第3章函数逼近与曲线拟合PPT讲稿.ppt
第3章 函数逼近与曲线拟合第1页，共122页，编辑于2022年，星期二 本章继续讨论用简单函数本章继续讨论用简单函数近似代替近似代替较复杂函较复杂函数的问题数的问题.上章提到的插值就是近似代替的方上章提到的插值就是近似代替的方法之一法之一,插值的近似标准是在插值点处误差为插值的近似标准是在插值点处误差为零零.但在实际应用中但在实际应用中,有时不要求具体某些点有时不要求具体某些点误差为零误差为零,而而要求考虑整体的误差限制要求考虑整体的误差限制,这就这就引出了拟合和逼近的概念引出了拟合和逼近的概念.拟合与逼近拟合与逼近第2页，共122页，编辑于2022年，星期二 对函数类对函数类A中给定的函数中给定的函数 f(x),记作记作f(x)A,要求在另一类简单的便于计算的函数类要求在另一类简单的便于计算的函数类 B 中求函数中求函数 p(x)B,使使 p(x)与与 f(x)的误差在的误差在 某种意义下最小某种意义下最小.函数类函数类A通常是区间通常是区间a,b 上的连续函数上的连续函数,记作记作Ca,b,称为函数逼近空称为函数逼近空 间间;而函数而函数B通常为通常为n次多项式次多项式,有理函数或分有理函数或分 段低次多项式等段低次多项式等.什么是函数逼近什么是函数逼近第3页，共122页，编辑于2022年，星期二数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确定关系称为集合以某种空间结构赋予，并将这定关系称为集合以某种空间结构赋予，并将这样的集合样的集合称为空间。称为空间。例例1、按向量的加法和数乘构成实数域按向量的加法和数乘构成实数域 上的上的线性空间线性空间-例例2、对次数不超过对次数不超过 n 的实系数多项式，按的实系数多项式，按 加法和数乘构成数域上的多项式线性加法和数乘构成数域上的多项式线性 空间空间-第4页，共122页，编辑于2022年，星期二例例3、所有定义在、所有定义在 a,b 集合上的连续函数集合上的连续函数全体，按函数的加法和数乘构成连续函数全体，按函数的加法和数乘构成连续函数空间空间-第5页，共122页，编辑于2022年，星期二1)线性相关与线性无关线性相关与线性无关 设集合S是数域P上的线性空间,元素x1,x2,xnS,如果存在不全为零的数a1,a2,anP,使得 3.1 函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念则称x1,x2,xn线性相关.否则，如果等式只对a1=a2=an=0成立，则称x1,x2,xn线性无关。第6页，共122页，编辑于2022年，星期二魏尔斯特拉斯定理魏尔斯特拉斯定理 设f(x)Ca,b,则对任何0,总存在一个代数多项式p(x),使 在a,b上一致成立。伯恩斯坦的构造性证明：第7页，共122页，编辑于2022年，星期二第8页，共122页，编辑于2022年，星期二2)范数的定义范数的定义设设S为线性空间为线性空间,xS,若存在唯一实数若存在唯一实数 满足条件：满足条件：(1)x0;当且仅当当且仅当x0时时,x0;(正定性正定性)(2)x|x,R;(齐次齐次性性)(3)xyxy,x,yS.(三角不等式三角不等式)则称则称 为线性空间为线性空间S上的范数上的范数,S与与 一起称为赋范线性空间一起称为赋范线性空间,记为记为X.第9页，共122页，编辑于2022年，星期二 在Rn上的向量 x(x1,x2,xn)TRn,三种常用范数为称为：3)几种常用范数几种常用范数第10页，共122页，编辑于2022年，星期二类似的对连续函数空间Ca,b,若fCa,b可定义以下三种常用函数的范数函数的范数第11页，共122页，编辑于2022年，星期二 记区间a,b上所有连续函数的全体为Ca,b,可以证明Ca,b是一个线性空间,把所有次数不超过n的多项式全体记为Pn,则 Pn是Ca,b的子空间.若(x),g(x)Ca,b,则称 为(x)与g(x)的内积内积,记为(,g),函数的内积函数的内积满足(1)(1)(,g)=(g,g)=(g,);第12页，共122页，编辑于2022年，星期二若若(,g)=0,g)=0,称称(x)(x)与与g(x)g(x)正交正交 ,记为记为g.g.