中考数学复习探索性问题专题.pdf

中考百分百备战中考百分百备战 20082008 中考专题中考专题(探索性问题专题探索性问题专题)一、知识网络梳理探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍 初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，从而定格于“条件演绎结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：1 条件探索型结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目2 结论探索型给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目3 存在探索型在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目4 规律探索型在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致3分类讨论法 当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果4 类比猜想法 即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用二、知识运用举例一、条件探索型例 12007 呼和浩特市在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E，F，G，H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形 这个条件是_HADEGBFC解：AC BD或四边形ABCD是等腰梯形符合要求的其它答案也可以例 22007 荆门市将两块全等的含30角的三角尺如图 1 摆放在一起，设较短直角边为1ABC3030ABCDD1DB1图 1C1图 2ABCD图 3ABCD图 41 四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_2如图 2，将 Rt BCD 沿射线 BD 方向平移到 Rt B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_3在 Rt BCD 沿射线 BD 方向平移的过程中，当点 B 的移动距离为_时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_；当点 B 的移动距离为_时，四边形 ABC1D1为菱形，其理由是_(图3、图 4 用于探究)解：1是，此时 ADBC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2是，在平移过程中，始终保持 ABC1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形33，此时ABC190，有一个角是直角的平行四边形是矩形33，此时点 D 与点 B1重合，AC1BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形例 320062006 广东广东如下图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BCOA，OA7，AB4，COA60，点 P 为 x 轴上的个动点，点 P 不与点 0、点 A 重合连结 CP，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D1求点 B 的坐标；2当点 P 运动什么位置时，OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；3当点 P 运动什么位置时，使得CPDOAB，且BD5，求这时点 P 的坐标AB8 解析解析 1；过 C 作 CDOA 于 A，BEOA 于 E则OCDABE，四边形 CDEB 为矩形ODAE，CDBEOCAB4，COA60CD2 3，OD2CBDE3OEODDE5BECD2 3B5，2 32COA60，OCP 为等腰三角形OCP 是等边三角形OPOC4P4，0即 P 运动到4，0时，OCP 为等腰三角形3CPDOABCOP60OPCDPA120又PDADPA120OPCPDAOCPA60COPPADOPOCADAPBDAB58，AB4BD52AD32即OP437OP27OPOP2 6得 OP1 或 6P 点坐标为1，0或6，0二、结论探索型例 42007 云南省已知：如图，四边形ABCD 是矩形ADAB，点 E 在 BC 上，且AE AD，DFAE，垂足为 F 请探求 DF 与 AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明解：经探求，结论是：DF AB证明如下：四边形 ABCD 是矩形，B 90，ADBC，DAF AEB DFAE，AFD 90，AE AD，ABE DFA AB DFADBFEC例 52007 北京市我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形1请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；A2如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，假设A 60，DCB EBC 