这时有lim a111，a13n221或a132综上可得：0 a11，且a1说明：说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑 q 的特点，容易将q 0这一条件忽视，从而导致错误求函数在某一点处的极限求函数在某一点处的极限例例求下列极限：3x22x3（1）lim3x2x24x 22x217x35（2）lim2x5x 13x40sin2x（3）limx01cos3x（4）lim612x3x3x 90”型，必须先对函数变形，然后施行四0分析：分析：第（1）题中，x 2在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；（2）、（3）两个极限分子、分母都趋近于0，属“则运算；（4）为“”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算3x22x33x22x3解：解：（1）lim3 lim2lim3x2x24x2x2x 2x 4x 2lim(3x2)x22lim(x 4)x2lim2x3x2lim(x 2)x233limxlim2x2x2limx lim4x2x232limx3limx lim2x2x2x233222228132312 42 255.2x217x35(x5)(2x7)2x72(5)7（2）lim2 lim lim 1.x5x 13x40 x5(x5)(x8)x5x8(5)8sin2x1cos2x1cos（3）lim lim lim22x01cos3xx0(1cosx)(x01cosxcos x)1cosxcos x112.1113（4）lim6(x3)611112 lim.lim2x3x3x3x3x 9x 9x333616不存在，lim2也不存在，因此（4）式的x3x3x3x 90极限不存在（4）属于“”型，一般要先对函数式进行变形，变为“”型或“”0说明：说明：不能错误地认为，由于lim型，再求极限函数在某一点处零比零型的极限函数在某一点处零比零型的极限例例求下列极限：（1）limtan xsin x1x（2）limx2x113xsin3x分析：分析：第（1）题中，当x 1时，分子、分母的极限都是 0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有：对多项式进行因式分解；对无理式分子或分母有理化；对三角函数式（如第（2）题，先进行三角恒等变换，再约分解：解：（1）原式 limx1(1x)(1x)(13x 3x2)(1x)(1x x)(1x)3332(1 x)(13x 3x2)limx1(1 x)(1x)(13x 3x2)1113 lim.x11121xsin xsin xsin xsin xcos（2）原式 limcosx3 lim3x2x2sin xsin xcosx1cos1 limx2sin2xcosx2(1cosx)cosx11.(11)12 lim说明：如果分子、分母同乘以13x，对（1）式进行变形，思维就会受阻，正确的方法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是(13x 3x2)本卷由100 测评网整理上传，专注于中小学生学业检测、练习与提升.