(2)(2)(c(c,g)=c(,g)=c(,g);,g);(3)(3)(1 1+2 2,g)=(,g)=(1 1,g)+(,g)+(2 2,g);,g);利用内积可以定义函数的平方模利用内积可以定义函数的平方模第13页，共122页，编辑于2022年，星期二(1)(1)2 2 0,0,而且而且2 2=0=0(x)=0;(x)=0;(2)(2)c c2 2=|c|=|c|2 2;(3)(3)+g+g 2 22 2+g g 2 2(4)(4)(4)(4)(,g),g),g),g)2 2 2 2 g g g g 2 2 2 2函数的平方函数的平方函数的平方函数的平方模模模模满足满足满足满足第14页，共122页，编辑于2022年，星期二设X为一个内积空间,对称为柯西施瓦次不等式.柯西施瓦次不等式柯西施瓦次不等式u,vX有第15页，共122页，编辑于2022年，星期二第16页，共122页，编辑于2022年，星期二定理定理：设X为一个内积空间,u1,u2,unX,矩阵称为格拉姆矩阵,则G非奇异的充分必要条件是u1,u2,un线性无关线性无关。第17页，共122页，编辑于2022年，星期二第18页，共122页，编辑于2022年，星期二 考虑到考虑到(x)(x)在区间在区间a,ba,b上各点的函数值比重不同上各点的函数值比重不同,常引进加权形式的定义常引进加权形式的定义 这里函数(x)(x)是非负连续函数,称为a,b上的权函数权函数.它的物理意义可以解释为密度函数.权函数权函数第19页，共122页，编辑于2022年，星期二最佳逼近最佳逼近第20页，共122页，编辑于2022年，星期二第21页，共122页，编辑于2022年，星期二3.2 正交多项式正交多项式1)正交的定义正交的定义若f(x),g(x)Ca,b,(x)为a,b上的权函数且满足则称f(x)与g(x)在a,b上带权正交正交.若函数族满足关系 第22页，共122页，编辑于2022年，星期二则称是a,b上带权(x)正交函数族；若则称之为标准正交函数族。设 是a,b上首相系数an0的n次多 项式,(x)为a,b上的权函数,如果多项式序列 满足关系式(2),则称多项式序 为在a,b上带权(x)正交,称 为a,b上带 权的 n 次正交多项式次正交多项式.第23页，共122页，编辑于2022年，星期二例如、例如、三角函数系：三角函数系：1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，是是 区间区间-，上的正交函数系，因为上的正交函数系，因为实际上，这就是付里叶实际上，这就是付里叶(Fourier)逼近的基函数逼近的基函数.第24页，共122页，编辑于2022年，星期二2)如何构造正交多项式如何构造正交多项式 只要给定区间a,b及权函数,均可由一组线性无关的幂函数1,x,xn,利用逐个正交化手法构造出正交多项式序列 如此得到的正交多项式有如下性质：(1)是具有最高次项系数为1的n次多项式第25页，共122页，编辑于2022年，星期二(2)任何n次多项式Pn(x)Hn均可表示为 的线性组合.即(3)当kj时,与任一次数小于k的多项式正交.(4)成立递推关系 第26页，共122页，编辑于2022年，星期二(5)设 是在a,b上带权(x)的正交多项式序列,则 (n1)的n个根都是在区间(a,b)内的单重实根.第27页，共122页，编辑于2022年，星期二第28页，共122页，编辑于2022年，星期二第29页，共122页，编辑于2022年，星期二第30页，共122页，编辑于2022年，星期二例题：利用 Gram-schmidt 方法构造 0,1 上带权 的前3个正交多项式 解：利用正交化公式来求 第31页，共122页，编辑于2022年，星期二于是于是第32页，共122页，编辑于2022年，星期二3）几种常用的正交多项式）几种常用的正交多项式勒让德多项式当区间-1,1,权函数(x)1时,由1,x,xn,正交化得到的多项式就称为勒让德多项式,并用P0(x),P1(x),Pn(x),表示.