靖江市高三上学期期中调研数学试题.pdf
靖江市靖江市 20132013 届第一学期期中调研试卷届第一学期期中调研试卷高三数学高三数学一填空题：本大题共一填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分，把答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置1i1.已知i是虚数单位，复数z 1i2，则 z 虚部为 2.若A x(x1)2x4,则 AZ 的元素个数为_3.设命题 p：，命题 q：sincos，则 p 是 q 的_条件411 2，则a 4.已知log2alog3a5.已知xR，f(x)为sin x与cosx中的较小者，设m f(x)n，则mn=_.2x1 (x0)36.设函数 f(x)，若 f(a)a，则实数 a 的值是_1 (x0)xa37.设 aR R，函数 f(x)exx是偶函数，若曲线 yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的e2横坐标为_28.已知为第四象限的角，且sin(2)4,则tan=_5129.已知 a a(m,n1)，b b(1,1)(m、n 为正数)，若 a ab b，则 的最小值是_mn10.已知等差数列an的前n项和为Sna1n a,某三角形三边之比为a2:a3:a4，则2该三角形最大角为 _ .111.已知函数 f(x)ax2bx 与直线 yx 相切于点 A(1,1)，若对任意 x1,9，不等式4f(xt)x 恒成立，则所有满足条件的实数t 组成的集合为_12.已知等差数列an和等比数列bn满足：a1b13，a2b27，a3b315，a4b435，则 a5b5_13.如图，平面内有三个向量OA,OB,OC，其中OA与OB的夹角为 120，OA与OC的夹角为150，且OA OB 1，OC 2 3若OC OAOB(，R R)，则的值为y3B2 3A 0.5O1x3C14.定义在R R上的函数y f(x)是减函数，且函数y f(x 1)的图象关于(1,0)成中心对称，t若s，t满足不等式f(s22s)f(2t t2)，则当1 s 4时，的取值范围是.s二解答题：本大题共二解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 9090 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤1515（本题满分（本题满分1414分）分）已知函数 f(x)=2x+k2-x,kR.（1）若函数 f(x)为奇函数，求实数 k 的值；（2）若对任意的 x0,都有 f(x)2-x成立，求实数 k 的取值范围.16.（本题满分（本题满分 1414 分）分）已知向量m (3sinxxx,1)，n (cos,cos2)，f(x)m n444(1)若f(x)1，求cos(x3)的值；1c b，求函数2(2)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足acosC f(B)的取值范围.17.（本题满分（本题满分 1515 分）分）已知数列an中,a11,前n项和Sn(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式.18.（本题满分（本题满分 1515 分）分）两县城A和B相距 20 km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为 0.065.按下列要求建立函数关系式：设CAB=(rad)，将表示成 y 的函数；并写出函数的定义域.设 AC=x(km)，将 x 表示成 y 的函数；并写出函数的定义域.请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城 B 的总影响度最小？n2an.319.（本题满分（本题满分 1616 分）分）已知函数f(x)|x|(x a)，a为实数.（1）当a 1时，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）当a 0时，求函数f(x)的单调区间；（3）是否存在实数a(a 0)，使得f(x)在闭区间1,上的最大值为 2.若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.20.（本题满分（本题满分 1616 分）分）数列an的前 n 项和为Sn，存在常数 A，B，C，使得anSn An2 BnC对任意正整数 n 都成立.若数列an为等差数列，求证：3ABC；若A 1213,B ,C 1,设bn ann,数列nbn的前项和为Tn，求Tn；222012若 C=0，an是首项为 1 的等差数列，设P 数的值.i1111，求不超过 P 的最大整ai2ai21高三数学参考参案高三数学参考参案一填空题：本大题共一填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分，把答案填在答题卡的相应位置分，把答案填在答题卡的相应位置1i1.