高考安徽文科数学试题及答案解析.pdf
20132013 年高考（安徽卷文科数学）年高考（安徽卷文科数学）试卷总评2013 年安徽文科数学相对于2012 年的难度来说有所加大。从试卷命题特点方面：（1）对主干知识（函数、数列、圆锥曲线、立体几何、三角函数、概率统计）的重点考查，尤其是函数，考了四道小题，一道大题，而且函数小题两道是以压轴题的形式出现；（2）注重能力的考查：一方面在知识的交汇处命题，如第19 题；另一方面重视对数学能力和思想方法的考查，如计算能力考查（第9,13,17,21 题），转化思想的考查（第8,10,20 题），数形结合的考查（第 6，8，10 题）等等；（3）注重理论联系实际，如第 17 题概率统计；（4）注重对创新意识的考查，如第21 题。从试卷难度方面：选择填空跟以往的试卷一样从易到难，但在做的过程中不是那么顺畅。第1 题考查复数，难度不大；第 2 题考查集合的交与补以及不等式求法；第 3 题程序框图，简单；第 4 题充分必要条件，容易题；第5 题古典概型，只要考生能够理解题意，基本没问题；第6 题直线与圆的方程，考查圆中弦长的求法，第7 题等差数列基本量的求解，简单；第11 题考查函数定义域的求法，简单；第12 题常规的线性规划题，难度不大；第14 题，抽象函数解析式的求解，难度中等。选择题第 8,9,10 题，填空题第 13,15 题难度加大。第 8 题考查函数转化思想以及数形结合，难度很大，考生不一定能想到方法；第9 题三角函数，对正弦余弦定理的考查，计算量大；第 10 题函数零点的考查，难度很大，不容易做好；第13 题平面向量，数量积的运算，需要细心；第 15 题立体几何的截面问题，是考生平时学习中最不容易弄明白的地方。大题第 16 题三角函数：容易，主要考查恒等变形，三角函数图像变换，考生需注意图像变换时语言的描叙；大题第17题概率统计：难度不大，对计算的要求很高，在那种高压环境下必须有个良好的心态才能做好；大题第 18 题立体几何：难度中等，常规性的考查了三棱锥体积的求法，在选择顶点的过程中，需要考生注意看清垂直关系；大题第19 题数列：综合性强，将函数求导利用到数列求通项中，只要学生能够细心，拿下这道题还是没有问题的；大题第20 题函数：题型新颖，考查考生对新问题冷静处理的能力，对区间长度的准确理解；大题第21 题：难度较大，计算量大，点比较多，也容易把考生绕进去，要将这题做好，需要一定的计算基本功。详细解析一选择题选择题：本大题共 10 小题。每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设i是虚数单位，若复数a（A）-3【答案】D【解析】a以 a=3，故选择 D（B）-110(aR)是纯虚数，则a的值为3i（C）1（D）3（）1010(3i)10(3i)10(3i)a a a a(3i)(a3)i，所23i(3i)(3i)9i10【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.（2）已知Ax|x1 0,B 2,1,0,1，则(CRA)B（A）2,1（B）2（D）0,1（）（C）1,0,1【答案】A【解析】A：x 1，CRA x|x 1，(CRA)B 1,2，所以答案选 A【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为3411（C）12（A）1625（D）24（B）【答案】C11；221113n 4,s,s；224433111n 6,s,s 4461211n 8,s，输出12【解析】n 2,s 0,s 0所以答案选择 C【考点定位】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.（4）“(2x1)x 0”是“x 0”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】(2x1)x 0,x 0或1，所以答案选择 B2【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为22(B)3539(C)（D）510（A）【答案】D【解析】总的可能性有 10 种，甲被录用乙没被录用的可能性3 种，乙被录用甲没被录用的可能性3 种，甲乙都被录用的可能性3 种，所以最后的概率p 333110【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题.（6）直线x2y55 0被圆x2 y22x4y 0截得的弦长为（A）1（B）2（C）4（D）4 6【答案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d 1+4-5+55=1，半径r 5，所以最后弦长为2(5)212 4.【考点定位】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题.（7）设Sn为等差数列an的前n项和，S8 4a3,a7 2，则a9=（A）6（B）4（C）2（D）2【答案】A【解析】S8 4a3a6 08(a1a8)4a3 a3a6 a32d 2a9 a72d 6【考点定位】考查等差数列通项公式和前n 项公式的应用，以及数列基本量的求解.(8)函数y f(x)的图像如图所示，在区间a,b上可找到n(n 2)个不同的数x1,x2,xn，使得f(x1)f(x2)x1x2f(xn)，则n的取值范围为xn(A)2,3(B)2,3,4(C)3,4(D)3,4,5【答案】B【解析】f(x1)f(x1)0表示(x1,f(x1)到原点的斜率；x1x10f(x1)f(x2)x1x2f(xn)表示(x1,f(x1)，(x2,f(x2)，(xn,f(xn)与原点连线的斜率，而xn故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有(x1,f(x1)，(x2,f(x2)，(xn,f(xn)在曲线图像上，几个，很明显有 3 个，故选 B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.(9)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若bc 2a,3sin A 5sin B,则角C=2 (B)3335(C)(D)46(A)【答案】B【解析】3sin A 5sin B由正弦定理，所以3a 5b,即a 因为bc 2a，所以c 5b；37a，3a2b2c212，答案选择 BcosC ，所以C 32ab2【考点定位】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.（1）已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1,x2，若f(x1)x1 x2，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b 0的不同实根个数为（A）3(B)4(C)5(D)6【答案】A2【解析】f(x)3x 2axb，x1,x2是方程3x 2axb 0的两根，2由3(f(x)2af(x)b 0，则又两个f(x)使得等式成立，x1 f(x1)，x2 x1 f(x1)，其2函数图象如下：如图则有 3 个交点，故选 A.【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.2.填空题（11）函数y ln(1)1 x的定义域为_.【答案】0,11x211 0 x 0或x 1【解析】，求交集之后得x的取值范围0,1x21 x 0 1 x 1【考点定位】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于0，分母不为0，偶次根式底下大于等于0.（12）若非负数变量x,y满足约束条件【答案】4【解析】由题意约束条件的图像如下：x y 1，则x y的最大值为_.x2y 4当直线经过(4,0)时，z x y 40 4，取得最大值.