其简单的表达式为 最高项系数为1的勒让德多项式为 第33页，共122页，编辑于2022年，星期二勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质(1)正交性正交性第34页，共122页，编辑于2022年，星期二第35页，共122页，编辑于2022年，星期二(2)奇偶性奇偶性(3)递推关系递推关系第36页，共122页，编辑于2022年，星期二且有以下常用公式(4)在区间在区间-1,1内有内有n个不同的个不同的实零点实零点。第37页，共122页，编辑于2022年，星期二时,由序列1,x,xn,正交化得到的多项式就是切比雪夫多项式,它可表示为 Tn(x)=cos(n arccosx),|x|1若令xcos，则Tn(x)=cos n，0.切比雪夫多项式切比雪夫多项式区间为-1,1当权函数第38页，共122页，编辑于2022年，星期二(1)递推关系递推关系切比雪夫多项式的性质切比雪夫多项式的性质第39页，共122页，编辑于2022年，星期二(2)切比雪夫多项式Tk(x)在区间-1,1上带权 正交且(3)T2k(x)只含x的偶次幂偶次幂,T2k+1(x)只含x的奇次幂奇次幂.(4)Tn(x)在区间-1,1上有n个零点 第40页，共122页，编辑于2022年，星期二若将xn用T0(x),T1(x),Tn(x)的线性组合表示,则其公式为第41页，共122页，编辑于2022年，星期二第42页，共122页，编辑于2022年，星期二3.3 最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式 是讨论 fCa,b,在Hn=span1,x,xn中求多项式 ,使其误差 这就是通常所指的最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题.第43页，共122页，编辑于2022年，星期二为f(x)与Pn(x)在a,b上的偏差.显然 ,的全体组成一个集合,记为 ,它有下界0.偏差偏差为了说明这一概念,先给出以下定义.设Pn(x)Hn,f(x)Ca,b,称第44页，共122页，编辑于2022年，星期二若记集合的下确界为 则称之为f(x)在a,b上的最小偏差最小偏差.最佳逼近多项式最佳逼近多项式假定f(x)Ca,b,若存在Pn*(x)Hn使 (f,Pn*(x)En,则称Pn*(x)是f(x)在a,b上的最佳一致逼近最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式。第45页，共122页，编辑于2022年，星期二 注意,定义并未说明最佳逼近多项式是否存在,但可以证明下面的存在定理.定理定理：若f(x)Ca,b,则总存在Pn*(x)使其中第46页，共122页，编辑于2022年，星期二偏差点定义偏差点定义 设f(x)Ca,b，P(x)Hn，若在xx0有就称x0是P(x)对f(x)的偏差点.称x0为“正”偏差点称x0为“负”偏差点.为了研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差点的定义.若若第47页，共122页，编辑于2022年，星期二 由于函数P(x)f(x)在a,b上连续,因此,至少存在一个点x0a,b使 也就是说P(x)的偏差点总是存在的。下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理.切比雪夫定理 Pn(x)Hn是f(x)Ca,b的最佳逼近多项式的充分必要条件是P(x)在a,b上至少有n+2个轮流为“正”，“负”的偏差点，即有n+2个点ax1x2.xn+2b，使第48页，共122页，编辑于2022年，星期二 这样的点组称为切比雪夫交错点组.切比雪夫定理说明用P(x)逼近f(x)的误差曲线yP(x)f(x)是均匀分布的由这个定理还可得以下重要推论.