高考数学(理)真题 模拟新题分类汇编 解析几何费.pdf

H H 单元单元解析几何解析几何H1H1直线的倾斜角与斜率、直线的方程x2y220H1H1，H5H5，H8H82013新课标全国卷 平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：221(abab10)右焦点的直线 xy 30 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为.2(1)求 M 的方程；(2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值20解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x2y2x2y2112221，221.2ababy2y11.x2x1b2（x2x1）y2y1由此可得21.a（y2y1）x2x1y01因为 x1x22x0，y1y22y0，x02所以 a22b2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故 a2b23.因此 a26，b23.x2y2所以 M 的方程为1.63xy 30，(2)由x2y21，63x433，x0，解得或y 3.3y3因此|AB|46.353由题意可设直线 CD 的方程为 yxnn0，x，y 满足约束条件xy3，若 z2xyya（x3）.的最小值为 1，则 a()11A.B.C1D2429B解析 直线 ya(x3)过定点(3，0).画出可行域如图，易得 A(1，2a)，B(3，0)，C(1，2).作出直线 y2x，平移易知直线过 A 点时直线在 y 轴上的截距最小，即 2(2a)1答案为 B.8H2H22013湖南卷 在等腰直角三角形 ABC 中，ABAC4，点 P 是边 AB 上异于 A，B 的一点，光线从点 P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点 P(如图 11 所示)，若光线 QR 经过ABC的重心，则 AP 等于()1a.2H2H2两直线的位置关系与点到直线的距离图 11A2B184C.D.338D解析 不妨设 APm(0m4)，建立坐标系，设 AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，则 A(0，0)，44B(4，0)，C(0，4)，Q(xQ，yQ)，R(0，yR)，P(m，0)，可知ABC 的重心为 G3，3，根据反射性质，可知 P 关于 y 轴的对称点 P1(m，0)在直线 QR 上，P 关于 xy4 的对称点 P2(4，4m)在直线y0 xm444，代入可得 3m24m0，即m 或 m0(舍)，选RQ 上，则QR 的方程为，将G3334m4mD.12H2H2，E1E12013新课标全国卷 已知点 A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线 yaxb(a0)将ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是()A(0，1)B.121，22C.11121，D.3，22312B解析 方法一：易得ABC 面积为 1，利用极限位置和特值法当a0 时，易得 b12111；当 a 时，易得 b；当 a1 时，易得 b 21.故选 B.2333xy1，方法二：(直接法)yaxbyabb，0，结合图形与 a0，yaxb 与 x 轴交于aa1b2a.12b1abb1 1a2a12(ab)2a(a1)0b2a0，012b12b，当 a0 时，极限位置易得 b1，故答案为 B.227H2H2，H4H42013重庆卷 已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A524B.171C622D.177A解析 如图，作圆 C1关于 x 轴的对称圆 C1：(x2)2(y3)21，则|PM|PN|PN|PM|.由图可知当 C2，N，P，M，C1在同一直线上时，|PM|PN|PN|PM|取得最小值，即为|C1C2|13524，故选 A.图 13H3H3圆的方程20H3H3，H10H10，H8H8，H5H52013新课标全国卷 已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.20解：由已知得圆 M 的圆心为 M(1，0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1，0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C 是以 M,N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左x2y2顶点除外)，其方程为 1(x2)43(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以 R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2，0)时，R2，所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|23.若 l 的倾斜角不为 90，由 r1R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，|QP|R|3k|则，可求得Q(4，0)，所以可设l：yk(x4)由l 与圆 M 相切得1，解得2|QM|r11k222x2y2k.