已知i是虚数单位，复数z 1i2，则 z 虚部为 -12.若A x(x1)2x4,则 AZ 的元素个数为_03.设命题 p：，命题 q：sincos，则 p 是 q 的_条件充分不必要411 2，则a 6 4.已知log2alog3a5.已知xR，f(x)为sin x与cosx中的较小者，设m f(x)n，则mn=_.22122x1 (x0)36.设函数 f(x)，若 f(a)a，则实数 a 的值是_11 (x0)xa37.设 aR R，函数 f(x)exx是偶函数，若曲线 yf(x)的一条切线的斜率是，则切点的e2横坐标为_ ln28.已知为第四象限的角，且sin(2)43,则tan=_54129.已知 a a(m,n1)，b b(1,1)(m、n 为正数)，若 a ab b，则 的最小值是_mn32 210.已知等差数列an的前n项和为Sna1n a,某三角形三边之比为a2:a3:a4，则2该三角形最大角为 _ .分析与解答:因为数列an是等差数列,a 0,Sn n2，a23,a35,a4 7，设三角形最大角为，由余弦定理，得cos 12，.23111.已知函数 f(x)ax2bx 与直线 yx 相切于点 A(1,1)，若对任意 x1,9，不等式4f(xt)x 恒成立，则所有满足条件的实数t 组成的集合为_412.已知等差数列an和等比数列bn满足：a1b13，a2b27，a3b315，a4b435，则 a5b5_9113.如图，平面内有三个向量OA,OB,OC，其中OA与OB的夹角为 120，OA与OC的夹角为150，且OA OB 1，OC 2 3若OC OAOB(，R R)，则的值为（改编自 07 高考陕西卷，第 15 题）分析：本题的目的是考查向量的坐标运算和向量的基本定理，在解决向量问题中的坐标系和坐标的意识.如下图所示：313)，建立平面直角坐标系，则OA(1,0)，OB (,22By32A1x 0.5OOC (3,3)，代入OC OAOB(，R R)可得：1 32，可解得 4,2，故 63 3 2C314.定义在R R上的函数y f(x)是减函数，且函数y f(x 1)的图象关于(1,0)成中心对称，t若s，t满足不等式f(s22s)f(2t t2)，则当1 s 4时，的取值范围是.s【解析】由f(x 1)的图象关于(1,0)成中心对称，知f(x)的图象关于(0,0)成中心对称，故f(x)为 奇 函 数，得f(s2 2s)f(t22t)，从 而t2 2t s2 2s，化 简 得(t s)(t s 2)0，又1 s 4，故2 st s，从而2t11，等号可以取到，而ss2 11,s2t11，故,s21二解答题：本大题共二解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 9090 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤1515（本题满分（本题满分1414分）分）已知函数f(x)=2x+k2-x,kR.（1）若函数 f(x)为奇函数，求实数 k 的值；（2）若对任意的 x0,都有 f(x)2成立，求实数 k 的取值范围.-x16.（本题满分（本题满分 1414 分）分）已知向量m (3sin(1)若f(x)1，求cos(xxxx,1)，n (cos,cos2)，f(x)m n4443)的值；1c b，求函数2(2)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足acosC f(B)的取值范围.本题主要考查向量的数量积、二倍角的正弦、余弦公式、两角和与的正弦公式、以及余弦定理的基本运算.属于基础知识、基本运算的考查.解：（1）xxx3x1x1 x1fx mn 3sincos cos2sincos sin,4分44422222262 x1而fx1,sin.262 x x1cosx cos21 2sin2.7分3262621a2b2c211（2）acosC c b,ac b,即b2 c2 a2 bc,cos A.10分222ab2又A0,A12分32B又0 B,362623 fB1,.14分217.（本题满分（本题满分 1515 分）分）已知数列an中,a11,前n项和Sn(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式.本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用.解:(1)由a11与Snn 2an.3n 2an可得322a2 a1a2 a2 3a1 3,3分3322S3a3 a1a2a3a3 a1a2 4 a3 66分33S2故所求a2,a3的值分别为3,6.n 2n1anSn1an133n2n1anan1-可得SnSn18分33(2)当n 2时,Sn即anan2n1n1n1n110分anan1anan1n3333an1n11211 a1因2aa故有annn1an1an2an1n2a1a1n1n23n2n112n2n所以an的通项公式为an15分218.