推论推论 若f(x)Ca,b，则在Hn中存在唯一的最佳逼近多项式 利用切比雪夫定理可直接得到切比雪夫多项式Tn(x)的一个重要性质，即第49页，共122页，编辑于2022年，星期二定理定理在区间-1,1上所有最高次项系数为1的n次多项式中,即可以理解为与零的偏差等于最小当且仅当与零的偏差最小，其偏差为第50页，共122页，编辑于2022年，星期二最佳一次逼近多项式最佳一次逼近多项式 切比雪夫定理 给出了最佳逼近多项式P(x)的特性,但要求出P(x)却相当困难.下面讨论n=1的情形.假定f(x)C2a,b.且f(x)在(a,b)内不变号，我们要求最佳一次逼近多项式 P1(x)=a0+a1x至少有3个点ax1x2x3b，使 由于 在a,b上不变号,故 单调,在(a,b)内只有一个零点,记为x2,于是第51页，共122页，编辑于2022年，星期二于是即另外两个偏差点必定是区间的端点由此得到第52页，共122页，编辑于2022年，星期二代入到(2)得这就得到最佳一次逼近多项式P1(x)，其方程为有（1）式得第53页，共122页，编辑于2022年，星期二例例1、设 不超过2的多项式 使它为 的最佳一致逼近多项式。试在-1，1 上寻找一个次数在-1，1 上 应满足 由最小偏差定理解：解：所求 的首项系数为 4第54页，共122页，编辑于2022年，星期二 从而例例2、设 m,M 是 在 上的 min,max 值，则 的零次最佳一致逼近多项式为，第55页，共122页，编辑于2022年，星期二证明：的连续性知 使得 令 则 。由第56页，共122页，编辑于2022年，星期二，即 故 是 与 的偏差点，从而由 chebyshev 定理知 即当 时逼近多项式为 的零次最佳一致第57页，共122页，编辑于2022年，星期二例例3、求 在 0，1 上求三次最佳逼近多项式。则当 在 0,1 变化时 此时 设 为 解：令在 0,1 上的三次最佳一致逼近多项式由于 第58页，共122页，编辑于2022年，星期二9.设 的首相系数为 故有 即 第59页，共122页，编辑于2022年，星期二3.4 最佳平方逼近最佳平方逼近 最佳平方逼近及其算法最佳平方逼近及其算法 考虑在区间a,b上一般的最佳平方逼近问题时对f(x)Ca,b及Ca,b中的一个子集 若存在 使下式成立第60页，共122页，编辑于2022年，星期二 则称 是f(x)在子集 中的最佳平方逼近函数最佳平方逼近函数.为了求 ,由(1)可知该问题等价于求多元函数 的最小值.由于 是关于 的二次函数,利用多元函数求极值的必要条件第61页，共122页，编辑于2022年，星期二即于是有是关于的线性方程组,称为法方程法方程,第62页，共122页，编辑于2022年，星期二由于线性无关，故系数矩阵的行列式非奇异，即于是方程组(1)有唯一解从而有第63页，共122页，编辑于2022年，星期二以下证明必定满足最佳平方逼近的定义即但我们只需证明第64页，共122页，编辑于2022年，星期二即上式第二项积分为零。于是可得即得必定是所求函数的最佳平方多项式。第65页，共122页，编辑于2022年，星期二则要在Hn中求n次最佳平方逼近多项式此时若取第66页，共122页，编辑于2022年，星期二若用H表示对应的矩阵,即即第67页，共122页，编辑于2022年，星期二 若用1,x,xn做基求最佳平方多项式,计算简单，但当n较大时,系数矩阵H是病态的,因此直接求解法方程是相当困难的,故通常是采用正交多项式做基底构造最佳平方多项式。则称H为希尔伯特希尔伯特(Hilbert)矩阵矩阵,若记向量则第68页，共122页，编辑于2022年，星期二用正交函数族作最佳平方逼近 设故法方程组第69页，共122页，编辑于2022年，星期二为非奇异对角阵,且法方程的解为于是f(x)Ca,b在中的最佳平方逼近函数为 第70页，共122页，编辑于2022年，星期二可得均方误差为 由此可得贝塞尔贝塞尔(Bessel)不等式不等式若f(x)Ca,b,按正交函数族展开，而系数按下式计算得级数第71页，共122页，编辑于2022年，星期二称为f(x)的广义傅立叶(Foureir)级数,系数称为广义傅立叶系数.是正交多项式,设可由正交化得到。