当 k时，将 yx 2代入1，44443462并整理得 7x28x80.解得 x1，2.7所以|AB|1k2|x2x1|当 k18.7218时，由图形的对称性可知|AB|.4718.7综上，|AB|23或|AB|21F2F2、F3F3、H3H3、H5H5，H8H82013重庆卷 如图 19 所示，椭圆的中心为原点O，长轴在 x 轴上，离心率 e2，过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 A，A两点，|AA|4.2(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P，P，过 P，P作圆心为 Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q 外，若 PQPQ，求圆 Q 的标准方程图 19（c）2224221解：(1)由题意知点 A(c，2)在椭圆上，则1，从而 e 1.a2b2b224b222由 e得 b 8，从而 a 16.21e21e2x2y2故该椭圆的标准方程为1.168(2)由椭圆的对称性，可设 Q(x0，0)又设 M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x20 xx081x1621(x2x0)2x208(x4，4)2设 P(x1，y1)，由题意，P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点，因此，上式当 xx1时取得最小值又因 x1(4，4)，所以上式当 x2x0时取得最小值，从而x12x0，且|QP|28x20.因为 PQPQ，且 P(x1，y1)，所以QPQP(x1x0，y1)(x1x0，y1)0，即(x1x0)2y210.由椭圆方程及x2121x12x0得 x181160，446x12616解得 x1，x0，从而|QP|28x2.03233故这样的圆有两个，其标准方程分别为x26y216，x26y216.3333H4H4直线与圆、圆与圆的位置关系9H4H42013江西卷 过点(2，0)引直线 l 与曲线 y 1x2相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于()A.33B333D 3322C|k 2|9B解析 AB：yk(x 2)，k0，圆心到直线的距离 d21，得1k0，k 1|AB|2 1d221k21，S|AB|d 2AOB21k2（1k2）k23，1k0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5.若以 MF 为直径的圆过点(0，2)，则 C 的方程为()Ay24x 或 y28xBy22x 或 y28xCy24x 或 y216xDy22x 或 y216xpp11C解析 抛物线焦点为 F，0，由抛物线的定义，设 M5，22为(0，2)2p2p2p5 221，p52t22p210p160p2 或 p8.p2p5，设 N 点坐标2因为圆过点 N(0，2)，故 NFNM设pp5 t，则式可化为 t242t802图 15x2y221H4H4，H5H52013浙江卷 如图 15 所示，点 P(0，1)是椭圆 C1：221(ab0)的一个ab顶点，C1的长轴是圆 C2：x2y24 的直径l1，l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆C2于 A，B 两点，l2交椭圆 C1于另一点 D.(1)求椭圆 C1的方程；(2)求ABD 面积取得最大值时直线 l1的方程b1，21解：(1)由题意得a2，x22所以椭圆 C 的方程为 y 1.4(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线 l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线 l1的方程为 ykx1.1又圆 C2：x2y24，故点 O 到直线 l1的距离 d2，k 1所以|AB|24d224k23.k21又 l2l1，故直线 l2的方程为 xkyk0.xkyk0，由2x 4y24.消去 y，整理得(4k2)x28kx0.8k故 x0，4k28k21所以|PD|.4k284k231设ABD 的面积为 S，则 S|AB|PD|，24k2所以 S324k231324k23324k2310 x1.2134k23161310，当且仅当 k时取等号132所以所求直线 l1的方程为 y7H2H2，H4H42013重庆卷 已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A524B.171C622D.177A解析 如图，作圆 C1关于 x 轴的对称圆 C1：(x2)2(y3)21，则|PM|PN|PN|PM|.由图可知当 C2，N，P，M，C1在同一直线上时，|PM|PN|PN|PM|取得最小值，即为|C1C2|13524，故选 A.