韩士安 近世代数 课后习题解答2.pdf
第 1 页 共 8 页 习题 1-2(参考解答)习题 1-2(参考解答)1.证明：:实数域R上全体n阶方阵的集合()Mn R,关于矩阵的加法构成一个交换群.证明:（1）显然，()Mn R为一个具有“+”的代数系统.（2）矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立.（3）矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立.（4）零元是零矩阵.(),00.AMn RAAA+=+=（5）(),AMn R 负元是.()0A AAAA+=.()(),Mn R+构成一个 Abel 群.2.证明：实数域R上全体n阶可逆方阵的集合()GLn R关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n阶一般线形群.证明:显然()GLn R是个非空集合.对于任何的,()A BGLn R，令CAB=,则0CABA B=,所以()CGLn R.因为举证乘法有结合律，所以结合律成立.对任意(),AGLn RAEEA=,所以E是单位元.任意的(),AGLn R由于0A,A的逆矩阵1A，满足11AAA AE=且 A的逆元是1A.所以,()GLn R关于矩阵的乘法构成群.3.证明:实数域R上全体n阶正交矩阵的集合()On R关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n阶正交群.证明:（1）由于()EOn R,()On R非空.(2)任意,()A BOn R,有()()111TTTABB AB AAB=,第 2 页 共 8 页 ()ABOn R,于是矩阵的乘法在()On R上构成代数运算.(3)矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立.（4）对任意()AOn R，有.AEEAA=E为()On R的单位元.（5）对任意()AOn R，存在()TAOn R,满足1TAAEAA=,1TAAEA A=TA为A在()On R中的逆元.()On R关于矩阵的乘法构成一个群.4.证明：所有行列式等于 1 的n阶整数矩阵组成的集合()SLn Z,关于矩阵的乘法构成群.证明：()ESLn Z，()SLn Z是个非空集合.对任意,()A BSLn Z,记CAB=,则C是整数矩阵，且1CABA B=,()CSLn Z，即()SLn Z关于矩阵的乘法封闭.(1)矩阵乘法有结合律，结合律成立.(2)对任意的()ASLn Z,.AEEAA=,且()ESLn Z,A的单位元是单位矩阵E.(3)对任意的()ASLn Z,因为()AMn Z,故*()AMn Z,又11*AAAA=且 11AA=,所以1()ASLn Z,又11AAA AE=,故A的逆元为1A.所以,()SLn Z关于矩阵乘法构成群.第 3 页 共 8 页 5.在整数集中,规定运算“”如下：2abab=+,a bZ.证明：(),Z 构成群.证明:（1）对于,a bZ有 2ababZ=+,于是“”在Z上构成代数运算.（2）对于,a bZ有，()4abcabc=+.()()24abcabcabc=+=+()()abcabc=于是结合律成立.（3）对于,a bZ,22ababbabaZ=+=+=那么“”在Z上有交换律.（4）对于aZ，有222aaa=+=2 为单位元（5）对于aZ，有4aZ,()()4422aaaa=+=4a为a的逆元.(),Z 构成群.6.分别写出下列各群的乘法表.（1）例 6 中的群:1-1 i-i 1 1-1 i-i-1-1 1-i i i I-i-11-i-i i 1-1(3)群*7Z:1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 4 4 4 1 5 2 6 3 5 5 3 1 6 4 2 6 6 5 4 3 2 1(4)群(18)U.第 4 页 共 8 页 1 5 7 11 13 17 1 1 5 7 11 13 17 5 5 7 17 1 11 13 7 7 17 13 5 1 11 11 11 1 5 13 17 7 13 13 11 1 17 7 5 17 17 13 11 7 5 1 7.设,0.aaGaR aaa=证明：G关于矩阵的乘法构成群.证明:记aaaIaa=，1 11 1I=.（1）G非空，1 11 1G.（2）,aI bIG，则,0a bR a b，20,2abaIbIabIG=.（3）,a b cR,且,0a b c,有()()242aIbI cIabIcIabcIaI bcIaI bIcI=,结合律成立.（4）单位元为12IG.11,0,22aR aaIIIaIaI=.（5）aIG，则1111,4442IG aIII aIIaaa=.(),G 为群.8.证明：所有形如2 3mn的有理数(),m nZ的集合关于数的乘法构成群.证明：记2 3|,mnGm nZ=,G是一个非空集合;（1）11222 3,2 3mnmnG，有112212122 32 323mnmnmmnnG+=,是G上的一个代数运算;（2）结合律，交换律均成立（数的乘法满足结合律和交换律）;（3）1 是单位元.0012 3G=G，且 12 3mn=2 3mn;第 5 页 共 8 页（4）2 3mnG，有23mnG，且23mn2 31mn=;G关于数的乘法构成群.9.