2011年第十六届“华罗庚金杯”奥数总决赛试卷（小学组第1试）.pdf
12011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第 1 试）一、填空题（共 3 题,每题 10 分）1（10 分）计算：+2（10 分）如图所示,正方形 ABCD 的面积为 12,AEED,且 EF2FC,那么ABF 的面积是 3（10 分）某地区的气象记录表明,在一段时间内,全天下雨共 1 天;白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共 9 天;6 个夜间和 7 个白天晴朗则这段时间有 天,其中全天晴有 天二、解答题（共 3 题,每题 10 分,写出解答过程）4（10 分）已知 a 是各位数字相同的两位数,b 是各位数字相同的两位数,c 是各位数字相同的四位数,且 a2+bc求所有满足条件的（a,b,c）5（10 分）纸板上写着 100、200、400 三个自然数,再写上两个自然数,然后从这五个数中选出若干个（至少两个）做只有加、减法的四则运算,在一个四则运算式子中,选出的数只能出现一次,经过所有这样的运算,可以得到 k 个不同的非零自然数那么 k 最大是多少?6（10 分）将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 填入如图的圆圈中,每个圆圈恰填一个数,满足下列条件：2（1）正三角形各边上的数之和相等;（2）正三角形各边上的数之平方和除以 3 的余数相等问：有多少种不同的填入方法?（注意,经过旋转和轴对称反射,排列一致的,视为同一种填法）32011 年第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（小学组第 1 试）参考答案与试题解析一、填空题（共 3 题,每题 10 分）1（10 分）计算：+【分析】通过观察,可把每个分数拆成两个分数相减的形式,然后通过加减相互抵消,求得结果【解答】解：+1+1故答案为：2（10 分）如图所示,正方形 ABCD 的面积为 12,AEED,且 EF2FC,那么ABF 的面积是5【分析】连接 DF,易得 SABF+SDCFSABCD,根据 AEED 可得 SECDSABCD,根据4EF2FC 可得 SDFCSECD,进而求解【解答】解：连接 DF,易得 SABF+SDCFSABCD6,根据 AEED 可得 SECDSABCD3,根据 EF2FC 可得 SDFCSECD1,则 SABF615;答：ABF 的面积是 5故答案为：53（10 分）某地区的气象记录表明,在一段时间内,全天下雨共 1 天;白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共 9 天;6 个夜间和 7 个白天晴朗则这段时间有12天,其中全天晴有2天【分析】一天有白天和夜间两部分,下雨的有 9 部分,不下雨的有（6+7）即 13 部分,那么不是全天下雨的天数共有：（9+13）211（天）;总天数为：11+112（天）而 11 天中,有一部分下雨的为 9 天,则全不下雨的天数为：1192（天）【解答】解：白天或夜间晴朗：6+713（个）;不是全天下雨的天数共有：（9+13）211（天）;总天数为：11+112（天）;全晴天有：1292（天）答：这段时间有 12 天,其中全天晴有 2 天5故答案为：12,2二、解答题（共 3 题,每题 10 分,写出解答过程）4（10 分）已知 a 是各位数字相同的两位数,b 是各位数字相同的两位数,c 是各位数字相同的四位数,且 a2+bc求所有满足条件的（a,b,c）【分析】由题意可知,c 最小是 1111,b 最大是 99,由 a2+bc 可知,1111991012,a 最小是 33,即 a 是 33、44、55、66、77、88、99 之中的数,c 就是比 a 的平方大不超过 100的各位数字相同的四位数,依次试算即可解答【解答】解：由分析可知：a33,a21089,c1111,b22,符合题意;a44,a21936,c2222,b296,不符合题意;a55,a23025,c3333,b308,不符合题意;a66,a24356,c4444,b88,符合题意;a77,a25929,c6666,b737,不符合题意;a88,a27744,c7777,b33,符合题意;a99,a29801,c9999,b198,不符合题意;满足要求的解有三组：（a,b,c）（33,22,1111）,（66,88,4444）,（88,33,7777）5（10 分）纸板上写着 100、200、400 三个自然数,再写上两个自然数,然后从这五个数中选出若干个（至少两个）做只有加、减法的四则运算,在一个四则运算式子中,选出的数只能出现一次,经过所有这样的运算,可以得到 k 个不同的非零自然数那么 k 最大是多6少?【分析】此题属于天平两端放砝码的称重问题的变形原来三个数最多称出 6 种重量;再加一个砝码 A,最多 6318 种另外,与 400 组合和与差有 2 种,共 20 种;再加第二被砝码 B,解法同据此解答【解答】解：100、200、400 最多称出 6 种重量：100、200、300、500、600、700;再加一个砝码 A,有不放、放左边、放右边三种情况,最多：6318 种;另外,与 400组合和与差有 2 种,共 20 种;再加第二被砝码 B,同上最多有：20360 种;与 400、A 分别组合和与差有 4 种,共64 种答：k 最大是 646（10 分）将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 填入如图的圆圈中,每个圆圈恰填一个数,满足下列条件：（1）正三角形各边上的数之和相等;（2）正三角形各边上的数之平方和除以 3 的余数相等问：有多少种不同的填入方法?（注意,经过旋转和轴对称反射,排列一致的,视为同一种填法）【分析】首先根据表示出各个位置的数字,列出数字和的关系,表示出平方的关系,最后7按照除以 3 的余数分类进行枚举讨论即可【解答】解：依题意可知设字母如图所示：a+b+c+dd+e+f+gg+h+i+aPa2+b2+c2+d2d2+e2+f2+g2g2+h2+i2+a2Q（mod3）由 3Pa+b+c+d+d+e+f+g+g+h+i+a45+a+d+g得 a+d+g0（mod3）3Qa2+b2+c2+d2+d2e2+f2+g2+g2+h2+i2+a2285+a2+d2+g2得：a2+d2+g20（mod3）由（3）和（4）得到 adg0（mod3）按照余数分类 3,6,9 余数是 0,1,4,7 余数是 1,2,5,8 余数是 2首先设 a1,d4,g7则 b+c+e+f+h+i451233那么 b+c+e+f+h+i3（b+c）63,b+c14（1）、b+c9+5,e+f2+6,h+i8+3 由于两边中间数都可以互换,所以共有 238 种情况8（2）、b+c8+6,e+f3+5,h+i9+2,又是 8 种对于 a2,d5,g8 和 a3,d6,g9 也各有 16 种因此一共有 48 种综上所述共 48 种
