五年级上册数学北师版知识要点.pdf

总复习一小 数 除 法一、除数是整数的小数除法1.小数除以整数,除到被除数的末尾没有余数的计算方法:(1)按照整数除法的计算方法计算。(2)商的小数点要与被除数的小数点对齐。2.小数除以整数,除到被除数的末尾仍有余数的计算方法:(1)按整数除法,从被除数的最高位除起。(2)除到被除数的末尾仍有余数,就在余数的后面添“0”继续除,一直除到没有余数为止。(3)商的小数点要与被除数小数点对齐。3.小数除以整数,如果商的中间哪一位不够商 1,就在那一位上商 0。(1)如果整数部分不够商 1,要在商的个位上用“0”占位,并在“0”的右下角点上小数点;(2)如果中间哪一位不够商1,就在那一位上商0。二、除数是小数的小数除法1.除数是小数的除法的计算方法:(1)先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位,位数不够的,在被除数的末尾用“0”补足,然后按照除数是整数的小数除法进行计算。商的小数点应该与被除数移动后的小数点对齐。(2)移动小数点时。如果被除数的小数部分位数不够,就在后面补“0”占位。2.小数除法的验算方法:(1)小数除法的验算方法与整数除法的验算方法相同。(2)利用“商除数=被除数”和“被除数商=除数”来验算。三、积、商的近似值1.“四舍五入”法。在取小数的近似值的时候,如果尾数的最高位上的数字是4或者比4小,就把尾数直接舍去;如果尾数的最高位上的数字是5或者比5大,就把尾数舍去并且向它的前一位进“1”。这种取近似值的方法叫作“四舍五入”法。2.求积的近似值。(1)先算出准确的积,再根据题目的要求或生活习惯用“四舍五入”法取其近似值。在生活中运用“进一法”的实际问题有用油桶装油,剩下的不够装一桶,也要用一个桶,所以“进一”;货车运货的次数,最后剩下的不够一车,也要运一次,所以也要“进一”。“去尾法”:如用钢材做机器,剩下一部分钢材不够做一个,所以“去尾”;用布做衣服,剩下的布不够做一件衣服,所以也要“去尾”。(2)求积的近似值时,末尾的0不能去掉。3.求商的近似值。(1)先看要求保留到哪一位,直接根据要求多除一位,然后用“四舍五入”法取其近似值。(2)求商的近似值时,末尾的0不能去掉。重点提示:商的小数点要和被除数的小数点对齐。易错题:错因分析:此题错在商没有点上小数点。答案:重点提示:解决一个数除以小数的问题,要先转化为学过的除数是整数的除法,方法是被除数和除数同时扩大相同的倍数。易错题:错因分析:除数的小数点向右移动了一位,变成整数,被除数的小数点也应该向右移动一位。而题中被除数的小数点向右移动了三位。答案:五 年 级 上 册 数 学 北 师 版 知 识 要 点五 年 级 上 册 数 学 北 师 版 知 识 要 点4.商与被除数的大小关系。(1)当被除数不等于0时。若除数大于1,则商小于被除数;若除数小于1(0除外),则商大于被除数;若除数等于1,则商等于被除数。(2)当被除数等于0时,不管除数是几(0除外),结果都是0。四、循环小数1.基本概念。(1)一个小数,从小数部分的某位起,一个或者几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫作循环小数。(2)一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字,叫作这个循环小数的循环节。2.用“四舍五入”法求循环小数的近似值。取近似值时,要看保留的小数位数的下一位,如果下一位上的数字是4或者比4小就“四舍”;如果是5或者比5大,就“五入”。3.技巧。