图 13H5H5椭圆及其几何性质20H3H3，H10H10，H8H8，H5H52013新课标全国卷 已知圆 M：(x1)2y21，圆 N：(x1)2y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.20解：由已知得圆 M 的圆心为 M(1，0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1，0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C 是以 M,N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 3的椭圆(左x2y2顶点除外)，其方程为 1(x2)43(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以 R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2，0)时，R2，所以当圆 P 的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得|AB|23.若 l 的倾斜角不为 90，由 r1R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，|QP|R|3k|则，可求得Q(4，0)，所以可设l：yk(x4)由l 与圆 M 相切得1，解得|QM|r11k2222x2y2k.当 k时，将 yx 2代入1，44443462并整理得 7x28x80.解得 x1，2.7所以|AB|1k2|x2x1|当 k18.7218时，由图形的对称性可知|AB|.4718.7综上，|AB|23或|AB|x2y210H5 2013新课标全国卷 已知椭圆 E：221(ab0)的右焦点为 F(3，0)，过点 Fab的直线交 E 于 A，B 两点，若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()x2y2x2y2A.1B.145363627x2y2x2y2C.1D.12718189x2y21121，2ab（x1x2）（x1x2）110 D解析 由题意知 kAB，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则222a2x2y21a2b2（y1y2）（y1y2）0.b2x1x22，由 AB 的中点是(1，1)知y1y22，b2y1y21x2y222222，联立 a b 9，解得 a 18，b 9，故椭圆 E 的方程为1.ax1x22189x2y218H5H5、H8H8、H9H92013安徽卷 设椭圆 E：21 的焦点在 x 轴上a1a2(1)若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程；(2)设 F1，F2分别是椭圆 E 的左、右焦点，P 为椭圆 E 上第一象限内的点，直线F2P 交 y 轴于点Q，并且 F1PF1Q.证明：当 a 变化时，点 P 在某定直线上1518解：(1)因为焦距为 1，所以 2a21，解得 a2.488x28y2故椭圆 E 的方程为1.53(2)设 P(x0，y0)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中 c 2a21.由题设知 x0c，y0则直线 F1P 的斜率 kF1P，x0cy0直线 F2P 的斜率 kF2P，x0c故直线 F2P 的方程为 yx0 时，yy0(xc)x0ccy0cy0，即点 Q 的坐标为 0，.cx0cx0y0因此，直线 F1Q 的斜率为 kF1Q.cx0由于 F1PF1Q，所以 kF1PkF1Qy0y01.x0ccx022化简得 y20 x0(2a 1)将代入椭圆 E 的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点P 在定直线 xy1 上x2y214H5H5，H8H82013福建卷 椭圆：221(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.ab若直线 y 3(xc)与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_14.31解析 如图，MF1F2中，MF1F260，MF2F130，F1MF290，c2又|F1F2|2c，|MF1|c，|MF2|3c，2a|MF1|MF2|c 3c，得 e 31.a31x2y212H5H52013江苏卷 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标准方程为221(a0，b0)，ab右焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l 的距离为 d2.若 d2 6d1，则椭圆 C 的离心率为_3a2xy12.解析 由题意知 F(c，0)，l：x，不妨设B(0，b)，则直线BF：1，即bxcy3ccbbc0.于是 d1|bc|bc，b2c2aa2c2b2a2d2 c.cccbbc，由 d2 6d1，得6ca化简得 6c4a2c2a40，即 6e4e210，11解得 e2 或 e2(舍去)，32故 e20.33，故椭圆 C 的离心率为.33222图 173x2y21，离心率 eH5H5，H8H82013江西卷 如图 17 所示，椭圆 C：221(ab0)经过点 P2ab1，直线 l 的方程为 x4.2(1)求椭圆 C 的方程；(2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P)，设直线 AB 与直线 l 相交于点 M，记 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得 k1k2k3？