请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；1A2DOE3在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且BC1DCB EBC A探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明2你的结论解：1答复正确的给 1 分如平行四边形、等腰梯形等2答：与A相等的角是BOD或COE四边形DBCE是等对边四边形3答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE证法一：如图 1，作CG BE于G点，作BF CD交CD延长线于F点因为DCB EBC 1A，BC为公共边，2AFDB图 1所以BCF CBG所以BF CG因为BDF ABE EBC DCB，BEC ABE A，所以BDF BEC可证BDF CEGEOGC所以BD CE所以四边形DBCE是等边四边形证法二：如图 2，以C为顶点作FCB DBC，CF交BE于F点因为DCB EBC 1A，BC为公共边，2AE所以BDCCFBD所以BD CF，BDC CFBF所以ADC CFEO因为ADC DCBEBC ABE，BFEC AABE，图 2所以ADC FEC所以FEC CFE所以CF CE所以BD CE所以四边形DBCE是等边四边形说明：当AB AC时，BD CE仍成立只有此证法，只给1 分C例 607 山东滨州如图1 所示，在ABC中，AB AC 2，A 90，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动1点E，F的移动过程中，OEF是否能成为EOF 45的等腰三角形？假设能，请指出OEF为等腰三角形时动点E，F的位置假设不能，请说明理由2当EOF 45时，设BE x，CF y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围3在满足2中的条件时，假设以O为圆心的圆与AB相切如图 2，试探究直线EF与O的位置关系，并证明你的结论AAEFEFCBOCBO图 1图 2解：如图，1点E，F移动的过程中，OEF能成为EOF 45的等腰三角形此时点E，F的位置分别是：E是BA的中点，F与A重合BE CF 2E与A重合，F是AC的中点2在OEB和FOC中，EOBFOC 135，EOBOEB 135，FOC OEB又B C，OEBFOCBEBOCOCF122 222，BE x，CF y，OB OC 22y(1x2)x3EF与O相切OEBFOC，BEOECOOFBEOEBOOFBEBO即OEOF又B EOF 45，BEOOEFBEO OEF点O到AB和EF的距离相等AB与O相切，点O到EF的距离等于O的半径EF与O相切三、存在探索型存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.假设无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在例 7(2006 山东省威海市)抛物线 y ax2bxc(a0)过点 A1，3，B3，3，C1，5，顶点为 M 点求该抛物线的解析式试判断抛物线上是否存在一点P，使POM90.假设不存在，说明理由；假设存在，求出 P 点的坐标解：y x24x 易求得顶点 M 的坐标为(2，4)设抛物线上存在一点 P，使 OPOM，其坐标为(a，a24a)图 2-2-33过 P 作 PEy 轴，垂足为 E；过 M 点作 MFy 轴，垂足为 F，则POEMOF90，POEEPO90.EPOFOMOEPMFO90，RtOEPRtMFOOEMFEPOF.即(a24a)2a4.解得 a10(舍去)，a2故抛物线上存在一点 P，使POM90，P 点的坐标为(例 8(2006 武汉市)已知：二次函数 yx2(m1)xm 的图象交 x 轴于 A(x1，0)、B(x2，0)两点，交 y 轴正半轴于点 C，且 x12x2210求此二次函数的解析式；是否存在过点 D(0，5)的直线与抛物线交于点 M、N，与x 轴交于点 E，使得点M、299，)2492N 关于点 E 对称？假设存在，求直线MN 的解析式；假设不存在，请说明理由分析与解答依题意，得 x1x2m，x12x2210，x1x2 m 1，(x1x2)22x1x210，(m1)22m10，m3 或 m 3，又点 C 在 y 轴的正半轴上，m3所求抛物线的解析式为yx24x3假设存在过点 D(0，5)的直线与抛物线交于 M(xM，yM)、N(xN，yN)两点，与x 轴交2于点 E，使得 M、N 两点关于点 E 对称M、N 两点关于点 E 对称，yMyN0.设直线 MN 的解析式为：ykx52y x24x 3，11由得 x2(k4)x0，xMxN4k，yMyNk(xM52y kx-2.xN)50k(k4)50，k1 或 k 5当 k5 时，方程 x2(k4)x直线 MN 的解析式为 yx存在过点 D(0，两点关于点 E 对称110 的判别式0，k1，2525)的直线与抛物线交于 M、N 两点，与 x 轴交于点 E，使得 M、N2例 92007 乐山如图13，在矩形ABCD中，AB 4，AD 10直角尺的直角顶点P在AD上滑动时点P与A，D不重合，一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E我们知道，结论“RtAEPRtDPC”成立1当CPD 30时，求AE的长；2 是否存在这样的点P，使DPC的周长等于AEP周长的2倍？