求商的近似值时,也可以除到要保留的小数数位后,不再继续除了,只要把余数同除数作比较即可,方法如下:(1)若余数比除数的一半小,就说明求出下一位的商要直接舍去;(2)若余数大于或等于除数的一半,就说明要在已除得的商的末位加上1。五、小数四则混合运算1.小数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同。2.在一个没有括号的算式里,如果只有加减法或只有乘除法,要从左往右依次计算;如果既有加减法、又有乘除法,要先算乘除法,再算加减法。3.在一个有括号的算式里,要先算括号里面的,再算括号外面的。在四则混合运算中,括号起改变运算顺序的作用。注意:在取积或商的近似值时,不能根据小数的性质把小数末尾的 0去掉,两数虽然相等,但精确度不一样。巧记:被除数不变,除数越小,商越大;除数不变,被除数越大,商越大。解决一个数除以小数的问题,要先转化为学过的除数是整数的除法,方法是被除数和除数同时扩大相同的倍数。知识拓展:1.纯循环小数。循环节是从小数部分第一位开始的,叫作纯循环小数。例 2.8882.混循环小数。循环节不是从小数部分第一位开始的叫作混 循 环 小 数。如3.3454545“四舍五入”法是常用的求近似值的方法。二轴对称和平移一、轴对称再认识1.轴对称图形的意义:把一个图形沿着一条直线对折后,折痕两侧的部分能够完全重合,这个图形就叫作轴对称图形,折痕所在的直线叫作对称轴。2.轴对称图形的特点:轴对称图形沿着对称轴对折后,折痕两侧的部分能够完全重合,折痕两侧的对称点(或线段)能够完全重合。对称点到对称轴的距离相等。重点提示:有的轴对称图形的对称轴不止一条。易错题:判断:小猴子是轴对称图形。()错因分析:小猴子是一个动物,不是平面图形,只能说是对称。3.画轴对称图形的方法:(1)确定已知图形每条线段的端点。(2)数出或量出各端点到对称轴的距离。(3)在对称轴的另一侧描出各端点的对称点。(4)最后按照已知图形的形状顺次连接各端点的对称点,画出已知图形的轴对称图形。二、平移1.平移的意义:物体或图形沿着某一方向做直线运动的现象叫作平移。2.判断图形平移的方向和距离的方法:可以根据该图形上某个点或某条线段平移的方向和距离来判断。3.在方格纸上画平移图形的方法:(1)找出所给图形的关键点(或关键线段)。(2)按要求平移相应的格数并描出各对应点(或对应线段)。(3)把对应点(或对应线段)按所给图形的形状连接起来。4.画出平移后的图形只是位置发生了变化,大小和形状不变。三、欣赏与设计1.复杂、美丽的图案可以用一个简单的图案通过平移或轴对称得到。2.利用平移或轴对称在方格纸上设计简单图案的方法:(1)画出或选择一个基本图案。(2)确定图案变化的方式;平移要确定好方向和平移的格数;轴对称要确定好对称轴,选好关键点(或关键线段)。(3)画出要设计的图案。答案:知识巧记:关键点,选关键,点轴距离数格算。细心找准对称点,有序连点图形现。重点提示:在解决图形平移的问题中,平移几格并不是指原图形与平移后的图形之间相距几格,而是指图形的关键点平移了几格。重点提示:利用平移或轴对称设计图案时,要选准基本图案。平移要确定好平移的格数和方向;轴对称要确定好对称轴,选好关键点(或关键线段)。三倍数与因数一、倍数与因数1.倍数与因数的意义:如果 ab=c(a、b、c 都是不为 0 的自然数),那么 a 和 b 就是 c 的因数,c 就是 a 和 b 的倍数。2.求一个数的倍数的方法:用这个数分别乘 1,2,3,4,所得的积都是这个数的倍数。3.判断两个数成倍数关系的方法:(1)列乘法算式,用积判断。(2)列除法算式,如果商是整数且没有余数就是倍数关系,反之不是。知识巧记:倍数与因数,从不单独存在。互相来依存,永远不分开。列举找倍数,从 1 开始乘。除法也能找,整除来分辨。