大数定律和中心极限定理PPT.ppt

关于大数定律与中心极关于大数定律与中心极限定理限定理PPT第一张，PPT共三十五页，创作于2022年6月字母使用频率字母使用频率 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律。列定理统称为大数定律。第二张，PPT共三十五页，创作于2022年6月依概率收敛依概率收敛 与微积分学中的收敛性的概念类似与微积分学中的收敛性的概念类似,在概率论中在概率论中,我们我们要考虑随机变量序列的收敛性要考虑随机变量序列的收敛性.的概率几乎等于的概率几乎等于1，即，即则则称随机称随机变变量序列量序列 Xn 依概率收敛于依概率收敛于记记作作当当n充分大充分大时时，事件，事件定义定义1 如果对于任意如果对于任意第三张，PPT共三十五页，创作于2022年6月切比雪夫不等式切比雪夫不等式.则对于任给则对于任给 0,有有设随机变量设随机变量X 的数学期望的数学期望E(X)和方差和方差 存在，存在，由切比雪夫不等式可以看出,若越小,则事件的概率越大,即,随机变量集中在期望附近的可能性越大.由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度.第四张，PPT共三十五页，创作于2022年6月例例1 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是每一毫升白细胞数平均是7300,均方差是均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率.解解设每毫升白细胞数为 依题意,所求概率为由切比雪夫不等式即每毫升白细胞数在5200 9400之间的概率不小于8/9.第五张，PPT共三十五页，创作于2022年6月几个常见的大数定律几个常见的大数定律定理定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律）切比雪夫切比雪夫 设设 Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量序列，序列，存在，其方差存在，其方差一致有界，即一致有界，即 D(Xi)L，i=1,2,，则对任意的则对任意的0，依概率收敛于其数学期望.定理表明:当很大时,随机变量序列的算术平均值第六张，PPT共三十五页，创作于2022年6月随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于于1.即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是差不多不再是 切比雪夫大数定律表明，独立随机变切比雪夫大数定律表明，独立随机变 偏差很小的概率接近偏差很小的概率接近于于1.量序列量序列Xn，如果方差一致有界，则，如果方差一致有界，则与其数学期望与其数学期望切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述第七张，PPT共三十五页，创作于2022年6月推推论论 设设随机随机变变量序列量序列 Xn 独立且都服从某独立且都服从某则对则对于任意于任意恒有恒有 个分布，它们的数学期望及方差均存在，个分布，它们的数学期望及方差均存在，即即第八张，PPT共三十五页，创作于2022年6月注注 一般地，我一般地，我们们要求出随机要求出随机变变量量 X 的数学期的数学期来估计来估计EX。当。当n充分大充分大时时，偏差不会太大。，偏差不会太大。机机变变量量X的分布的分布时时求求EX的方法，即用的方法，即用知道知道EX，上述的推，上述的推论论告告诉诉了我了我们们,在不知随在不知随我我们们往往在不知随机往往在不知随机变变量量X的分布的分布时时，希望，希望望，必望，必须须知道随机知道随机变变量量X的分布。但的分布。但实际实际中，中，这这一点我一点我们们将会在数理将会在数理统计统计中看到。中看到。第九张，PPT共三十五页，创作于2022年6月 定理定理2 (伯努利大数定律伯努利大数定律)设设 是是 重伯努利试重伯努利试 验中事件验中事件A出现的次数出现的次数,又又A在每次试验中出在每次试验中出即频率即频率依概率收敛于概率依概率收敛于概率即即则对于任意的则对于任意的现的概率为现的概率为有有注注贝努里大数定律从理论上证明了频率的稳定性贝努里大数定律从理论上证明了频率的稳定性第十张，PPT共三十五页，创作于2022年6月 下面给出的独立同分布下的大数定律，下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,独立同分布，独立同分布，且数学期望且数学期望E(Xi)=,i=1,2,，则对任给则对任给 0，定理定理3（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦辛钦第十一张，PPT共三十五页，创作于2022年6月注注（1）辛钦大数定律与定理）辛钦大数定律与定理1的推论的区别的推论的区别 在，辛钦大数定律与方差无关。在，辛钦大数定律与方差无关。（3）贝努里大数定律是辛钦大数定律的特）贝努里大数定律是辛钦大数定律的特 例例,而辛钦大数定律在应用中是非常重而辛钦大数定律在应用中是非常重 要的。要的。（2）由于证明辛钦大数定律要用特征函数由于证明辛钦大数定律要用特征函数 的知识，故证明略。的知识，故证明略。第十二张，PPT共三十五页，创作于2022年6月二、中心极限定理二、中心极限定理 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响随机因素的影响.