（本题满分（本题满分 1515 分）分）两县城A和B相距 20 km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为 0.065.按下列要求建立函数关系式：设CAB=(rad)，将表示成 y 的函数；并写出函数的定义域.设 AC=x(km)，将 x 表示成 y 的函数；并写出函数的定义域.请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城 B 的总影响度最小？解:（1）在RTABC中,AC=20cos,BC=20sin,则y=4k0,()2分400cos2400sin22其中当AC=10 2时，y=0.065，所以k=94分所以y表示成x的函数为y=2490,()5分400cos2400sin222由题意知ACBC，BC=400-x，y 4kx2400 x20 x 207分其中当x=10 2时，y=0.065，所以k=99分所以y表示成x的函数为y 49x2400 x20 x 2010分4sin9cos4sin49cos4（2）y=13分200cos3200sin3200sin3cos3令y=0,tan0622时,y0,函数为单调增函数当00时,y0,函数为单调减函数;当0所以当=0时,y有最小值当tan06即AC=4 10时,即当C点到城A的距离为4 10时，在此处的垃圾处理厂对城2A和城B的总影响度最小.15分818x10 x46400 x21280000y 3,x400 x22x3(400 x2)2令y=0得x=4 10当0 x4 10时，y0,所以函数为单调减函数，0 x 2013分当4 10 x20时，y0所以函数为单调增函数所以当x=4 10时，即当C点到城A的距离为4 10时，在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.15分（注：该题可用基本不等式求最小值）19.（本题满分（本题满分 1616 分）分）已知函数f(x)|x|(x a)，a为实数.（1）当a 1时，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）当a 0时，求函数f(x)的单调区间；（3）是否存在实数a(a 0)，使得f(x)在闭区间1,上的最大值为 2.若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.（1）f(x)|x|(x 1)12f(1)0,f(1)2 f(1)f(1),f(1)f(1)f(x)既不是奇函数，又不是偶函数.4分（2）（画图）a 0时，f(x)|x|x，单调增区间为(,)6 分2x ax,x 0,a 0时，f(x)2，x ax,x 0单调增区间为(,),(0,)，单调减区间为(,0)10 分（3）a 0 f(1)1a 2a 3a2a211 17 f()(a)222 24由（2）知，f(x)在(0,)上递增 f(x)必在区间1,0上取最大值 2当12 分a 1，即a 2时，214 分则f(1)2，a 3，成立当a 1，即0 a 2时，2a则f()2，则a 2 2（舍）2综上，a 316分20.（本题满分（本题满分 1616 分）分）数列an的前 n 项和为Sn，存在常数 A，B，C，使得anSn An2 BnC对任意正整数 n 都成立.若数列an为等差数列，求证：3ABC；若A 13,B ,C 1,设bn ann,数列nbn的前项和为Tn，求Tn；222012若 C=0，an是首项为 1 的等差数列，设P 数的值.i1111，求不超过 P 的最大整22aiai1因为an为等差数列，设公差为d，由an Sn An2 BnC，121d即(d A)n2(a1 B)n(a1d C)0对任意正整数n都成立2分22得a1(n1)d na1n(n1)d An2 BnC，12d A 0,1所以a1d B 0,所以3A B C 04 分2a1d C 0,因为an Sn n2n1，所以a1，当n 2时，an1 Sn1(n1)2(n1)1，所以2anan1 n1，即2(an n)an1 n1，所以bnbn1(n2)，而b1 a11所以数列bn是首项为1232121232121，2111，公比为的等比数列，所以bn()n 7 分222n123n1123n于 是nbnn 所 以Tn+2+3+n，Tn2+3+4+n+1，2222222222由，得Tn12111+2+3+222111()n1n2n1(1)nn12+n+nn+12n+1n+1n+1122222212所以Tn 22+n10 分n2 因为an是首项为1的等差数列，由知，公差d 1，所以an n11n2(n1)2(n1)2n2而12n(n1)2n2(n1)2n(n1)111111，14分n(n1)n(n 1)nn 1111111111，)(1)(1)2013122334201220132013所以，不超过P的最大整数为201216 分所以P(1)(1