假设存在，求出DP的长；假设不存在，请说明理由PAD解1在RtPCD中，由tanCPD CD，PDEB图13CCD4得PD 4 3tanCPDtan30AP AD PD 104 3，由AEPDPC知AEAPAP PD，AE 10 312PDCDCD2假设存在满足条件的点P，设DP x，则AP 10 xCD由AEPDPC知 2，AP4 2，解得x 8，10 x此时AP 2，AE 4符合题意四、规律探索型规律探索问题是根据已知条件或所提供的假设干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题例 10(2006 湖南衡阳)观察算式：112；13422；135932；13571642；135792552；用代数式表示这个规律(n 为正整数)：13579(2n1)_分析与解答分析与解答由以上各等式知，等式左端是从 1 开始的连续假设干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1357(2n1)n2.填 n2例例 1111 2006 吉林省如图221，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n 个图案中白色瓷砖数为_图 2-2-1分析与解答分析与解答根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这类问题，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论第 1 个图案有白色瓷砖 5(即 231)块；第 2 个图案有白色瓷砖 8(即 232)块；第 3个图案有白色瓷砖11(即 233)块.由此可得，第 n 个图案有白色瓷砖(23n)块.填 3n2例 122007 资阳设a13212，a25232，an(2n1)2(2n1)2(n 为大于 0 的自然数)1 探究 an是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；2 假设一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出 a1，a2，an，这一列数中从小到大排列的前4 个完全平方数，并指出当 n 满足什么条件时，an为完全平方数(不必说明理由)解：1 an(2n1)2(2n1)24n24n14n24n18n，又 n 为非零的自然数，an是 8 的倍数这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8 的倍数 说明：第一步用完全平方公式展开各1 分，正确化简 1 分2 这一列数中从小到大排列的前4 个完全平方数为 16，64，144，256n 为一个完全平方数的 2 倍时，an为完全平方数 三、知识稳固训练题组训练1 2006 年山东省 如图，ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点，BD 与 CE 交于点 O 给出以下三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD1上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形用序号写出所有情形；2选择第1小题中的一种情形，证明ABC 是等腰三角形22006 年随州市如图，矩形ABCD 中，M 是 AD 的中点1求证：ABMDCM；2请你探索，当矩形ABCD 中的一组邻边满足何种数量关系时，有BMCM 成立，说明你的理由3如图，在ABC 中，D 为 BC 上一个动点D 点与 B、C 不重合，且 DEAC 交 AB于点 E，DFAB 交 AC 于点 F1试探究，当 AD 满足什么条件时，四边形AEDF 是菱形？并说明理由2在1的条件下，ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 是正方形？请说明理由4如图，AB 是O 的直径，EF 是O 的切线，切点是C点D 是 EF 上一个动点，连接AD试探索点 D 运动到什么位置时，AC 是BAD 的平分线，请说明理由52006 年成都市已知：如图，在ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是线段 BC延长线上一点，过点 A 作 BE 的平行线与线段 ED 的延长线交于点 F，连结 AE、CF1求证：AFCE；2假设 ACEF，试判断四边形 AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论62006 年常德市如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，以 BP为边作PBQ60，且 BQBP，连结 CQ1观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论2假设 PA：PB：PC3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 的形状，并说明理由7如图，AB 是O 的直径，AD、BC、DC 都是O 的切点，A、B、E 分别是切点1判定COD 的形状，并说明理由2设 ADa，BCb，O 的半径为 r，试探究 r 与 a，b 之间满足的关系式，并说明理由82006 年绵阳市在正方形ABCD 中，点P 是 CD 上一动点，连结PA，分别过点B、D作 BEPA、DFPA，垂足分别为 E、F，如图1请探索BE、DF、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系 假设点 P 在 DC的延长线上 如图，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？假设点P 在 CD的延长线上呢如图？