第十三张，PPT共三十五页，创作于2022年6月 空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等炮弹或炮身结构所引起的误差等.第十四张，PPT共三十五页，创作于2022年6月 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布则这种量一般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态分布之自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见见.第十五张，PPT共三十五页，创作于2022年6月 现在我们就来研究独立随机变量之现在我们就来研究独立随机变量之和和所特有的规所特有的规律性问题律性问题.在概率论中，习惯于把在概率论中，习惯于把和的分布和的分布收敛于正态分收敛于正态分布这一类定理都叫做布这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理.中心极限定理回答了大量独立随机变量和的中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题近似分布问题,其结论表明其结论表明:当一个量受许多随机当一个量受许多随机因素因素(主导因素除外主导因素除外)的共同影响而随机取值的共同影响而随机取值,则它则它的分布就近似服从正态分布的分布就近似服从正态分布.第十六张，PPT共三十五页，创作于2022年6月定理定理1 李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理 设随机变量 相互独立,它们具有数学期望和方差:，记 若存在正数 使得当时,则随机变量之和的标准化变量:的分布函数对于任意,满足第十七张，PPT共三十五页，创作于2022年6月注注：定理1表明,在定理的条件下,随机变量当 很大时,近似地服从正态分布由此,当 很大时,近似地服从正态分布 这就是说,无论各个随机变量 服从什么分布,只要.满足定理的条件,那么它们的和 当 很大时,就近似地服从正态分布.第十八张，PPT共三十五页，创作于2022年6月定理定理2（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理）设设 X1,X2,Xn 是独立同分布的随机是独立同分布的随机变量序列，且变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,n，则，则注注 1）证证明所需要的知明所需要的知识识已超出范已超出范围围，证证明略。明略。列维一林德伯格列维一林德伯格（LevyLindberg）定理）定理.第十九张，PPT共三十五页，创作于2022年6月独立同分布，且它独立同分布，且它们们的数学期的数学期2）中）中 心极限心极限 定理表明，若定理表明，若 随随 机机 变变 量量 序序 列列都都近似近似服从正服从正态态分布分布.(注意注意:不一定是不一定是即即望及方差存在，望及方差存在，则则当当n充分大时，其充分大时，其和的分布和的分布,3）中心定理）中心定理还还表明：无表明：无论论每一个随机每一个随机变变量量在和在和的分布中起的作用很微的分布中起的作用很微服从什么分布，只要每一个随机服从什么分布，只要每一个随机变变量量近似服从正近似服从正态态分布。分布。小，小，则则标标准正准正态态分布）分布）第二十张，PPT共三十五页，创作于2022年6月例例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服根据以往经验，某种电器元件的寿命服 从均值为从均值为100小时的指数分布小时的指数分布.现随机地取现随机地取 16只只,设它们的寿命是相互独立的设它们的寿命是相互独立的.求这求这16 只元件的寿命的总和大于只元件的寿命的总和大于1920小时的概率小时的概率.由题给条件知，诸由题给条件知，诸Xi独立，独立，16只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为解解:设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为依题意，所求为P(Y1920)第二十一张，PPT共三十五页，创作于2022年6月由题给条件知由题给条件知,诸诸Xi独立独立,16只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为解解:设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为依题意，所求为P(Y1920)由于由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y 1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第二十二张，PPT共三十五页，创作于2022年6月 定理定理3 (棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理)设设 是是 重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A出现的次数出现的次数,又又A在每次试验中出现的概率为在每次试验中出现的概率为 则对于任意的实数则对于任意的实数 有有:第二十三张，PPT共三十五页，创作于2022年6月注注 1）德莫佛）德莫佛拉普拉斯定理表明拉普拉斯定理表明:二二项项分布分布以正以正态态分布分布为为极限极限;3）设随机变量）设随机变量X当当n充分大时充分大时,2)棣莫佛拉普拉斯定理是中心极限定理棣莫佛拉普拉斯定理是中心极限定理的特殊情况的特殊情况.