导数的概念、导数公式与应用.pdf
导数的概念及运算导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率知识点一：函数的平均变化率1 1概念：概念：函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值 y 也相应的有增量y=f(x0+x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+x 的平均变化率，即。假设到，则平均变化率可表示为，称为函数从的平均变化率。注意：注意：事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当情况。是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是 0。函数更小考虑。取值越小，越能准确表达函数的变化的平均变化率是 0，并不一定说明函数2 2平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义没有变化，应取函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。如下图，函数的平均变化率的几何意义是：直线 AB 的斜率。事实上，。作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。知识点二：导数的概念：知识点二：导数的概念：1 1导数的定义：导数的定义：对函数，在点处给自变量 x 以增量，函数 y 相应有增量。假设极限点处的导数，记作或，此时也称在点存在，则此极限称为处可导。在即：注意：注意：增量可以是正数，也可以是负数；或导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。2 2导函数：导函数：如果函数应着一个确定的导数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个,称这个函数，都对为函数，从而构成了一个新的函数在开区间内的导函数，简称导数。注意：注意：函数的导数与在点处的函数值，反映函数在处的导数不是同一概念，附近的变化情况。是常数，是函数在3 3导数几何意义：导数几何意义：1 1曲线的切线曲线的切线曲线上一点 P(x0，y0)及其附近一点 Q(x0+x,y0+y)，经过点 P、Q 作曲线的割线 PQ，其倾斜角为当点 Q(x0+x,y0+y)沿曲线无限接近于点 P(x0，y0)，即x0 时，割线 PQ 的极限位置直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线。假设切线的倾斜角为，则当x0 时，割线 PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。即：。(2)(2)导数的几何意义：导数的几何意义：函数注意：注意：假设曲线在点在点 x0的导数是曲线上点处的切线的斜率。处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。，切线与轴正向夹角为钝角；，切线与轴正向夹角为锐角；,切线与轴平行。(3)(3)曲线的切线方程曲线的切线方程如果在点可导，则曲线。在点处的切线方程为：4 4瞬时速度：瞬时速度：物体运动的速度等于位移与时间的比，而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。如果物体的运动规律满足 s=s(t)(位移公式)，那么物体在时刻 t 的瞬时速度 v，就是物体t到t+t这 段 时 间 内，当 t 0时 平 均 速 度 的 极 限，即。如果把函数度。规律方法指导规律方法指导1 1如何求函数的平均变化率如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：作差：求出和看作是物体的位移公式，导数表示运动物体在时刻的瞬时速作商：对所求得的差作商，即。注意：注意：1值不能为零，的值可以为零。假设函数，式子中、的值可正、可负，但。的为常数函数时，2在式子。中，与是相对应的“增量”，即在时，3在式子变化率不同；当取定值，中，当取定值，取不同的数值时，函数的平均取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。2 2如何求函数在一点处的导数如何求函数在一点处的导数1利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”。计算函数的增量：；求平均变化率：；取极限得导数：2利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。3 3导数的几何意义导数的几何意义设函数处的切线的斜率。设设是位移关于时间的函数，则是速度关于时间的函数，则表示物体在表示物体在在点的导数是，则表示曲线。在点时刻的瞬时速度；时刻的加速度；4 4利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤求出在处的导数；。利用直线方程的点斜式得切线方程为类型一：求函数的平均变化率类型一：求函数的平均变化率1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.思路点拨：思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式举一反三：举一反三：【变式 1】求函数 y=5x2+6 在区间2，2+【变式 2】已知函数11，3；21，2；31，1.1；41，1.001.，分别计算内的平均变化率。进行操作.在以下区间上的平均变化率：【变式 3】自由落体运动的运动方程为内的平均速度位移 s 的单位为 m。，计算t 从 3s 到 3.1s，3.01s，3.001s 各段【变式 4】过曲线时割线的斜率.类型二：利用定义求导数类型二：利用定义求导数举一反三：举一反三：【变式 1】已知函数2、用导数的定义，求函数在 x=1 处的导数。上两点和作曲线的割线，求出当1求函数在 x=4 处的导数.2求曲线【变式 2】利用导数的定义求以下函数的导数：上一点处的切线方程。123；4。3、求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处的切线方程.思路点拨：思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数 y=x3+2x 在 x=1 处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将 x=1 代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.举一反三：举一反三：【变式】在曲线 y=x2上过哪一点的切线：1平行于直线 y=4x5；2垂直于直线 2x6y+5=0；3与 x 轴成 135的倾斜角。知识点知识点三三：常见基本函数的导数公式：常见基本函数的导数公式123456，C 为常数，n 为有理数，7，8，知识点四：函数四则运算求导法则知识点四：函数四则运算求导法则设，均可导1和差的导数：2积的导数：3商的导数：知识点五：复合函数的求导法则知识点五：复合函数的求导法则即复合函数数或对自变量的导数。，等于已知函数对中间变量的导，乘以中间变量对自变量的导数注意：注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。规律方法指导规律方法指导1 1求复合函数的导数的一般步骤求复合函数的导数的一般步骤适当选定中间变量，正确分解复合关系；分步求导弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导；把中间变量代回原自变量一般是 x的函数。整个过程可简记为分解求导回代，熟练以后，可以省略中间过程。假设遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。类型一：利用公式及运算法则求导数类型一：利用公式及运算法则求导数1、求以下函数的导数：；213举一反三：举一反三：；4y=2x33x2+5x4【变式】求以下函数的导数：1；23y=6x34x2+9x62、求以下各函数的导函数1；2y=x2sinx;3y=举一反三：举一反三：；4y=【变式 1】函数在处的导数等于()A1B2C3D4【变式 2】以下函数的导数1【变式 3】求以下函数的导数.1；2；2；3.类型四：复合函数的求导类型四：复合函数的求导3、求以下函数导数.1；3；举一反三：举一反三：【变式 1】求以下函数的导数：1；2；4.23y=lnx；4类型五：求曲线的切线方程类型五：求曲线的切线方程举一反三：举一反三：【变式 1】求曲线【变式 2】已知切线方程是_.【变式 3】已知曲线1求曲线.，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的在点处的切线的斜率，并写出切线方程.4、求曲线 y=x3+2x 在 x=1 处的切线方程.上横坐标为 1 的点处的切线的方程；2第1小题中的切线与曲线【变式 4】如果曲线线方程是否还有其他的公共点？的某一切线与直线平行，求切点坐标与切5、已知直线 为曲线且.在点1，0处的切线，为该曲线的另一条切线，1求直线的方程；2求由直线、和轴所围成的三角形的面积.举一反三：举一反三：【变式 1】曲线_.在点1，1处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为【变式 2】曲线在0，1处的切线与 的距离为，求 的方程.