证明：所有形如101001abc的3 3实矩阵关于矩阵的乘法构成一个群.这个群以诺贝尔物理学奖获得者海森伯（Heisenberg）的名字命名，称为海森伯群（Heisenberg group）.证明:（1）显然非空.（2）保持代数运算：111122112121 20110120112001001001ababaabba cccccG+=+.（3）结合律：111122133112121330110120130112013001001001001001abababaabbabcccccc+=+13(21)33(21)(21 21)013(21)001aaabcaaba cbccc+=+1(32)1(32 32)(23)1101(32)1001aaaba cbccabccc+=+11112332 320110123001001abaaba cbccc+=+111122133011012013.001001001abababccc =（4）单位元为100010001，101001abc100010001=100010001101001abc=101001abc.（5）101001abcG，101001aacbcG，使101001abc101001aacbc=第 6 页 共 8 页 101001aacbc101001abc100010001=.G构成群.10.设G是群，12,ra aaGL.证明()11111221rra aaaa a=LL.证：G是群，,1,2,iaG ir=L,则1111221,rra aaG aa aGLL.()()()()()()()111111112112211222rrrrrraa aa aaaaa aaaaaaa=LLLLLLL1rra ae=又()()()()()111111122112111rrrrrra aaaa aa aaa aaae=LLLLL.由逆元的惟一性知：()11111221rra aaaa a=LL.11.设G是群，a，b,a bG，证明：如果abe=,则bae=.证明：ba=eba=1()a a ba=1()aab a=1a ea=e.或ba=bae=1()ba bb=1()b ab b=1beb=e.12.设G是群.证明：如果对任意的xG,都有2xe=，则G是一个交换群.证明：对任意,a bG,aae=1aa=.故()111ababb aba=，所以群G是交换群.13.设G是群.证明：G是交换群的充分必要条件是对任意的()222,a bG aba b=.证明:“”G是交换群.对于任意的,a bG，有abba=那么()()()()()222abababa ba ba ab ba b=.“”令G为群假设对于任意的,a bG,()222,a bG aba b=,即ababaabb=.baab=，(消去律)G为交换群.14.设G是一个具有乘法运算的非空有限集合.证明：如果G满足结合律，有左单位元，且右消去第 7 页 共 8 页 律成立，则G是一个群.证明:G是具有乘法运算的非空有限集合，设12,nGa aa=L，对于任意的aG，12,nGaa a a aa aG=L 且G满足结合律，有左单位元 存在ia aeG=,即ia为a的左逆元 于是G是一个群.15.证明：一个具有乘法运算的非空集合G，如果满足结合律，有右单位元（即有eG，使对任意的aG，有aea=），且G中的每个元素有右逆元（即对每个aG，有aG，使aa=e），则G构成群.证明：（必要性）由群的定义，这是显然的.（充分性）只需证：e是G的单位元，a是a的逆元即可.设a G，由条件知，存在a G，使aa=e.同时又存在aG，使aa=e.于是aa=aae=()aa aa=()a aa a=aea=aa=e，且ea=aa a=()a aa=ae=a.由题设条件知，e是G的单位元，a是a的逆元.G为群.16.设G是有限群.证明:G中使3xe=的元素x的个数是奇数.第 8 页 共 8 页 证明:G是有限群，3|AxG xe=eG 且3ee=，eA 又 对于任意的xA,xe,存在1xA,满足()()331262xxxee=A中的元素个数是奇数.17.设,p q是不同的素数.假设H是整数集的真子集，且H关于加法是群，H恰好包含集合,qpp pq pq pq+中的三个元素.试确定以下各组元中哪一组是H中的这三个元素？(A),qppq pq;(B),p pq pq+(C),qp pq p (D),qpq pq p+(E),qpp pq.解：（C）.（A）(),1qppq=,()qpp mpnqpH+=,矛盾.（B）(),1,p pqqH+=,矛盾.（C）全为p的倍数，不能生成q的倍数，故也没有pq+.（D）()2q pqpqqH+=,(),1,qppqp qH=,矛盾.（E）(),1qppq=,()()1,qpqpmpnqpqmpnqpqH+=+=+,矛盾.18.假设下表是一个群的乘法表，试填出未列出的元.e a b c d e e a b c d a a b c d e b b c d e a c c d e a b d d e a b c