若存在，求 的值；若不存在，说明理由3191，在椭圆上得221，解：(1)由 P2a4b依题设知 a2c，则 b23c2，代入解得 c21，a24，b23.x2y2故椭圆 C 的方程为1.43(2)方法一：由题意可设 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 yk(x1)，代入椭圆方程 3x24y212 并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有4（k23）8k2x1x22，x1x2，4k 34k23在方程中令 x4 得，M 的坐标为(4，3k)333y1y23k2221从而 k1，k2，k3k，2x11x214133y1y222y1y2注意到 A，F，B 共线，则有 kkAFkBF，即有k，所以 k1k2x11x21x11x211y1y231x 1x 12x11x2121x1x2232k，2x1x2（x1x2）18k224k233代入得 k1k22k 2k1.24（k23）8k2214k234k 31又 k3k，所以 k1k22k3，故存在常数 2 符合题意2方法二：设 B(x0，y0)(x01)，则直线 FB 的方程为：y3y0令 x4，求得 M4，x 1.0从而直线 PM 的斜率为 k32y0 x01，2（x01）y0(x1)x01y0（x1），x015x08，3y0，联立22得 A2x052x05xy1，43y2y02x052y03则直线 PA的斜率为 k1，直线 PB 的斜率为 k2，2（x01）2（x01）2y02x052y032y0 x01所以 k1k22k3，2（x01）2（x01）x01故存在常数 2 符合题意x2219H5H5，H10H102013北京卷 已知 A，B，C 是椭圆 W：y 1 上的三个点，O 是坐标原点4(1)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由x2219解：(1)椭圆 W：y 1 的右顶点 B 的坐标为(2，0)4因为四边形 OABC 为菱形，所以 AC 与 OB 相互垂直平分13所以可设 A(1，m)，代入椭圆方程得 m21，即 m.42所以菱形 OABC 的面积是11|OB|AC|22|m|3.22(2)假设四边形 OABC 为菱形因为点 B 不是 W 的顶点，且直线 AC 不过原点，所以可设 AC 的方程为 ykxm(k0，m0)22x 4y 4，由消 y 并整理得ykxm(14k2)x28kmx4m240.设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2y1y2x1x24kmm，km.22214k214k24kmm所以 AC 的中点为 M14k2，14k2.1因为 M 为 AC 和 OB 的交点，所以直线OB 的斜率为.4k11，所以 AC 与 OB 不垂直因为 k4k所以四边形 OABC 不是菱形，与假设矛盾所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形x2y215H5H52013辽宁卷 已知椭圆 C：221(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于ab4A，B 两点，联结 AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则 C 的离心率 e_5515.解析 设椭圆的右焦点为 Q，在三角形 ABF 中利用余弦定理可以得到|BF|8，利用椭圆7的对称性可以得到|AQ|8，则FAQ 为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到 2a14，2c510，得 e.7x0，15H5H52013全国卷 记不等式组x3y4，所表示的平面区域为 D.若直线 ya(x1)与 D3xy4有公共点，则 a 的取值范围是_115.2，4解析 已知不等式组表示的平面区域如图12 中的三角形 ABC 及其内部，直线ya(x1)是过点(1，0)斜率为 a 的直线，该直线与区域D 有公共点时，a 的最小值为 MA 的斜率，101最大值为 MB 的斜率，其中点A(1，1)，B(0，4)，故MA 的斜率等于，MB 的斜率等1（1）2于4014，故实数 a 的取值范围是2，4.0（1）x2y28H5H5、H8H82013全国卷 椭圆 C：1 的左、右顶点分别为A1，A2，点P 在 C 上且直线43PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1斜率的取值范围是()1333，B.，A.248413，1D.，1C.24y0y08 B解析 椭圆的左、右顶点分别为(2，0)，(2，0)，设 P(x0，y0)，则 kPA1kPA2x02 x022y233y2x0333002，.2，而1，即 y20(4x0)，所以 kPA1kPA2，所以 kPA143444kPA284x04x2y2322H5H52013山东卷 椭圆 C：221(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过ab2F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，联结PF1，PF2，设F1PF2的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m，0)，求 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线11PF1，PF2的斜率分别为 k1，k2，若 k0，试证明为定值，并求出这个定值kk1kk222解：(1)由于即 a2b2.c3又 e，a2所以 a2，b1.x22所以椭圆 C 的方程为 y 1.4(2)方法一：设 P(x0，y0)(y00)又 F1(3，0)，F2(3，0)，所以直线 PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0 x(x0 3)y 3y00，lPF2：y0 x(x0 3)y 3y00.