8.2 一元线性回归模型及其应用(精讲)(解析版).pdf

8.28.2一元线性回归模型及其应用（精讲）一元线性回归模型及其应用（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考点一考点一 样本中心解小题样本中心解小题【例【例 1 1】（2021江西赣州市）某产品在某零售摊位上的零售价x（元）与每天的销售量y（个）统计如下表：x16501718341931ym据上表可得回归直线方程为y 6.4x151，则上表中的m的值为（）A38B39C40D411 1/1313【答案】D【解析】由题意x 1617181950m3431115m17.5，y，444所以115m 6.417.5151，解得m 41故选：D4【一隅三反】【一隅三反】1（2021江西景德镇市景德镇一中）随机变量x与y的数据如表中所列，其中缺少了一个数值，已知y 0.9x3，则缺少的数值为（）关于x的线性回归方程为yx25B6.636C7.54D85769yA6【答案】A 0.9x3过样本中心点x,y，【解析】设缺少的数值为m，由于回归方程为y且x 234565679m 4，代入y 0.943 6.6，所以y 6.6，解得m 6.55故选：A.2（2021河南信阳市）根据如下样本数据：x2432.5456y0.523得到的回归方程为y bxa，则（）Aa 0，b 0Ca 0，b 0【答案】B 0Ba 0，b 0Da 0，b 0，【解析】由图表中的数据可得，变量y随着x的增大而减小，则bx 2345642.50.523 4，y 0.2，55又回归方程y bxa经过点(4,0.2)，可得a 0，故选：B3（2021安徽六安市六安一中）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x2 2/1313（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：C）存在着较强的线性相关关系某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程y 0.25xk.x（次数/分钟）20253027.540295032.56036yC则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为（）A33 C【答案】D【解析】由表格中的数据可得x B34 CC35 CD35.5 C20304050602527.52932.536 40，y 30，55由于回归直线过样本中心点x,y，可得300.2540k，解得k 20.所以，回归直线方程为y 0.25x20.在回归直线方程中，令x 62，可得y 0.25622035.5.故选：D.考点二考点二 一元线性方程一元线性方程【例【例 2 2】（2021兴义市第二高级中学）在2010 年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x销售量y9119.51010810.56115 通过分析，发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系，求（1）销售量y对商品的价格x的回归直线方程；（2）若使销售量为 12，则价格应定为多少.a 中b附：在回归直线y bxx y nxyiii1nnxi1 y bx，a2inx2【答案】（1）y 3.2x40（2）8.75【解析】（1）由题意知x 10，y 8，3 3/1313b99958063555108 3.2，a 8(3.2)10 40，8190.25100110.251215100线性回归方程是y 3.2x40；（2）令y 3.2x 40 12，可得x 8.75，预测销售量为 12 件时的售价是 8.75 元【一隅三反】【一隅三反】1（2020河南开封市）配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每公里所需要的时间，相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.图 1 是一个马拉松跑者的心率y（单位：次/分钟）和配速x（单位：分钟/公里）的散点图，图 2 是一次马拉松比赛（全程约42 公里）前 3000 名跑者成绩（单位：分钟）的频率分布直方图.（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；（2）该跑者如果参加本次比赛，将心率控制在160 左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间，并估计他能获得的名次.a bx中，b参考公式：线性回归方程y(xi1nni x)(yi y)i(x y bx，a x)2参考数据：y 135.【答案】（1）y 25x285；（2）210 分钟，192 名【解析】（1）由散点图中数据和参考数据得x 4.55677.5 6，5y 100109130165171135，54 4/1313bx xy yiii15xi xi1521.536(1)300(5)1(26)1.5(35)25，(1.5)2(1)202121.52135(25)6 285，y bxa所以y与x的线性回归方程为y 25x285.（2）将y 160代入回归方程得x 5，所以该跑者跑完马拉松全程所花的时间为425 210分钟.