请分别直接写出结论；2请在1中的三个结论中选择一个加以证明92007 云南省已知：如图，抛物线y ax2bx c经过A(1,0)、B(5,0)、C(0,5)三点1求抛物线的函数关系式；2假设过点C 的直线y kxb与抛物线相交于点 E 4，m，请求出 CBE的面积S 的值；3在抛物线上求一点P0使得ABP0为等腰三角形并写出P0点的坐标；4除3中所求的P0点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得ABP 为等腰三角形？假设存在，请求出一共有几个满足条件的点P要求简要说明理由，但不证明；假设不存在这样的点P，请说明理由C1A 1 OyBEx102007 呼和浩特市如图，在矩形ABCD中，AB 2 2，AD 1点P在AC上，PQ BP，交CD于Q，PE CD，交于CD于E点P从A点不含A沿AC方向移动，直到使点Q与点C重合为止1设AP x，PQE的面积为S请写出S关于x的函数解析式，并确定x的取值范围2点P在运动过程中，PQE的面积是否有最大值，假设有，请求出最大值及此时AP的取值；假设无，请说明理由ADPEQ11 2007 成都市在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y ax bxc(a 0)的图C象与x轴交于A，B两点点A在点B的左边，与y轴交于点C，其顶点的横坐标为 1，B且过点(2，3)和(3，12)1求此二次函数的表达式；2假设直线l:y kx(k 0)与线段BC交于点D不与点B，C重合，则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与BAC相似？假设存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；假设不存在，请说明理由；3假设点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角2PCO与ACO的大小不必证明，并写出此时点P的横坐标xp的取值范围1O1yx122007 绵阳市如图，已知抛物线 y ax2 bx3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，经过A、B、C 三点的圆的圆心 M1，m恰好在此抛物线的对称轴上，M 的半径为5设M 与 y 轴交于 D，抛物线的顶点为 E1求 m 的值及抛物线的解析式；2设DBC，CBE，求 sin的值；3探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C 为顶点的三角形与BCE 相似？假设存在，请指出点 P 的位置，并直接写出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由1307 日照如图，直线 EF 将矩形纸片 ABCD 分成面积相等的两部分，E、F 分别与 BC交于点 E，与 AD 交于点 FE，F 不与顶点重合，设 ABa，ADb，BEx()求证：AFEC；()用剪刀将纸片沿直线 EF 剪开后，再将纸片 ABEF 沿 AB 对称翻折，然后平移拼接在梯形 ECDF 的下方，使一底边重合，直腰落在边DC 的延长线上，拼接后，下方的梯形记作 EEBC1求出直线 EE分别经过原矩形的顶点 A 和顶点D 时，所对应的 xb 的值；2在直线 EE经过原矩形的一个顶点的情形下，连接 BE，直线 BE与 EF 是否平行？你假设认为平行，请给予证明；你假设认为不平行，请你说明当a 与 b 满足什么关系时，它们垂直？14(2006 江西省如图 222，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加 1的规律拼成一列图案：第 1 个第 2 个第 3 个图 2-2-2 第 4 个图案中有白色纸片_张；第 n 个图案台有白色纸片_张15(2006 广西贺州市)观察图 223 中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是_24A235483815A4A6？0A1A3图 2-2-4A5B16(2006 广西百色市)如图 224，A1A2B 是直角三角形，且 A1A2A2Ba，A2A3A1B，垂足为 A3，A3A4A2B，垂足为 A4，A4A5A3B，垂足为 A5，An1An2AnB，垂足为 An2，则线段 An1An2(n 为自然数)的长为Aa(2)n图 2-2-3Ba(2)n1Ca2Da2n17(2006 江苏泰州市)如图 225，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第 n 个正方形点阵中的规律_11213 2236 32610 4218(2006 浙江绍兴市)如图 226，将边长为 1 的正方形OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转 2 006 次，点 P 依次落在点P1，P2，P3，P4，P2006的位置，则P2006的横坐标 x2006_192007 内江如图11，某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道 4 条，从位置A出发沿街道行进到达位置B，要求路程最短，研究共有多少种不同的走法小东是这样想的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用用数字“1”表示向右行进，数字“2”表示向上行进，那么“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，请你思考后答复：符合要求的不同走法共有_种图 2-2-6图 