由题意知c2a2b2，将x2y2b22b2xc 代入椭圆方程221，得 y.由题意知1，abaa|my0 3y0|2y20（x0 3）|my0 3y0|2y20（x0 3）.x20由于点 P 在椭圆上，所以 y201，4所以|m 3|3x 2202|m 3|23x 220.因为 3m 3，2x02，可得m 33m.33x 22x02023所以 m x0.433因此 m.22方法二：设 P(x0，y0)当 0 x02 时，113，.当 x0 3时，直线 PF2的斜率不存在，易知 P 3，或 P2213，则直线 PF1的方程为 x43y 30.若 P2|m 3|由题意得 3m，7因为 3m 3，33所以 m.41333，同理可得 m若 P.24当 x0 3时，设直线 PF1，PF2的方程分别为 yk1(x 3)，yk2(x 3)|mk1 3k1|mk2 3k2|由题意知，221k11k211k2（m 3）21所以.1（m 3）212k2x20因为y201，4y0y0并且 k1，k2，x0 3x0 3（m 3）24（x0 3）24x20所以（m 3）24（x0 3）24x203x2083x01623x083x016（3x04）2，（3x04）2|m 3|3x04|即.|m 3|3x04|因为 3m 3，0 x02 且 x0 3，3m4 3x0所以.3m4 3x0整理得 m3x0，4333故 0m 且 m.243综合可得 0m.23当2x00 时，同理可得 mb0)的两个焦点分别为 F1(1，0)，F2(1，ab410)，且椭圆 C 经过点 P3，3.(1)求椭圆 C 的离心率；21(2)设过点 A(0，2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 Q 是线段 MN 上的点，且|AQ|2|AM|21，求点 Q 的轨迹方程|AN|220解：(1)由椭圆定义知，|PF1|PF2|所以 a 2，又由已知，c1，c12所以椭圆 C 的离心率 e.a22411332241122.3322x22(2)由(1)知，椭圆 C 的方程为y 1.2设点 Q 的坐标为(x，y)当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 与椭圆 C 交于(0，1)，(0，1)两点，此时点 Q 的坐标为0，235.5当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为 ykx2.因为 M，N 在直线 l 上，可设点 M，N 的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx22)，则|AM|2(1222k2)x21，|AN|(1k)x2.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由211，得22|AQ|AM|AN|221122，（1k2）x2（1k2）x21（1k）x2211（x1x2）22x1x2即222.2xx1x2x21x2x22将 ykx2 代入y 1 中，得2(2k21)x28kx60.3由 (8k)24(2k21)60，得 k2.28k6由可知，x1x22，x1x22，2k 12k 1代入中并化简，得18x22.10k 3y2因为点 Q 在直线 ykx2 上，所以 k，代入中并化简，得10(y2)23x218.x33由及 k2，可知 0 x2b0)的左焦点为 F，离心率为，过点F 且与 xab343轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.3(1)求椭圆的方程；(2)设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点，若AC DBADCB8，求 k 的值c318解：(1)设 F(c，0)，由，知 a 3c.过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 xc，a3（c）2y26b26b43代入椭圆的方程有21，解得 y.于是，解得 b 2.2ab333又 a2c2b2，从而 a 3，c1，x2y2所以所求椭圆的方程为 1.32(2)设点 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由 F(1，0)得直线 CD 的方程为 yk(x1)yk（x1），由方程组x2y2消去 y，整理得(23k2)x26k2x3k260，321，3k266k2可得 x1x2，x x.23k21 223k2因为 A(3，0)，B(3，0)，所以ACDBADCB(x1 3，y1)(3x2，y2)(x2 3，y2)(3x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k22k2126.23k22k212由已知得 68，解得 k 2.23k2x2y220H1H1，H5H5，H8H82013新课标全国卷 平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：221(abab10)右焦点的直线 xy 30 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为.2(1)求 M 的方程；(2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值20解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x2y2x2y2112221，221.2ababy2y11.x2x1b2（x2x1）y2y1由此可得21.a（y2y1）x2x1y01因为 x1x22x0，y1y22y0，x02所以 a22b2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故 a2b23.