则有下面的收敛定理；设f(x)Ca,b,S*(x)是由(3)给出的f(x)的最佳平方逼近多项式，其中是正交多项式族,则有第72页，共122页，编辑于2022年，星期二下面考虑函数f(x)C-1,1,按勒让得多项式P0(x),P1(x),Pn(x)展开,由(2),(3)可得其中根据(4),平方误差为此时由定理结论可得：第73页，共122页，编辑于2022年，星期二对首项系数为1的勒让德多项式有以下性质定理：在所有最高次项系数为1的n次多项式中,勒让德多项式在-1,1上与零的平方误差最小。即可以理解为最小等价于与零的平方误差最小。第74页，共122页，编辑于2022年，星期二证明：设Qn(x)是任意一个最高次项系数为1的n次多项式，它可表示为于是第75页，共122页，编辑于2022年，星期二3.5.数据拟合的最小二乘法数据拟合的最小二乘法问题的提出：在函数的最佳平方逼近中，要求函数是连续的，而实际问题中常常见到函数只是在一组离散点上给定，即科学实验中常见到的实验数据的曲线拟和，例如天气预报系统即为此例。求拟和曲线时首先要确定所找的拟和曲线的形式，这不是单纯的数学问题，还与所研究问题的运动规律及所得观测的数据有关；通常要从问题的运动规律及给定数据描图，确定函数的形式，并通过实际计算得到较好的结果，这类方法就称为曲线拟和的最小二乘法。第76页，共122页，编辑于2022年，星期二用4次多项式拟和以下数据 x0=0:0.1:1;y0=-.447,1.978,3.11,5.25,5.02,4.66,4.01,4.58,3.45,5.35,9.22;n=4;p=polyfit(x0,y0,n)xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy,-b,x0,y0,.r,MarkerSize,20)xlabel(x)ylabel(y)利用Matlab中的库函数进行拟和的数值例子：实验第77页，共122页，编辑于2022年，星期二第78页，共122页，编辑于2022年，星期二数据拟合方法与数据插值方法不同，它所处理的数据量大而且不能保证每一个数据没有误差所以要求一个函数严格通过每一个数据点是不合理的。数据拟合方法求拟合函数，插值方法求插值函数。这两类函数。对拟合函数不要求它通过所给的数据点，而插值函数则必须通过每一个数据点.最大的不同之处是例如，在某化学反应中，测得生成物的质量浓度 y(10 3 g/cm3)与时间t（min）的关系如表所示第79页，共122页，编辑于2022年，星期二t12346810121416y4.00 6.41 8.01 8.79 9.53 9.86 10.33 10.4210.5310.61显然，连续函数关系y(t)是客观存在的。但是通过表中的数据不可能确切地得到这种关系。何况，由于仪器测量中所带的误差的影响，测量数据难免有误差。因此只能寻求一个近拟表达式第80页，共122页，编辑于2022年，星期二第81页，共122页，编辑于2022年，星期二寻求合理的近拟表达式，以反映数据变化的规律，这种方法就是数据拟合方法。数据拟合需要解决两个问题：第一，选择什么类型的函数作为拟合函数（数学模型）；第二，对于选定的拟合函数，如何确定拟合函数中的参数。第82页，共122页，编辑于2022年，星期二tx1x2x3x4x5x6x7x8x9x10yy1y2y3y4y5y6y7y8y9y10数学模型应建立在合理假设的基础上，假设的合理性首先体现在选择某种类型的拟合函数使之符合数据变化的趋势（总体的变化规律）。拟合函数的选择比较灵活，可以选择线性函数、多项式函数、指数函数、三角函数或其它函数，这应根据数据分布的趋势作出选择。为了问题叙述的方便，将例1的数据表写成一般的形式第83页，共122页，编辑于2022年，星期二假设拟合函数是线性函数，即拟合函数的图形是一条平面上的直线。而表中的数据点未能精确地落在一条直线上的原因是实验数据的误差。则下一步是确定函数y=a+b x中系数a和b各等于多少？从几何背景来考虑，就是要以a和b作为待定系数，确定一条平面直线使得表中数据所对应的10个点尽可能地靠近这条直线。