从马拉松比赛的频率分布直方图可知成绩好于210 分钟的累积频率为0.0008500.00242102000.064，有6.4%的跑者成绩超过该跑者，则该跑者在本次比赛获得的名次大约是0.0643000192名.2（2020云南红河哈尼族彝族自治州）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，特别是每年的“双十一”，天猫的交易额数目惊人.2020 年天猫公司的工作人员为了迎接天猫“双十一”年度购物狂欢节，加班加点做了大量准备活动，截止2020 年 11 月 11 日 24 时，2020 年的天猫“双十一”交易额定格在 3700 多亿元，天猫总公司所有员工对于新的战绩皆大欢喜，同时又对2021 年充满了憧憬，因此公司工作人员反思从 2014 年至 2020 年每年“双十一”总交易额(取近似值)，进行分析统计如下表：年份年份代码(t)总交易额y(单位：百亿)201415.7201529.12016312.12017416.82018521.32019626.82020737（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明；（2）利用最小二乘法建立y关于t的回归方程(系数精确到 0.1)，预测 2021 年天猫“双十一”的总交易额.参考数据：(ti17it)(yi y)138.5，ny yii172 26.7，7 2.646；参考公式：相关系数r t ty yiii1t ty y2iii1i1nn2；5 5/1313回归方程y bt a中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ti17itiy yt y nx yiiinti17t2i1nti12inx2，a=ybt.4.9t 1.2，预测 2021 年天猫“双十一”的总交易额约为【答案】（1）答案见解析；（2）回归方程为y38 百亿.【解析】（1）t 4，7(ti17i t)2 28，7(t t)(yii1i y)138.5，yi yi12 26.7r 所以t t(y y)iii1n(ti1nnit)2(yi y)2i1nn138.5 0.9822.64626.7因为总交易额y与年份代码t的相关系数近似为 0.98，说明总交易额y与年份代码t的线性相关性很强，从而可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系.（2）因为y 18.4，7(ti17i t)2 28，所以bt t(yii17ii1i y)2t t138.5 4.9，28，b 18.44.94 1.2 y ba 4.9t 1.2所以y关于t的回归方程为y 4.981.2 38.又将 2021 年对应的t 8代入回归方程得：y所以预测 2021 年天猫“双十一”的总交易额约为38 百亿.3（2021湖北省武昌实验中学高二期末）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某6 6/1313种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若r 0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为12 千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式r x xy yiii1nx xy y2iii1i1nn2x y nx yiii1nxi1n2inx2yi1n2iny2参考数据：0.3 0.55，0.9 0.95回归方程y bxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b x xy yx y nx yiiiii1nnx xii1n2i1nxi12inx2，a yxb【答案】（1）0.95；答案见解析；（2）y 0.3x2.5；610 千克.【解析】（1）由已知数据可得x 5245683 4 4 45 4，5，y 55所以x xy y3110001031 6，iii1i155xi x2311222021232 2 5，i1yi y2020202122，7 7/1313所以相关系数r x xy yiii15i15xi x2i15yi y269 0.95102 52因为r 0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系（2）b x xy yiii15x xii1526 0.3，a 450.3 2.5，20所以回归方程为y 0.3x2.5当x 12时，y 0.3122.56.1，即当液体肥料每亩使用量为12 千克时，西红柿亩产量的增加量约为610 千克考点三考点三 非一元线性方程非一元线性方程【例【例 3 3】（2020全国高二课时练习）在一次抽样调查中测得5个样本点，得到下表及散点图x0.25160.5121224y51（1）根据散点图判断y a bx与y ck x哪一个适宜作为y关于x的回归方程；（给出判断即可，不1必说明理由）（2）根据（1）的判断结果试建立y与x的回归方程；（计算结果保留整数）（3）在（2）的条件下，设z y x且x4,，试求z的最小值8 8/1313nnxi xyi yiii1x y nx y参考公式：回归方程y bx a 中，b1，nx2i2a ybx.i xinx2i1nxi1【答案】（1）y ck x1；（2）y 4x1；（3）6.