2-2-5BA图11202007 内江探索研究1观察一列数 2，4，8，16，32，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是_；根据此规律，如果ann为正整数表示这个数列的第n项，那么a18_，an_；2如果欲求133 3 23320的值，可令S 133233320将式两边同乘以 3，得_由减去式，得S _3用由特殊到一般的方法知：假设数列a1，a2，a3，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则an_用含a1，q，n的代数式表示，如果这个常数q 1，那么a1a2a3an_用含a1，q，n的代数式表示2107 自贡一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据9162536，中得到5122132巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第nn1个数据是_222007 德阳如图，在平面直角坐标系中，有假设干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如1，0，2，0，2，1，3，2，3，1，3，0根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为_(5,4)y(4,3)(5,3)(3,2)(4,2)(5,2)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)xO(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)(5,0)第 17 题图232007 河南省将图所示的正六边形进行进行分割得到图，再将图中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图，再将图中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，则第n 个图形中，共有_个正六边形图图(第 13 题)图242007 安徽省探索 nn 的正方形钉子板上(n 是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当 n2 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有 1 与2，所以不同长度值的线段只有 2 种，假设用 S 表示不同长度值的线段种数，则S2；当 n3 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有 1，2，2，5，22五种，比 n2 时增加了 3 种，即 S235(1)观察图形，填写下表：钉子数(nn)22334455S 值22323()(2)写出(n1)(n1)和 nn 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)【解】【解】3对 nn 的钉子板，写出用 n 表示 S 的代数式【解】【解】2507 贵阳市如图 12，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，1“17”在射线_上A2请任意写出三条射线上数字的排列规律B3“2007”在哪条射线上？72139CF6 124O51011ED图 122607 无锡图 1 是由假设干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层将图 1 倒置后与原图 1 拼成图2 的形状，这样我们可以算出图1 中所有圆圈的个数为1238n n(n1)2第 1 层第 2 层n 层第图 1图 2图 3图 4如果图 1 中的圆圈共有 12 层，1我们自上往下，在每个圆圈中都按图 3 的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，则最底层最左边这个圆圈中的数是；2我们自上往下，在每个圆圈中都按图 4 的方式填上一串连续的整数23，22，21，求图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和2707 乐山如图15，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将线段OP0按逆时针方向旋转45，再将其长度伸长为OP0的 2 倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45，长度伸长为OP1的 2 倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，OPnn为正整数1求点P6的坐标；2求POP56的面积；3我们规定：把点Pn(xn，yn)n 01，2，3，图15的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标P3P4OyP2P1P0(1，0)xP5xn，yn称之为点Pn的“绝对坐标”根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来2807 山东东营根据以下 10 个乘积，答复以下问题：1129；1228；1327；1426；1525；1624；1723；1822；1921；20201试将以上各乘积分别写成一个“22”两数平方差的形式，并写出其中一个的思考过程；2将以上 