高一数学宝典：数列、不等式要点.doc
数列、不等式1已知前n项和Sna1a2a3an，则an.由Sn求an时，易忽略n1的情况问题1已知数列an的前n项和Snn21，则an_.答案2等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法an1and(d为常数)或an1ananan1(n2)(2)等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d.(3)等差数列的前n项和：Sn，Snna1d.(4)等差数列的性质当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Snna1dn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.若公差d>0，则为递增等差数列；若公差d<0，则为递减等差数列；若公差d0，则为常数列当mnpq时，则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列问题2已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1012，S2017，则S30为()A15 B20 C25 D30答案A3等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法：定义法q(q为常数)，其中q0，an0或(n2)如一个等比数列an共有2n1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an1.(2)等比数列的通项：ana1qn1或anamqnm.(3)等比数列的前n项和：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.易错警示：由于等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q1和q1两种情形讨论求解(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为.如已知两个正数a，b(ab)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A>B.(5)等比数列的性质当mnpq时，则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有amana2p.问题3(1)在等比数列an中，a3a8124，a4a7512，公比q是整数，则a10_.(2)各项均为正数的等比数列an中，若a5a69，则log3a1log3a2log3a10_.答案(1)512(2)104数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法；如：；.(6)并项法数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法问题4数列an满足anan1(nN，n1)，若a21，Sn是an的前n项和，则S21的值为_答案5在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示问题5不等式3x25x2>0的解集为_答案6不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行问题6已知a，b，c，d为正实数，且c>d，则“a>b”是“ac>bd”的_条件答案充分不必要7基本不等式： (a，b>0)(1)推广： (a，b>0)(2)用法：已知x，y都是正数，则若积xy是定值p，则当xy时，和xy有最小值2；若和xy是定值s，则当xy时，积xy有最大值s2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件问题7已知a>0，b>0，ab1，则y的最小值是_答案98解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解问题8设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是_答案易错点1忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列的公比q是_错解1找准失分点当q1时，符合要求很多考生在做本题时都想当然地认为q1.正解当q1时，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立当q1时，由S3S6S9得q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.答案1或1易错点2忽视分类讨论或讨论不当致误例2若等差数列an的首项a121，公差d4，求：Sk|a1|a2|a3|ak|.错解由题意，知an214(n1)254n，因此由an0，解得n，即数列an的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.|a1|a2|a3|ak|(a1a2a3a6)(a7a8ak)2(a1a2a6)(a1a2a6a7a8ak)2k223k132所以Sk2k223k132.找准失分点忽视了k6的情况，只给出了k7的情况正解由题意，知an214(n1)254n，因此由an0，解得n，即数列an的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.当k6时，Sk|a1|a2|ak|a1a2ak2k223k.当k7时，|a1|a2|a3|ak|(a1a2a3a6)(a7a8ak)2(a1a2a6)(a1a2a6a7a8ak)2k223k132，所以Sk.易错点3忽视等比数列中的隐含条件致误例3各项均为实数的等比数列an的前n项和为Sn，若S1010，S3070，则S40_.错解150或200找准失分点数列S10，S20S10，S30S20，S40S30的公比q10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解200.正解记b1S10，b2S20S10，b3S30S20，b4S40S30，b1，b2，b3，b4是以公比为rq10>0的等比数列b1b2b31010r10r2S3070，r2r60，r2或r3(舍去)，S40b1b2b3b4150.答案150易错点4忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4已知：a>0，b>0，ab1，求22的最小值错解由22a2b242ab4448，得22的最小值是8.找准失分点两次利用基本不等式，等号不能同时取到正解22a2b24(a2b2)4(ab)22ab4(12ab)4由ab2，得12ab1，且16,117.原式174(当且仅当ab时，等号成立)，22的最小值是.1在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7等于()A10 B18C20 D28答案C解析因为a3a810，所以由等差数列的性质，得a5a610，所以3a5a72a52a620，选C.2若<<0，则下列不等式：ab<ab；|a|>|b|；a<b中，正确的不等式有()A0个 B1个C2个 D3个答案B解析由<<0，得a<0，b<0，故ab<0且ab>0，所以ab<ab，即正确；由<<0，得>，两边同乘|ab|，得|b|>|a|，故错误；由知|b|>|a|，a<0，b<0，所以a>b，即错误，选B.3已知，x>1，y>1，且ln x，ln y成等比数列，则xy有()A最小值e B最小值C最大值e D最大值答案A解析x>1，y>1，且ln x，ln y成等比数列，ln xln y()2，即ln xln y()2，ln xln y1，ln xy1，故xye.4设等比数列an的前n项和为Sn，若S10S512，则S15S5等于()A34 B23C12 D13答案A解析an是等比数列，S5，S10S5，S15S10也构成等比数列，记S52k(k0)，则S10k，可得S10S5k，进而得S15S10k，于是S15k，故S15S5k2k34.5把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，则第50个括号内各数之和为()A195 B197C392 D396答案C解析将三个括号作为一组，则由501632，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列2n1的第16696项，第50个括号的第一个数应为数列2n1的第98项，即为2981195，第二个数为2991197，故第50个括号内各数之和为195197392.故选C.6已知点A(m，n)在直线x2y10上，则2m4n的最小值为_答案2解析点A(m，n)在直线x2y10上，则m2n1；2m4n2m22n222.7已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是_答案4解析由x，a，b，y成等差数列知abxy，由x，c，d，y成等比数列知cdxy，把代入得4，的最小值为4.8已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z的最大值为_答案4解析画出可行域D，如图中阴影部分所示，而zxy，yxz，令l0：yx，将l0平移到过点(，2)时，截距z有最大值，故zmax24.9已知函数f(x)(a>0，a1)数列an满足anf(n)(nN*)，且an是单调递增数列，则实数a的取值范围是_答案(4,8)解析an是单调递增数列，4<a<8.10已知正项数列an，其前n项和Sn满足8Sna4an3，且a2是a1和a7的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)符号x表示不超过实数x的最大整数，记bnlog2()，求b1b2b3b2n.解(1)由8Sna4an3，知8Sn1a4an13(n2，nN)由得8an(anan1)(anan1)4an4an1，整理得(anan14)(anan1)0(n2，nN)an为正项数列，anan1>0，anan14(n2，nN)an为公差为4的等差数列，由8a1a4a13，得a13或a11.当a13时，a27，a727，不满足a2是a1和a7的等比中项当a11时，a25，a725，满足a2是a1和a7的等比中项an1(n1)44n3.(2)由an4n3得bnlog2()log2n，由符号x表示不超过实数x的最大整数知，当2mn<2m1时，log2nm，所以令Sb1b2b3b2nlog21log22log23log22n011234n1n.S121222323424(n1)2n1n，2S122223324425(n1)2n2n.得S22223242n1(n1)2nn(n1)2nn(2n)2nn2，S(n2)2nn2，即b1b2b3b2n(n2)2nn2.