易错题:下面各题中,被4.倍数与因数的关系。倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系,是相互依存的,没有倍数就不存在因数,没有因数也不存在倍数,不能单独说一个数是倍数或因数。5.明确“0”的特殊性。在自然数中,0 是一个特殊的数,0 乘任何数都得 0,0 是任何一个非0 自然数的倍数,任何非 0 自然数都是 0 的因数,如果不排除 0,很多问题无从讨论,因此在研究倍数和因数时,所说的自然数指的是不包括 0的自然数。6.倍和倍数的区别:“倍”的概念比“倍数”要广,“倍”可以适用于小数、整数、分数,而倍数是相对于因数而言的,只适用于非 0 的自然数。二、2,5 的倍数的特征1.2 的倍数的特征:个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。2.5 的倍数的特征:个位上是0或5的数,都是5的倍数。3.偶数:像 2,4,6,8,这样的数,是 2 的倍数,叫作偶数。4.奇数:像 1,3,5,7,这样的数,不是 2 的倍数,叫作奇数。5.同时是 2,5 的倍数的特征:个位上是 0 的数。三、3 的倍数的特征1.一个数各个数位上的数字之和是 3 的倍数,这个数就是 3 的倍数。2.同时是 2,3 的倍数的特征:个位上的数必须是 0,2,4,6,8 且各个数位上数字之和是 3 的倍数。3.同时是 3 和 5 的倍数的特征:个位上必须是 0 或 5,且各个数位上数字之和是 3 的倍数。4.同时是2、3、5的倍数的特征:各个数位上数字之和是3的倍数,且个位上是0。5.9 的倍数的特征:一个数各个数位上数字之和是 9 的倍数,这个数就是 9 的倍数。四、找因数1.找因数的方法:列乘法算式,从 1 开始一对一地找,看哪两个自然数的积等于这个数,这两个自然数就是这个数的因数;列除法算式,想这个数可以写成哪些除法算式,算式中的商和除数就是这个数的因数。2.表示一个数的因数的方法:列举法:如 12 的因数:1,2,3,4,6,12。集合法:12 的因数除数是除数倍数的是(AD)。A.3.50.7=5B.0.84=0.2C.435=8.6D.655=13错因分析:小数之间不存在倍数和因数的关系,所以选项 A 不是。答案:D重点提示:只在自然数(0除外)范围内研究倍数与因数。重点提示:1.0是2的倍数,0 也是偶数,自然数中最小的偶数是 0,没有最大的偶数。2.自然数中最小的奇数是 1,没有最大的奇数。3.一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。易错题:判断:3 是奇数,所以 3 的倍数也是奇数。()错因分析:如果一个数是 3 的偶数倍,这个数就是偶数;如果一个数是 3 的奇数倍,这个数就是奇数。答案:知识拓展:如果一个数各个数位上数字之和是 9 的倍数,那么这个数同时是 3 和 9 的倍数。重点提示:五、找质数1.质数:一个数只有 1 和它本身两个因数,这个数叫作质数。最小的质数是 2。2.一个数除了 1 和它本身以外还有别的因数,这个数叫作合数。最小的合数是 4。3.判断一个数是质数还是合数的方法:看这个数的因数的个数,只有 2 个因数的数是质数,有 3 个或 3 个以上因数的数是合数。4.100 以内的质数:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,共25 个。一个数的因数的个数是有限的,最大的因数是它本身,最小的因数是1。易错题:判断:一个数的因数一定比这个数小。()错因分析:一个数最大的因数是它本身。答案:重点提示:1.1既不是质数,也不是合数。