第二十四张，PPT共三十五页，创作于2022年6月设 为 重贝努里试验中事件A发生的频率,p为每次试验用用频频率估率估计计概率的概率的误误差差 这个关系式可用来解决频率估计概率的计算问题:中事件A发生的概率,由棣莫佛拉普拉斯定理,有第二十五张，PPT共三十五页，创作于2022年6月部数部数解解 设设 表示某一时刻机器开动的台数表示某一时刻机器开动的台数,则则设电厂至少要供应设电厂至少要供应 个单位的电能个单位的电能,则由题意则由题意,有有由棣莫弗由棣莫弗-拉普拉斯定理拉普拉斯定理,有有 例例2 某车间有同型号的机床某车间有同型号的机床200部部,每部机器开动每部机器开动 概率保证不致因供电不足而影响生产概率保证不致因供电不足而影响生产?少要供应该车间多少单位电能少要供应该车间多少单位电能,才能以才能以95%的的 开动时每部机器要耗电能开动时每部机器要耗电能15个单位个单位,问电厂最问电厂最 的概率为的概率为0.7,假定各机床开关是相互独立的假定各机床开关是相互独立的,第二十六张，PPT共三十五页，创作于2022年6月查表得查表得,应有应有 故至少须向该车间供应故至少须向该车间供应2261个单位的电能个单位的电能,才才能以能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产的概率保证不致因供电不足而影响生产.第二十七张，PPT共三十五页，创作于2022年6月解解 设设 是装运的第是装运的第 箱的重量箱的重量,看作是相互独立同分布的随机变量看作是相互独立同分布的随机变量,而总重量而总重量是独立同分布的随机变量之和是独立同分布的随机变量之和.例例3 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重 多少箱，才能保障不超载的概率大于多少箱，才能保障不超载的概率大于0.997.试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装 差差5千克。若用最大载重量为千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，吨的汽车承运，量是随机的，假设每箱的平均重量是随机的，假设每箱的平均重50千克千克,标准标准 是所求得箱数是所求得箱数,由条件可以把由条件可以把第二十八张，PPT共三十五页，创作于2022年6月由林德伯格由林德伯格-列维定理列维定理由题意知由题意知并且要求并且要求 满足满足即即 必须满足必须满足即最多可以装即最多可以装98箱。箱。第二十九张，PPT共三十五页，创作于2022年6月例例4 对敌人的防御工事用炮火进行对敌人的防御工事用炮火进行 100 次轰击次轰击,设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其其 数学期望为数学期望为 2,均方差为均方差为 1.5.如果各次轰击如果各次轰击 命中的炮弹数是相互独立的命中的炮弹数是相互独立的,求求100 次轰击次轰击 (1)至少命中至少命中180发炮弹的概率发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到命中的炮弹数不到200发的概率发的概率.解解 设设 X k 表示第表示第 k 次轰击命中的炮弹数次轰击命中的炮弹数相互独立，相互独立，第三十张，PPT共三十五页，创作于2022年6月 设设 X 表示表示100次轰击命中的炮弹数次轰击命中的炮弹数,则则(1)(2)第三十一张，PPT共三十五页，创作于2022年6月例例5 售报员在报摊上卖报售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在已知每个过路人在报摊上买报的概率为报摊上买报的概率为1/3.令令X 是出售了是出售了100份份报时过路人的数目，求报时过路人的数目，求 P(280 X 320).解解 令令Xi 为售出了第为售出了第 i 1 份报纸后到售出第份报纸后到售出第i 份报纸时的过路人数份报纸时的过路人数,i=1,2,100(几何分布几何分布)第三十二张，PPT共三十五页，创作于2022年6月相互独立,第三十三张，PPT共三十五页，创作于2022年6月中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在实际问题中，若某随机变量可以在实际问题中，若某随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合看作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果，每一个因素在总的影响中作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用都很微小，则综合作用的结果服的作用都很微小，则综合作用的结果服从正态分布从正态分布.第三十四张，PPT共三十五页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第三十五张，PPT共三十五页，创作于2022年6月