因此 a26，b23.x2y2所以 M 的方程为1.63xy 30，(2)由x2y21，63x433，x0，解得或y 3.3y3因此|AB|46.353由题意可设直线 CD 的方程为 yxnnb0)的一个ab顶点，C1的长轴是圆 C2：x2y24 的直径l1，l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆C2于 A，B 两点，l2交椭圆 C1于另一点 D.(1)求椭圆 C1的方程；(2)求ABD 面积取得最大值时直线 l1的方程b1，21解：(1)由题意得a2，x22所以椭圆 C 的方程为 y 1.4(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线 l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线 l1的方程为 ykx1.1又圆 C2：x2y24，故点 O 到直线 l1的距离 d2，k 1所以|AB|24d224k23.k21又 l2l1，故直线 l2的方程为 xkyk0.xkyk0，由2x 4y24.消去 y，整理得(4k2)x28kx0.8k故 x0，4k28k21所以|PD|.4k284k231设ABD 的面积为 S，则 S|AB|PD|，24k2所以 S324k231324k23324k2310 x1.2134k23161310，当且仅当 k时取等号132所以所求直线 l1的方程为 y图 12x229H5H5，H6H62013浙江卷 如图 12，F1，F2是椭圆 C1：y 1 与双曲线 C2的公共焦点，4A，B 分别是 C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是()36A.2B.3C.D.229D解析 设双曲线实半轴长为 a，焦半距为 c，|AF1|m，|AF2|n，由题意知 c 3，mn4，2mn(mn)2(m2n2)4，(mn)2m2n22mn8，2amn2222m n（2c）12，c362，a 2，则双曲线的离心率e，选择 D.a2221F2F2、F3F3、H3H3、H5H5，H8H82013重庆卷 如图 19 所示，椭圆的中心为原点O，长轴在 x 轴上，离心率 e2，过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 A，A两点，|AA|4.2(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P，P，过 P，P作圆心为 Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q 外，若 PQPQ，求圆 Q 的标准方程图 19（c）222421.21解：(1)由题意知点 A(c，2)在椭圆上，则1，从而 ea2b2b224b222由 e得 b 8，从而 a 16.21e21e2x2y2故该椭圆的标准方程为1.168(2)由椭圆的对称性，可设 Q(x0，0)又设 M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x20 xx081x1621(x2x0)2x208(x4，4)2设 P(x1，y1)，由题意，P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点，因此，上式当 xx1时取得最小值又因 x1(4，4)，所以上式当 x2x0时取得最小值，从而x12x0，且|QP|28x20.因为 PQPQ，且 P(x1，y1)，所以QPQP(x1x0，y1)(x1x0，y1)0，即(x1x0)2y210.由椭圆方程及x2121x12x0得 x181160，446x12616解得 x1，x0，从而|QP|28x2.03233故这样的圆有两个，其标准方程分别为x26y216，x26y216.3333H6H6双曲线及其几何性质x2y254H6H62013新课标全国卷 已知双曲线 C：221(a0，b0)的离心率为，则C 的渐ab2近线方程为()11Ay xBy x431Cy xDyx222c5b4C解析 离心率，所以 a2a1故渐近线方程为 y x.2c2a2a2c11.