2.2是偶数中唯一的质数,除 2 外,其他的质数都是奇数。易错题:判断:所有的质数都是奇数,所有的奇 数 都 是 质 数。()错因分析:2 是质数,但不是奇数。9、15 是奇数,但不是质数。答案:四多边形的面积一、比较图形的面积在方格纸上比较图形的面积大小的方法:(1)数方格法:观察方格纸中的各图形,数出各图形各占几个格,根据图形所占方格的数量来比较它们的面积。(2)重叠法:借助图形变换使两个图形重叠,观察两个图形能否完全重合,来比较它们的面积。(图形的形状相同适用于此方法)(3)拼组法:将两个图形组在一起,看是否与其他图形相同。(4)分割移补法:两个图形的形状不同,不能完全重合,但可以把图形分割平移,变成一种比较相似的图形,再比较它们的面积。二、认识底和高易错点:移补后图形的面积没有改变,周长可能有变化。易错题:判断:割补后图形的面积不变,则周长也不变。()错因分析:图形割补后形状发生了变化,所以周长也可能发生变化。1.限高:教材中的限高指的是通过的车辆的高度应低于 4.5米。2.梯形的高:上底与下底间的垂直线段为梯形的高。3.平行四边形的底和高:从平行四边形的顶点(或一条边上任意一点)向它的对边画垂直线段,这条垂直线段就是平行四边形的高,这条对边就是高所对应的底。4.认识三角形的底和高:三角形有三条边,三条边都可以作底边,每条边与其所对应的顶点到这条边的垂直线段就是三角形的底和高。5.画指定底和高的长度的平面图形的方法:先画指定长度的底,然后根据底确定指定长度的高,最后画出其他的边。6.梯形、平行四边形和三角形的高的画法。(1)梯形的高的画法:把三角尺的一条直角边与梯形的一条底边重合,与另一条底边相交于一点,从这一点向对应边或底边的延长线画垂线,这条垂线就是梯形的高。(2)平行四边形的高的画法:把三角尺的一条直角边与平行四边形的一条边重合,另一条直角边与平行四边形这条底边所对应的边相交于一点,从这一点向对应底边或底边延长线画垂线,这条垂线就是平行四边形的高。(3)三角形的高的画法:从三角形的一个顶点向对边或对边的延长线画垂线,这条垂线就是三角形的高。5.只确定了底和高,并不能却定一个图形的具体形状,等底等高可以画出无数个不同形状的图形。6.对应的底和高互相垂直。三、平行四边形的面积1.通过割补法把平行四边形转化为长方形,长方形的长等于原平行四边形的底,长方形的宽等于原平行四边形的高。平行四边形的面积=底高;用字母表示为 S=ah。2.长方形的长=平行四边形的底长方形的宽=平行四边形的高长方形的面积=长宽平行四边形的面积=底高3.等底等高的平行四边形的面积相等。4.平行四边形的面积公式的应用:已知平行四边形的面积和高,求平行四边形的底,可以用“底=平行四边形的面积高”来解答。四、三角形的面积1.两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形。平行四边形的底和高分别是三角形的底和高。如割补后的图形周长变小了。答案:重点提示:1.梯形有无数条高。2.在平行四边形中底和高是相对应的。3.平行四边形有无数条高。4.三角形有三组对应的底和高。易错题:判断:直角三角形只有一条高。()错因分析:直角三角形的两条直角边分别是直角三角形的两条高,斜边上也有一条高。即直角三角形也有三条高。答案:易错点:计算平行四边形的面积要用一组对应的底和高相乘。易错题:求 平行 四边 形的 面积。错解:67=42(cm2)错因分析:计算平行四边形的面积要用一组对应的底和高相乘。答案:74=28(cm2)易错题:判断:两个面积相等的三角形一定能拼成一个平行四边形。()错因分析:两个面积相等的三角形的形状不一定2.三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半。