一般来讲，数据点将不会全部落在这条直线上，如果第k个点的数据恰好落在这条直线上，则这个点的坐标满足直线的方程，即a+b xk=y k如果这个点不在直线上，则它的坐标不满足直线方程，有一个绝对值为，线性拟合（线性模型）第84页，共122页，编辑于2022年，星期二的差异（残差）。这是关于a和b的一个二元函数，合理的做法是选取a和b，使得这个函数取极小值。但是在实际求解问题时为了操作上的方便，常常是求a和b使得函数达到极小。为了求该函数的极小值点，令，得，于是全部点处的总误差是第85页，共122页，编辑于2022年，星期二这是关于未知数a和b的线性方程组。它们被称为法方程，又可以写成第86页，共122页，编辑于2022年，星期二求解这个二元线性方程组便得待定系数a和b，从而得线性拟合函数y=a+b x。下图中直线是数据的线性拟合的结果。第87页，共122页，编辑于2022年，星期二假设拟合函数不是线性函数，而是一个二次多项式函数即拟合函数的图形是一条平面上的抛物线，而表中的数据点未能精确地落在这条抛物线上的原因是实验数据的误差。则下一步是确定函数二次函数拟合（二次多项式模型）中系数a0、a1和a2各等于多少？从几何背景来考虑就是要以a0、a1和a2为待定系数，确定二次曲线使得表中数据所对应的10个点尽可能地靠近这条曲线。一般来讲，数据点将不会全部落在这条曲线上，如果第k个点的数据恰好落在曲线上，则这个点的坐标满足二次曲线的方程，第88页，共122页，编辑于2022年，星期二如果这个点不在曲线上，则它的坐标不满足曲线方程，有一个误差（残差）。于是全部点处的总误差用残差平方和表示这是关于a0、a1和a2的一个三元函数，合理的做法是选取a0、a1和a2，使得这个函数取极小值。为了求该函数的极小值点，令第89页，共122页，编辑于2022年，星期二求解这一方程组可得二次拟合函数中的三个待定系数。下图反映了例题所给数据的二次曲线拟合的结果。第90页，共122页，编辑于2022年，星期二第91页，共122页，编辑于2022年，星期二一般曲线拟合的最小二乘法 如果f(x)只在一组离散点集xi,i=0,1,m上给定这就是科学实验中经常见到的实验数据(xi,yi),i=0,1,m的曲线拟合,这里yi=f(xi),i=0,1,m,要求一个函数y=S*(x)与所给数据(xi,yi),i=0,1,m拟合,若记误差i=S*(x)-yi,i=0,1,m,=(0,1,m)T,设是Ca,b上线性无关函数族,在 第92页，共122页，编辑于2022年，星期二这就是一般的最小二乘逼近,用几何语言说,就称为曲线拟合的最小二乘法.中找一函数这里使误差平方和第93页，共122页，编辑于2022年，星期二用最小二乘法求拟合曲线的问题,就是在形如(2)的S(x)中求一函数使加权平方和取得最小。它转化为求多元函数的极小点由求多元函数极值的必要条件,有 问题.第94页，共122页，编辑于2022年，星期二若记上式可改为这方程称为法方程,可写成矩阵形式第95页，共122页，编辑于2022年，星期二要使法方程(3)有唯一解就要求矩阵G非奇异,其中 必须指出,第96页，共122页，编辑于2022年，星期二在a,b上线性无关不能推出矩阵G非奇异。为保证(3)的系数矩阵非奇异,必须加上另外的条件:哈尔(Haar)条件设的任意线性组合在点集上至多只有n个不同的零点,则称上满足哈尔(Haar)条件。在点集第97页，共122页，编辑于2022年，星期二显然在任意m(mn)个点上满足哈尔条件。所以一般为则一定可以保证系数矩阵非奇异，于是方程（3）必存在唯一解从而得到函数的最小二乘解为：第98页，共122页，编辑于2022年，星期二且成立下式即必为所求的最小二乘解。第99页，共122页，编辑于2022年，星期二解：作散点图如下：从右图可以看出这些点接近一条抛物线，因此设所求公式为x012345y531123例4:已知一组观测数据如表所示，试用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据。