【解析】（1）由题中散点图可以判断，y ck x1适宜作为y关于x的回归方程；（2）令t x1，则y ckt，原数据变为t4210.50.25y1612521由表可知y与t近似具有线性相关关系，计算得t 4210.50.2551.55，y 16125215 7.2，k 416212150.520.25151.557.24222120.520.25251.55238.459.3 4，所以，c ykt 7.241.55 1，则y 4t 1所以y关于x的回归方程是y 4x1（3）由（2）得z y x 4x x1，x4,，任取x1、x2 4，且x1 x2，即x1 x2 4，可得z 4 44x2 x11 z2x x11 x 1x1 x244 x1 x21x22x1x2x1x2x1 x2x1x24x，1x2因为x1 x2 4，则x1 x2 0，x1x216，所以，z1 z2，9 9/1313所以，函数z【一隅三反】【一隅三反】44 x1在区间4,上单调递增，则zmin41 6.x41（2020江苏省如皋中学高二月考）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间x（天数）与销售单价y（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）.1110表中wi,w wi.xi10i1（1）根据散点图判断y abx，与y c 说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程.（3）若该产品的日销售量gx（件）与时间x的函数关系为gx市场第几天的销售额最高？最高为多少元？附：对于一组数据u1,v1,u2,v2,u3,v3,.,un,vn，其回归直线v u的斜率和截距的最小二乘法d哪一个更适合作价格y关于时间x的回归方程类型？（不必x100120 xN，求该产品投放x1010/1313估计分别为(vi1nniv)(uiu),v u.2i(u u)i1【答案】（1）y c 售额为 2420 元；1d更适合作价格y关于时间x的回归方程；（2）y 20(1)；（3）第 10 天，最高销xx【解析】（1）根据散点图知y c（2）令w 10d更适合作价格y关于时间x的回归方程类型；x1，则y c dw，xii而d(w w)(yi110ii1 y)2(w w)18.4 20，0.921c y dw 37.8200.89 20，即有y 20(1)；x（3）由题意结合（2）知：日销售额为f(x)yg(x)20(1)(1201x100)，xf(x)20(1)(1201x10015)400(62)，xxx若t 1212112，令h(t)6t 5t 5(t)，x102011211211 2420元,时，h(t)max h()，即x 10天，f(x)max f(10)40010102020t 所以该产品投放市场第 10 天的销售额最高，最高销售额为2420 元.2（2021江苏苏州市）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021 年到 2025 年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近 10 年年研发资金投入额xi和年盈利额yi的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：y x2，y ext，其中，t均为常数，e为自然对数的底数令ui xi，21111/1313vilnyii 1,2,10，经计算得如下数据：xyx xii1102yi110i y2uv26102151065210680105.36ui1iu2u uy yiii1v vii12x xv viii1112501302.612（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?（2）（）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程;（系数精确到 0.01）（）若希望 2021 年盈利额y为 250 亿元，请预测 2021 年的研发资金投入额x为多少亿元？（结果精确到0.01）附：相关系数r(x x)(y y)iii1n(x x)(y y)2iii1i1nn中：b a bx，回归直线y2(x x)(yii1nii1ni y)，2(x x)y bxa参考数据：ln2 0.693，ln5 1.609【答案】（1）模型y ext e的拟合程度更好；（2）（）y0.18x0.56；（）27.56.【解析】（1）设ui和yi的相关系数为r1，xi和vi的相关系数为r2，由题意，r1u uy yiii110u uy yiii1i110210213013 0.87，11250215r2x xv viii110 xi xvivi1i11021021212 0.92，652.613xt则r1 r2，因此从相关系数的角度，模型y e的拟合程度更好1212/1313（2）（）先建立v关于x的线性回归方程，由y ext，得ln y t x，即v t x，10 xi xvivi1121065，x 2ixi1t v x 5.36126526 0.56，所以v关于x的线性回归方程为v 0.18x0.56，所以ln y 0.18x 0.56，则y e0.18x0.56（）2021 年盈利额y 250（亿元），所以250 e0.18 x0.56，则0.18x0.56ln250，因为ln2503ln5 ln2 31.6090.6935.52，所以x 5.520.560.18 27.56所以 2021 年的研发资金投入量约为27.56 亿元1313/1313