由双曲线方程知焦点在x 轴上，a22x2y26H6H62013北京卷 若双曲线221 的离心率为 3，则其渐近线方程为()abAy2xBy 2x12Cy xDyx226B解析 由离心率为 3，可知c 3a，c23a2，b22a2，b 2a，双曲线的渐b近线方程为 y x 2x.ax223H6H62013福建卷 双曲线y 1 的顶点到其渐近线的距离等于()4242545A.B.C.D.55553C解析 取一顶点(2，0)，一条渐近线 x2y0，d225，故选 C.1222537H6H62013广东卷 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3，0)，离心率等于，则 C 的2方程是()x2y2x2y2A.1B.14455x2y2x2y2C.1D.12525x2y2c37B解析 设双曲线方程为221，由题知：c3，e ，解得 a2，b2c2a29aba2x2y245，故 C 的方程是1.45x2y2y2x25 H6H62013湖北卷 已知 00，b0)的两个焦点，P 是 C 上一点，ab若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为 30，则 C 的离心率为_14.3解析 若最小角为F1PF2，由对称性设|PF1|PF2|，由|PF1|PF2|6a，|PF1|PF2|2a，得|PF1|4a，|PF2|2a，此时|PF2|PF2|，由|PF1|PF2|6a，|PF1|PF2|2a，得|PF1|4a，|PF2|2a，由余弦定理可得 4a216a24c224a2ccos 30，即 3a223cacc20，解得 c 3a，即 e 3.ax2y23H6H62013江苏卷 双曲线1 的两条渐近线的方程为_1693x2y233y x解析 令0，得渐近线方程为 y x.4169414H6H62013江西卷 抛物线 x22py(p0)的焦点为x2y2F，其准线与双曲线 1 相交于 A，B33两点，若ABF 为等边三角形，则 p_146解析 由题知三角形边长为1p2p，得点 Bp，2，代入双曲线方程得 p6.33x2y221H6H6、H8H8、D3D32013全国卷 已知双曲线 C：221(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，abF2，离心率为 3，直线 y2 与 C 的两个交点间的距离为 6.(1)求 a，b；(2)设过 F2的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于A，B 两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列a2b2c21解：(1)由题设知 3，即29，故 b28a2.aa所以 C 的方程为 8x2y28a2.将 y2 代入上式，求得 x由题设知，21a2.21a2 6，解得 a21.2所以 a1，b22.(2)证明：由(1)知，F1(3，0)，F2(3，0)，C 的方程为 8x2y28.由题意可设 l 的方程为 yk(x3)，|k|22，代入并化简得(k28)x26k2x9k280.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x11，x21，9k286k2x1x22，x1x22.k 8k 822于是|AF1|（x13）2y21（x13）8x18(3x11)，22|BF1|（x23）2y22（x23）8x283x21.2由|AF1|BF1|得(3x11)3x21，即 x1x2.36k22419故2，解得 k2，从而 x1x2.359k 822由于|AF2|（x13）2y21（x13）8x1813x1，22|BF2|（x23）2y22（x23）8x283x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列12x2211H6H6、H7H72013山东卷 抛物线 C1：yx(p0)的焦点与双曲线 C2：y 1 的右焦点2p3的连线交 C1于第一象限的点 M.若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p()A.332343B.C.D.16833p12x2211D解析 抛物线 C1：yx(p0)的焦点坐标为0，2，双曲线 y 1 的右焦点坐标2p3py（x2），4p为(2，0)，连线的方程为 y(x2)，联立得 2x2p2x2p20.设点 M 的41yx22p122横坐标为 a，则在点 M 处切线的斜率为 y|xa2px错误错误!错误错误!错误错误!.又双曲线错误错误!y1 的渐近线方程为xa33y0，其与切线平行，即 ap，代入 2x2p2x2p20 得，p33343p或 p0(舍去)3x2y2511H6H62013陕西卷 双曲线1 的离心率为，则 m 等于_16m4119解析 由 a216，b2m，则 c216m，则 e6H6H6，H7H72013四川卷 抛物线13A.B.C1D.3226B解析 抛物线 y24x 的焦点坐标为 F(1，0)，双曲线 x2y21 的渐近线为 3xy0，3y24x 的焦点到双曲线16m5，则 m9.44x2y21 的渐近线的距离是()3故点 F 到 3xy0 的距离 d|3|3.132x2y25H6H6，H7H72013天津卷 已知双曲线221(a0，b0)的两条渐近线与抛物线 y22px(p0)ab的准线分别交于A，B 两点，O 为坐标原点 若双曲线的离心率为2，AOB 的面积为 3，则 p()3A1B.C2D32by x，aa2b2cbbp5C解析 双曲线的离心率 e 2，解得 3，联立得 y.又因aaa2apx，2pbpb为 SOAB 3，将 3代入解得 p2.22aa图 12x229H5H5，H6H62013浙江卷 如图 12，F1，F2是椭圆 C1：y 1 与双曲线 C2的公共焦点，4A，B 分别是 C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是()36A.2B.3C.D.229D解析 设双曲线实半轴长为 a，焦半距为 c，|AF1