3.三角形的面积=底高2,用字母表示为 S=ah2。4.三角形的面积公式的应用:已知三角形的面积和底,要求三角形的高,可以应用“高=三角形的面积2底”来解答。5.等底等高的三角形的面积相等。五、梯形的面积1.两个完全相同的梯形,可以拼成一个平行四边形。2.平行四边形的底等于梯形上底与下底的和,平行四边形的高等于梯形的高。3.梯形的面积=(上底+下底)高2,用字母可以表示为S=(a+b)h2。4.梯形的面积计算公式的应用:已知梯形的面积和上、下底,求高。用“梯形的面积2(上底+下底)”来解答。相同,两个完全相同的三角形才能拼成一个平行四边形。答案:知识巧记:梯形面积并不难,找准数量是关键。上下底和来乘高,除以 2 来轻松算。易错题:判断:梯形的面积等于平行四边形面积的一半。()错因分析:只有在特定情况下梯形才和平行四边形的面积成 2 倍关系。答案:五分数的意义一、分数的再认识(一)1.整体“1”的含义:一个物体或一些物体都可以看作一个整体,这个整体可以用自然数“1”来表示,通常叫作单位“1”。2.分数的意义:把一个整体平均分成若干份,其中的一份或几份,可以用分数表示。3.根据分数所表示的数量可以求出所对应的整体数量,分母是几,整体就被分成了几份。4.同一个分数对应的整体大,表示的具体数量就大;对应的整体小,表示的具体数量就小。二、分数的再认识(二)1.分数单位的意义:像12,13,14这样的分数叫作分数单位。2.分数单位的大小:分母越大,分数单位越小;分母越小,分数重点提示:分数中要强调把一个整体“平均分”。易错题:判断:有甲、乙两个正方形,乙正方形面积的12一定大于甲正方形面积的14。()错因分析:虽然1214,单位越大。12133.把一个整体平均分成几份,这个整体里面就有几个几分之一。把一个整体平均分成 4 份,这个整体里面就有 4 个14。4.一个分数的分子是几,这个分数里面就有几个这样的分数单位。例78的分子是 7,78里面就有 7 个18。5.分母不同的分数,它们的分数单位不同。三、真分数、假分数和带分数1.真分数的意义:像12,14,56,78,这样的分数是真分数。真分数的分子小于分母,真分数小于1。2.假分数的意义:像32,44,98,这样的分数是假分数。假分数的分子等于或大于分母。假分数大于或等于1。3.带分数的意义:像 156,278,这样的分数都是带分数。带分数由整数(不包括 0)和真分数合成。读带分数时,先读整数部分,再读分数部分,中间加一个“又”字。写带分数时,先写整数部分,再写分数部分。四、分数与除法的关系1.分数与除法的关系:分数的分子相当于除法中的被除数,分母相当于除法中的除数,分数线相当于除法中的除号,分数值相当于除法中的商。用字母表示上面的关系是ab=?(b0)。2.带分数化成假分数时,用整数与分母的积再加上原来的分子作分子,分母不变。3.假分数化成整数或带分数的方法:分子除以分母,如果没有余数,化成整数;如果有余数化成带分数,所得的商是整数部分,余数作分子,分母不变。4.求一个数是另一个数的几分之几的问题的解题方法:一个数另一个数=一个数另一个数,得到的商表示两个数的关系,没有单位名但是两个正方形的大小不确定,也就是单位“1”不确定,所以无法比较。答案:易错题:判断:56的分数单位是15。()错因分析:把一个整体平均分成几份,其中的1份就是这个分数的分数单位,所以56的分数单位是16。答案:易错点:假分数的分子等于或大于分母,做题时易忽略分子与分母相等的情况。易错题:判断:假分数都大于 1。()错因分析:分子与分母相同的分数也是假分数,所以假分数大于或等于 1。答案:重点提示:分数与除法的区别,除法是一种运算,分数是一种数。