10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来；3试由、猜测一个一般性的结论不要求证明答案：1答案不惟一，符合题意即可21略2当 AD2AB 时，有 BMCM 成立说明理由略31当 AD 平分BAC 时，四边形 AEDF 是菱形理由略2在1的条件下，当BAC90时，四边形 AEDF 是正方形说明理由略4当点 D运动到满足条件 ADEF 时，AC 平分BAD证明略51证明ADFCDE 即可2四边形 AFCE 是矩形证明略61证明BPABQC，APCQ2PQC 是直角三角形，PA：PB：PC3：4：5，设 PA3k，PB4k，PC5k，PBQ60，BPBQ，PBQ 是等边三角形，PQPB4k，在PQC 中，PQ2QC24k23k225k2，PC25k225k2，PQ2QC2PC2，PQC 是 Rt71COD 是直角三角形，连OE，由圆的切线的性质可证得：OADOED，OECOBC，AODEOD，EOCBOC，可证得DOC90，所以COD 是直角三角形2r 与 a、b 之间满足的关系是 r2ab证明OADCBO，得OAAD，OAOBADBC 即 r2abBCOB8解：1BEDFEF，BEDFEF，EFBEDF2证明略9解：1抛物线经过点A(1,0)、B(5,0)，y a(x1)(x 5)又抛物线经过点C(0,5)，5a 5，a 1抛物线的解析式为y (x 1)(x 5)x26x 52E 点在抛物线上，m 42465 3直线 y kxb 过点 C0，5、E4，3，b 5,解得 k 2，b 54k b 3.设直线 y2x5 与 x 轴的交点为 D，当 y0 时，2x50，解得 x525，02SSBDC SBDE1515(5)5+(5)3222210D 点的坐标为3抛物线的顶点P0(3,4)既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，点P0(3,4)为所求满足条件的点4除P0点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得ABP 为等腰三角形理由如下：AP0 BP02242 2 5 4，分别以A、B为圆心半径长为 4 画圆，分别与抛物线交于点B、P1、P2、P3、A、P4、P5、P6，除去B、A两个点外，其余 6 个点为满足条件的点说明：只说出 P 点个数但未简要说明理由的不给分10解：1解：过点P作PF BC，垂足为F在矩形ABCD中，PFABPFCABCFCPCPFBCACAB又AP x，BC AD 1，AB 2 2又在RtABC中，AC AB2 BC2(2 2)2123PC 3 xFC3 x13FC 3 x33 xx33BF BC FC 1又PE CDPEC 90又在四边形PFCE中，PFC BCD PEC 90四边形PFCE为矩形FPE 90又PQ BPBPQ 90FPE BPQEPQQPF BPF FPQEPQ BPF又PEQ BFP 90PEQPFBEQPE又PE FCBFPFEQFCFCPF又BFPFBCABFCBCPFABEQBCBC BFEQ BFABABx2 x3122 21EQ S 1123 xEQ PE x 221232222x x或S(x23x)722472S 过点B作BK AC，垂足为K在RtABC中，由等积法可得11AC BK AB BC22AC BK AB BC3 BK 2 2 12 23由题意可得当Q与C重合时，P与K重合即AP AK，BK 由ABKABC得x2 2AKAB8即x 21BKBC3238x的取值范围是0 x32PQE面积有最大值由1可得S 2222x x72242 32 x 72232当x 33即AP 时，22232S面积最大，即S最大11解：1二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和(3，12)，b2a1，a 1，由4a2bc 3，解得b 2，c 3.9a3b2 12.此二次函数的表达式为y x22x32假设存在直线l:y kx(k 0)与线段BC交于点D不与点B，C重合，使得以B，O，D为顶点的三角形与BAC相似2在y x 2x3中，令y 0，则由x 2x3 0，解得x1 1，x2 32A(1，0)B(3，0)令x 0，得y 3C(0，3)x设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DEx轴于点E点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，点A的坐标为(1，0)CDl AB 4，OB OC 3，OBC 45.BC 32323 2要使BODBAC或BDOBAC，已有B B，则只需AOEByBDBCBOBA，x 1BOBD或.BCBA成立假设是，则有BD BO BCBA33 29 244而OBC 45，BE DE9 22222在RtBDE中，由勾股定理，得BE DE 2 BE BD429负值舍去493 OE OB BE 344解得BE DE 3 9 点D的坐标为，4 4将点D的坐标代入y kx(k 0)中，求得k 3满足条件的直线l的函数表达式为y 3x或求出直线AC的函数表达式为y 3x3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y 3x此时易知BODBAC，再求出直线BC的函数表达式为y x3联立 3 9 y 3x，y x3求得点D的坐标为，4 4假设是，则有BD BO BA34 2 2BC3 2而OBC 45，BE DE在RtBDE中，由勾股定理，得BE DE 2 BE BD(2 2)2解得2222BE DE 2负值舍去OE OB BE 321点D的坐标为(1，2)将点D的坐标代入y kx(k 0)中，求得k 2满足条件的直线l的函数表达式为y 