【考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练掌握约束条件的图像画法，以及判断何时z取最大.（13）若非零向量a,b满足a 3 b a2b，则a,b夹角的余弦值为_.【答案】【解析】等式平方得：a 9 b a 4 b 4ab则a a 4 b 4|a|b|cos，即0 4 b 43|b|cos得cos 2222213222213【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.（14）定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2 f(x).若当0 x 1时。f(x)x(1 x)，则当1 x 0时，f(x)=_.【答案】f(x)x(x1)2【解析】当1 x 0，则0 x11，故f(x1)(x1)(1 x1)x(x1)又f(x1)2 f(x)，所以f(x)x(x1)2【考点定位】考查抽象函数解析式的求解.（15）如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。当0 CQ 当CQ 1时，S为四边形21时，S为等腰梯形231当CQ 时，S与C1D1的交点R满足C1R 43当3 CQ 1时，S为六边形4当CQ 1时，S的面积为62【答案】【解析】（1）CQ 1，S 等腰梯形，正确，图如下：2（2）CQ 1，S 是菱形，面积为236，正确，图如下：22（3）CQ 31，画图如下：C1R，正确43（4）3 CQ 1，如图是五边形，不正确；4（5）0 CQ 1，如下图，是四边形，故正确2【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。3.解答题（16）（本小题满分 12 分）设函数f(x)sin xsin(x3).（）求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；（）不画图，说明函数y f(x)的图像可由y sin x的图象经过怎样的变化得到.【解析】（1）f(x)sin xsin xcos3cosxsin3 sin x1333sin xcosx sin xcosx2222当sin(x33()2()2sin(x)3sin(x)2266342k,x 2k,(kZ)66234所以，f(x)的最小值为3，此时 x 的集合x|x 2k,kZ.3)1时，f(x)min 3，此时x(2)y sin x横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得y 3sin x；然后y 3sin x向左平移6个单位，得f(x)3sin(x6)【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.（17）（本小题满分 12 分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取 30 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：甲乙745533253385543331006069112233586622110070022233669754428115582090（）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60 分及 60 分以上为及格）；（）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1,x2，估计x1 x2的值.【解析】（1）3030 0.05 n 600n0.05p 255306740135042460926709228052902302084=3054014503176010337010 2080590 x2302069=302084206915x2 x1 0.5303030（2）x1【考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力.（18）（本小题满分 12 分）如 图，四棱锥P ABCD的 底面ABCD是 边长为 2 的菱形，BAD 60.已 知PB PD 2,PA6.（）证明：PC BD（）若E为PA的中点，求三菱锥P BCE的体积.【解析】（1）证明：连接BD,AC交于O点PB PDPO BD又ABCD是菱形BD AC而AC PO OBD面PACBDPC(2)由（1）BD面PACSPEC211 3SPAC62 3sin45=6 32221111SPECBO 32322VPBECVBPEC【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，.三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力.（19）（本小题满分 13 分）设数列an满足a1 2，a2a48,且对任意n N*，函数f(x)(anan1an2)xan1cosx-an2sin x满足f()02()求数列an的通项公式；2 an（）若bn（【解析】1），求数列bn的前n项和Sn.an2由a1 2a2a48f(x)(anan1an2)xan1cosx-an2sin x x）f（an-an1an2-an1sin x-an2cosxf()an-an1an2-an1 02所以，2an1 anan2an是等差数列.而a1 2a3 4d 1an 2（n-1）1 n12 an（2）bn（111）（2 n1）（2 n1）ann1n22211（1-n）（2 2n1）n22Sn121-21n21 n23n1-n2=（n n3）1-【考点定位】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.（1）（本小题满分 13 分）设函数f(x)ax(1a2)x2，其中a 0，区间I x|f(x)0.（）求I的长度（注：区间(,)的长度定义为；（）给定常数k0,1，当1k a 1 k时，求I长度的最小值.【解析】2a（-1 a）x（1）令f(x)x 0解得x1 0 x2a1 a2aI x|0 x 21aI的长度x2-x1a21a（2）k0,1则0 1k a 1 k 2由（1）I a1a21a2I 0，则0 a 122(1a)故I关于a在(1k,1)上单调递增，在(1,1k)上单调递减.I11-k11-k21-k222k k1k21（1k）1-kImin222k kI2【考点定位】考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，并考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.（21）（本小题满分13分）x2y2已知椭圆C:221(a b 0)的焦距为 4，且过点P(2，3).ab（）求椭圆 C 的方程；（）设Q(x0,y0)(x0y0 0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点A(0,2 2),连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D。点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由.【解析】（1）因为椭圆过点P(2，3)2231且a2 b2c222ab22x2y21a 8b 4c 4椭圆 C 的方程是84（2）由题意，各点的坐标如上图所示，8x0y0则QG的直线方程：8y0 x0 x0 x化简得x0y0 x(x028)y8y0 022x2y08，又0 x2y21所以x0 x2y0y8 0带入84求得最后 0所以直线QG与椭圆只有一个公共点.【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力.