易错点:带分数化成假分数时,整数与分母相乘后,不要忘记加上分数中原来的分子。重点提示:运用分数称。五、分数的基本性质1.分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以一个不为零的数,分数的大小不变。25=2454=8201232=124324=382.分母和分子同时扩大到原来的n(n1)倍,分子和分母同时增加原来的(n1)倍,分数值不变。3.运用分数的基本性质,要想保持分数的大小不变,必须使分数的分子和分母都乘或除以相同的数(0除外)。如果是分子(分母)加上或减去一个数,看是把原分子(分母)乘或除以几得到新的分子(分母),然后分母(分子)也随着乘或除以几得到新分母(分子)。观察由原分数到新分数的分母(分子)增加或减少了几。六、找最大公因数1.几个数相同的因数,叫作这几个数的公因数;其中最大的一个叫作它们的最大公因数。2.求两个数的公因数和最大公因数的方法:先分别找出两个数各自所有的因数,再从中找出两个数的公因数,其中最大的一个就是这两个数的最大公因数。3.短除法。用18和27的最小质因数3去除这两个数,看这两个数的商是不是只有公因数1,若不是再接着往下除,一直除到商只有公因数1为止,然后把除数相乘,所得的积就是这两个数的最大公因数。七、约分1.把一个分数的分子、分母同时除以它们的公因数,分数的值不变,这个过程叫作约分。2.分子、分母只含有公因数 1 的分数,叫作最简分数。3.约分的方法:(1)逐次约分法,用分子和分母的公因数逐次去除分子和分母,直到得出一个最简分数。(2)一次约分法,用分子和分母的最大公因数去除分子和分母。4.书写格式:3248=322483=23八、找最小公倍数1.几个数公有的倍数,叫作这几个数的公倍数。其中最小的的基本性质时,一定要注意分子、分母必须同时乘或除以一个不为零的数。易错题:34的分子加上 3,分母加上(3),分数的大小不变。错因分析:分子和分母同时乘或除以一个不为零的数,分数的大小才不变。分子和分母同时加上一个数,分数的大小发生了变化。分子 3 加上 3等于扩大到原来的 2 倍,所以分母也要扩大到原来的 2 倍,即加上 4。答案:4拓展提高:1.用短除法求两个数的最大公因数,先用这两个数的最小质因数去除这两个数,然后看两个数的商是不是只有公因数 1,若不是就继续除,一直除到商只有公因数 1 为止。除数的积就是这两个数的最大公因数。2.两个数只有公因数 1,那么这两个数的最大公因数是 1。3.相邻两个自然数的最大公因数是 1。4.如果较大数是较小数的倍数,那么较小的数是这两个数的最大公因数。易错点:注意分母不能为 0。易错题:判断:分子和分母是两个相邻的自然数的分数一定是最简分数。()错因分析:没有注意0 也是自然数。一个,叫作它们的最小公倍数。2.求两个数的最小公倍数的方法:先分别写出两个数各自的倍数,再从中找出它们的公倍数和最小公倍数。3.当较大数是较小数的倍数时,这两个数的最小公倍数就是较大数。4.当两个数只有公因数 1 时,最小公倍数是这两个数的积。5.用短除法求两个数的最小公倍数:除数和商相乘的积就是这两个数的最小公倍数。九、分数的大小1.异分母分数比较大小的方法:把异分母的分数化成同分母的分数,再比较大小。2.通分的含义:把分母不相同的分数化成和原来分数相等,并且分母相同的分数,这个过程叫作通分。3.通分的方法:通分时用原来几个分数的分母的最小公倍数作分母,再把每个分数都化成用这个最小公倍数作分母的分数。4.比较分数的大小,可以画图比较,也可以通分比较。答案:重点提示:计算结果一般都要化成最简分数。重点提示:1.求两个数的公倍数,只要先求出这两个数的最小公倍数,再用最小公倍数分别乘 2,3,4,5,就能得到其他的公倍数。