2x存在直线l:y 3x或y 2x与线段BC交于点D不与点B，C重合，使得以 3 9 2)B，O，D为顶点的三角形与BAC相似，且点D的坐标分别为，或(1，4 43设过点C(0，3)E(1，0)的直线y kx3(k 0)与该二次函数的图象交于点P将点E(1，0)的坐标代入y kx3中，求得k 3此直线的函数表达式为y 3x3设点P的坐标为(x，3x3)，并代入y x 2x3，得x25x 0解得x1 5，x2 0不合题意，舍去2x 5，y 12点P的坐标为(5，12)此时，锐角PCO ACO又二次函数的对称轴为x 1，点C关于对称轴对称的点C的坐标为(2，3)当xp 5时，锐角PCO ACO；xCCAOEB当xp 5时，锐角PCO ACO；当2 xp 5时，锐角PCO ACO12解：1由题意可知 C0，3，b1，2a 抛物线的解析式为 y ax22ax3a0，过 M 作 MNy 轴于 N，连结 CM，则 MN 1，CM CN 2，于是 m 1同理可求得 B3，0，a3222a33 0，得 a 1，抛物线的解析式为 y x22x32由1得 A1，0，E1，4，D0，1 在 RtBCE 中，BC 3 2，CE 5，2，OB3OBBCOBODBC3 2，即，3，3，OD1ODCEBCCECE2 RtBODRtBCE，得 CBE OBD，因此 sin sinDBCOBD sinOBC 3显然 RtCOARtBCE，此时点 P10，0过 A 作 AP2AC 交 y 正半轴于 P2，由 RtCAP2RtBCE，得P2(0,)过 C 作 CP3AC 交 x 正半轴于 P3，由 RtP3CARtBCE，得 P39，0故在坐标轴上存在三个点P10，0，P20，13，P39，0，使得以P、A、C 为顶点的三角形与 BCE 相似CO2BC21313解：()证明：ABa，ADb，BEx，S梯形ABEF S梯形CDFE11a(xAF)a(ECbAF)，222AFEC(bx)又ECbx，2AF2EC，即 AFEC；()1当直线 EE经过原矩形的顶点 D 时，如图一，ECEB，ECDC E BDBb xa，x2a23；由 ECbx，EBEBx，DBDCCB2a，得xb当直线 EE 经过原矩形的顶点A 时，如图二，在梯形 AEBD 中，ECEB，点 C 是 DB的中点，1(AD EB)，21即 bxbx，21xb3CE2 如图一，当直线 EE 经过原矩形的顶点D 时，BEEF证明：连接 BFFDBE，FDBE，四边形 FBED 是平行四边形，FBDE，FBDE，又ECEB，点 C 是 DB的中点，DEEE，FBEE，FB EE，四边形 BEEF 是平行四边形BEEF如图二，当直线 EE 经过原矩形的顶点 A 时，显然 BE与 EF 不平行，设直线 EF 与BE交于点 G.过点 E作 EMBC 于 M，则 EMa.1，311EMBCb33xb假设 BE与 EF 垂直，则有GBEBEG90，又BEGFECMEE，MEEMEE90，GBEMEE在 Rt BME中，tanEBM tanGBEaEM2BMb31bEM在 Rt EME中，tanMEE 3，EMa1ba32ab3又a0，b0，2a，3b当2a时，BE 与 EF 垂直3b14 13 3n115.15.6316.16.A17.17.n(n 1)n(n 1)n2或 12(n1)12nn22218.18.2006191020解：12；218；2n；23S3323334321；S121(31)；23a1qn1a1(qn1)；q 1(n 2)2(n 2)221或只填一个均可2n(n 4)(n 2)42214，823(3n2)2414，2345或 142类似以下答案均给总分值：inn 的钉子板比(n1)(n1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了 n 种；ii分别用a，b 表示 nn 与(n1)(n1)的钉子板中不同长度的线段种数，则 abn3S234n251“17”在射线OE上2射线OA上数字的排列规律：6n5射线OB上数字的排列规律：6n4射线OC上数字的排列规律：6n3射线OD上数字的排列规律：6n2射线OE上数字的排列规律：6n1射线OF上数字的排列规律：6n3在六条射线上的数字规律中，只有6n3 2007有整数解解为n 335“2007”在射线OC上261672 分2图 4 中所有圆圈中共有123其中 23 个负数，1 个 0，54 个正数，12 12(121)78个数，2|1|01254图 4 中所有圆圈中各数的绝对值之和|23|22|(12323)(12354)2761485 1761271根据旋转规律，点P6落在y轴的负半轴，而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一26)，即P6(0，64)3 分个点到原点距离的2倍，故其坐标为P6(0，2由已知可得，P0OP1POP12Pn1OPn，设P21(x1，y1)，则y1 2sin 45 12SP0OP112 22又OP6 32OP1SP5OP6SP0OP1321024，12 512 222SP5OP610243由题意知，OP0旋转8次之后回到x轴正半轴，在这8次中，点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点Pn的坐标可分三类情况：令旋转次数为n当n 8k或n 8k 4时其中k为自然数，点Pn落在x轴上，0)；此时，点Pn的绝对坐标为(2，当n 8k 1或n 8k 3或n 8k 5或n 8k 7时其中k为自然数，点Pn落在各象限的平分线上，此时，点Pn的绝对坐标为n2n2nn1n12，22，即22，222当n 8k 2或n 8k 6时其中k为自然数，点Pn落在y轴上，2)此时，点Pn的