第100页，共122页，编辑于2022年，星期二由最小二乘法得如下式子：第101页，共122页，编辑于2022年，星期二整理并代入表中的数据得：代入数据第102页，共122页，编辑于2022年，星期二解之可得：故所求多项式为：第103页，共122页，编辑于2022年，星期二例：由书中的数据表可以确定拟合曲线方程为它不是线性函数，可通过在上式两端取对数的方法将其化为线性表达式：也即故数据点转换为第104页，共122页，编辑于2022年，星期二有最小二乘法取第105页，共122页，编辑于2022年，星期二故得法方程组如下:第106页，共122页，编辑于2022年，星期二用正交多项式做最小二乘拟合 用最小二乘法得到的方程组其系数矩阵G是病态的,但如果是关于点集xi带权(xi)(i=0,1,m)正交函数族,即则方程(1)的解为第107页，共122页，编辑于2022年，星期二现在我们根据给定节点x0,x1,xm及权函数(x)0,造出带权(x)正交的多项式Pn(x).注意nm,用递推公式表示Pk(x),即 且平方误差为这里是首项系数为1 的k次多项式，且由其正交性得：第108页，共122页，编辑于2022年，星期二下面用归纳法证明这样给出的Pk(x)是正交的。由(3)第二式及(4)中的第一个表达式,有 下式成立。第109页，共122页，编辑于2022年，星期二现假定均成立，要证(Pk+1,Ps)=0 对s=0,1,k均成立。由(3)有由归纳法假定 当时(Pk,Ps)=0，(Pk-1,Ps)=0另外,xPs(x)是首项系数为1的s+1次多项式,它可由P0,P1,Ps+1的线性组合表示,而 第110页，共122页，编辑于2022年，星期二故由归纳法假定又有 于是由(5),当(Pk+1,Ps)=0再看由假定有利用(4)中k表达式及以上结果,得第111页，共122页，编辑于2022年，星期二最后,由(4)有于是已证明了由(3)及(4)确定的多项式(k=0,1,n，nm)组成一个关于点集xi的正交系.的线性组合作用正交多项式最小二乘曲线拟合只要根据公式(3)及(4)逐步求Pk(x)的同时,相应计算出系数：第112页，共122页，编辑于2022年，星期二并逐步把ak*Pk(x)累加到S(x)中去,最后就可得到所求的拟合曲线这是目前最好的不用 解方程组而可以利用递推方法得到多项式拟和的算法。第113页，共122页，编辑于2022年，星期二3.6最佳平方三角逼近当为周期函数时自然想到用三角多项是做平方逼近会更好，以下介绍连续及离散点上的三角逼近问题。1.连续型连续型设是以为周期的平方可积函数，用三角多多项式做最佳平方逼近函数，可根据三角函数组如下的正交性，第114页，共122页，编辑于2022年，星期二可得在区间上的最佳平方三角逼近多项式的系数如下：称为Fourier系数，函数按Fourier系数展开得到的级数称为Fourier级数，记为：且级数一致收敛到。第115页，共122页，编辑于2022年，星期二2.离散型离散型当只是在给定的离散点集上已知时，则可以类似地得到离散点集正交性与相应的Fourier级数，一下只给出奇数个点的情形。令若令则的最小二乘三角逼近为：第116页，共122页，编辑于2022年，星期二第117页，共122页，编辑于2022年，星期二（2）、正交多项式系：满足下面条件的多项式序列 若进一步有：则称之为规格化正交多项式系3、常用的正交多项式：（1）、勒让德（）、勒让德（Legendre）多项式）多项式第118页，共122页，编辑于2022年，星期二具体为性质：、Pn(x)是区间-1，1上关于权函数(x)1的正交函数系第119页，共122页，编辑于2022年，星期二 、Pn(x)满足递推关系：、Pn(x)可以变换为其他区间(2)、拉盖尔（Laguerre）多项式具体为：;第120页，共122页，编辑于2022年，星期二性质：性质：、Ln(x)是区间是区间0，+）上关于权函数）上关于权函数w(x)e-x 的正的正交多项式系交多项式系、Ln(x)满足递推关系：满足递推关系：第121页，共122页，编辑于2022年，星期二（3）、等距节点正交多项式系 设有一组n+1个等距节点，它们的步长为h，令权函数wi=1,引进变换：具体为：则各点变为x=0,1,2,n的n+1个整数点，幂函数xk用阶乘积x(k)代替有：第122页，共122页，编辑于2022年，星期二