2.两个数的公倍数有无数个,没有最大的公倍数,只有一个最小公倍数。重点提示:1.约分和通分都是根据分数的基本性质来运算的。2.把三个分数通分,先找出其中两个分母的最小公倍数,再找出这个最小公倍数与另一个分母的最小公倍数,得到的最小公倍数为三个分母的最小公倍数,最后用三个分母的最小公倍数作分母进行通分。六组合图形的面积一、组合图形的面积1.组合图形的意义:几个简单的图形,通过不同的方式组合而成的图形。2.求组合图形的面积的方法:分割法,添补法、割补法。(1)分割法:将组合图形分割成已经学过的基本图形,分别计算出所分割的图形的面积,再相加。(2)添补法:通过添补将组合图形化成所学过的基本图形,然后减去所添图形的面积,即得组合图形的面积。(3)割补法:将组合图形的某一部分割下来,补在具有相同边长的部分重新组合成所学过的基本图形(面积不变),再计算。二、估算与计算不规则图形的面积1.数方格:数方格时,把大于半格的按 1 格来算,小于半格的不算。重点提示:通过分割、添补、割补,把组合图形转化为简单的已经学过的基本图形,再进行计算。易错题:求图中的空白处的面积。2.把原图形近似看作某个基本图形,用方格纸量出计算基本图形面积的条件,算出面积。三、公顷、平方千米1.公顷是测量和计算土地面积常用的单位,边长是 100 米的正方形土地,它的面积是 1 公顷,即 1 公顷=10000 平方米。2.平方米和公顷之间的换算方法:平方米换算成公顷时,把小数点向左移动四位。公顷换算成平方米时,把小数点向右移动四位。3.平方千米是比公顷还大的面积单位。边长是 1000 米的正方形,它的面积是 1 平方千米。1 km2=100 公顷1 km2=1000000 m218182182=252错因分析:做题时容易忽略中间的重叠部分的面积。案:18182182+22=256易混点:高级单位转化成低级单位,要乘进率;低级单位转化成高级单位,要除以进率。数 学 好 玩一、设计秋游方案1.设计秋游方案前应做哪些准备工作。(1)秋游的时间、地点和人员。(2)乘坐的交通工具,及路上所用的时间。(3)景点门票的价格。(4)景点开放的时间,预计每个景点的参观时间。(5)设计参观路线。(6)明确参观中的注意事项。2.动手设计。(1)展示收集的资料。景点的相关信息:门票的价格,开放的时间。交通费用:乘坐的车型及价格。景点内的参观路线。(2)根据收集整理的数据和信息,设计秋游方案。3.展示各种设计方案并交流反思。(1)比较各小组展示的方案,评价优劣。(2)根据评价结果,选出合理的设计方案,并综合其他方案的优点,补充完善。4.交流设计方案的体会。(1)学到了哪些知识。(2)提高了哪些方面的能力。重点提示:通过讨论交流找出设计方案的优点和缺点,提高了应用计算、统计等数学知识及举例、排除等数学方法解决问题的能力重点提示:用小棒摆三角形的规 律 是 小 棒 数 量(3)在活动中怎样把学过的知识运用到实践中去。(4)在今后的学习中,应该注意什么。5.自我评价。结合自己在活动中所做的各项工作,评价自己在各项工作中的表现。二、图形中的规律活动一:1.活动准备:以小组为单位,准备所需摆三角形用的小棒。2.实际操作:用小棒按教材中的样子摆出三角形。组长记录所用小棒的数量。3.观察记录数据,发现规律。(1)规律一:发现摆一个三角形需要 3 根小棒,以后每多摆一个三角形就需要增加 2 根小棒,即所需小棒的数量:3+(三角形个数1)2。如果摆n个三角形就需要3+2 (n1)=2 n+1 根小棒。三角形个数小棒根数1325=3+237=3+2249=3+23(2)规律二:从记录的数据还会发现,摆 2 个三角形需要小棒的数量比单独摆 2 个三角形需要的小棒数量少 1 根,摆 3 个少 2根,摆4个少 3根摆 n个三角形比单独摆n个三角形需要小棒的数 量 少(n1)根,所 以 摆 n 个 三 角 形 需 要 的 小 棒 数 量 是3n(n1)=2n+1。三角形个数小棒根数1325=32137=33249=433(3)规律三:从数据中还发现,把三角形的一条边看作基准边,摆1个三角形可以看作在基准边上再添2 根小棒,所以摆1 个三角形用(1+2)根,摆 2 个三角形用(1+2+2)根,可以写成 1+22,摆 3 个三角形用(1+2+2+2)根,可以写成 1+23摆 n 个三角形用(1+2n)根,也可以写成(2n+1)根。活动二:点阵中的规律。1.观察每个点阵中点的个数,发现规律。(1)通过观察可以发现,随着点阵的变化,点阵中的点数也发生变化。第一个点阵中有 1 个点,第二个点阵中有 22=4(个)点;第三个点阵中有 33=9(个)点,由此推出第 n 个点阵中有 nn=n2(个)点。(2)第一个点阵中有 1 个点;第二个点阵有 2 行,每行 2 个点;第三个点阵有 3 行,每行 3 个点;由此可知第 n 个点阵有 n 行,每行有 n个点(n 为非 0 自然数)。2.从不同角度观察,发现点阵的规律。(1)对照观察前后点阵中点数的变化,第一个点阵中有 1 个点,=2n+1(n 表示三角形的个数)。重点提示:第 n 个 点 阵 中 有nn=n2(个)点。重点提示:估计数量可能的范围,在列举中调整鸡和兔的数量,以减少列举的次数。还可以用假设的方法解决鸡兔同笼的问题。第二个点阵比第一个点阵多 3 个点,第三个点阵比第二个点阵多 5个点,第四个点阵比第三个点阵多7个点由此得出第n个点阵中含有的点数是从 1 开始的 n 个连续奇数的和(n 为非零自然数)。(2)对照观察前后点阵中点数的变化,第一个点阵有 1 个点,第二个点阵有1+2+1=4(个)点,第三个点阵有1+2+3+2+1=9(个)点,第四个点阵有 1+2+3+4+3+2+1=16(个)点。由此得知第 n 个点阵中含有的点数是从 1 开始到 n 及从 n1 开始到 1 的连续自然数的和。三、尝试与猜测1.解决鸡兔同笼问题的方法:(1)逐一列举法:按一定的顺序,从假设 1 只鸡开始,逐一列举,直到找出答案。(2)取中列举,从各取一半开始列表,根据实际情况确定列举的方向,尽量缩小列举范围。七可能性一、谁先走1.等可能性和游戏规则的公平性。(1)等可能性的意义:像抛硬币那样,正面朝上和反面朝上的可能性相等,即事件发生的可能性相等,就是等可能性。(2)游戏规则的公平性:在设计游戏规则时,事件发生的可能性相等,游戏规则就公平,否则就不公平。2.体验游戏规则的公平性,可能性大小不相等,游戏规则就不公平;只有每种情况出现的可能性相等,游戏规则才公平。3.当遇到不能确定游戏规则的公平性时,可以通过实验,收集数据,用数据来说明游戏规则是否公平。二、摸球游戏1.根据可能性的大小推测物体数量的多少。通过摸出红球或黄球的可能性的大小,即摸出红球或黄球次数的多少,判断哪种颜色的球多,哪种颜色的球少。2.事件发生的可能性的大小能反映出物体数量的多少,可能性越大,对应的物体数量就越多,可能性越小,对应的物体数量就越少。重点提示:游戏规则的公平性是建立在事件发生的可能性相等的基础上的,事件发生的可能性相等,则游戏规则公平;可能性不相等,则游戏规则不公平。可以用列举的方法,列举出现每种情况的可能性,再比较可能性的大小,来判断游戏规则的公平性。难点点拨:随机现象虽然对于个别实验来说无法预知其结果,但在相同条件下进行大量重复试验,又会呈现出一种规律,我们称为随机现象的统计规律。如果试验的次数太少,事件存在随机性,即预测的准确性就差;增加试验次数,预测的准确性就会提高。