北京市朝阳区高三一模理科数学试卷.pdf

北京市朝阳区高三统一练习（一）数学试卷（理工类）北京市朝阳区高三统一练习（一）数学试卷（理工类）一、一、选择题选择题:本大题共本大题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分.在每小题的在每小题的 4 4 个选项中个选项中,只有一项是符合题目只有一项是符合题目要求的要求的.(1)已知集合P x|x 2|1,xR R，Q x|xN N,则PA1,3B1,2C2,3Q等于（）D1,2,3(2)下列函数中，在区间(1,)上为增函数的是（）Ay 2x1By xCy (x1)2Dy log1(x1)1 x2(3)复数z 2i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于（）1iA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(4)从 6 名女生，4 名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取 5 名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（）AC632C4BC623C4CC105DA632 A4(5)用一平面去截体积为4 3的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为（）A.2B.3C.2D.12(6)各项均不为零的等差数列an中，若anan1an1 0(nN N,n 2)，则S2009等于（）A0B2C2009D4018(7)已知函数f(x)x1 x1.如果f(f(a)f(9)1，则实数a等于（）A.13B.1C.D.42(8)蔬菜价格随着季节的变化而有所变化.根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买 2 千克甲种蔬菜与 1 千克乙种蔬菜所需费用之和大于 8 元，而购买 4 千克甲种蔬菜与 5 千克乙种蔬菜所需费用之和小于 22 元.设购买 2 千克甲种蔬菜所需费用为A元，购买 3 千克乙种蔬菜所需费用为B元，则（）AA BBA BCA BDA,B大小不确定二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 6 6 小题小题,每小题每小题 5 5 分分,共共 3030 分分.将答案填在题中横线上将答案填在题中横线上.x23x2_.(9)limx2x2(10)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B 45,b 2,a 1，则C等于_度.1n2(11)若(x)展开式中的二项式系数和为512，则n等于_；该展开式中的常x数项为_.(12)已知动直线l平分圆C:(x2)2(y1)21，则直线l与圆O:关系是_.(13)过抛物线y2 2px(p 0)的焦点F作直线l，交抛物线于A,B两点，交其准线于C点.若x 3cos,(为参数)的位置y 3sinCB 3BF，则直线l的斜率为_.(14)定义映射f:A B，其中A (m,n)m,nR R，B R R.已知对所有的有序正整数对(m,n)满足下述条件：f(m,1)1；若mn，f(m,n)0；f(m1,n)n f(m,n)f(m,n1)，则f(3,2)的值是_；f(n,n)的表达式为_（用含n的代数式表示）.三、解答题三、解答题:本大题共本大题共 6 6 小题小题,共共 8080 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本小题满分 13 分）xxx3cos3sin22222（）求函数f(x)的最小正周期，并写出函数f(x)图象的对称轴方程；（）若x0,，求函数f(x)的值域已知函数f(x)sin(16)（本小题满分 13 分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂现在可供选用的不同添加剂有6 种，其中芳香度为 1 的添加剂 1 种，芳香度为 2 的添加剂 2 种，芳香度为 3 的添加剂 3 种根据试验设计原理，通常要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验（）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3 的概率；（）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率；（）用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，写出的分布列，并求的数学期望E(17)（本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱ABC ABC中,已知AA 4，AC BC 2，ACB 90，D是AB的中点.C（）求证：CD AB；C（）求二面角A ABC的大小；BB（）求直线BD与平面ABC所成角的正弦值.DAA(18)（本小题满分 13 分）已知函数f(x)14 x22（）写出函数fx的定义域，并求函数fx的单调区间；（）设过曲线y f(x)上的点P的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最小值，并求此时点P的坐标.(19)（本小题满分 13 分）已知ABC的三边长|CB|,|AB|,|CA|成等差数列，若点A,B的坐标分别为(1,0),(1,0)（）求顶点C的轨迹W的方程；（）若线段CA的延长线交轨迹W于点D，当2|CB|5时，求线段CD的垂直平分线2Cyl与x轴交点的横坐标的取值范围(20)（本小题满分 14 分）已 知 数 列an的 前n项 和 为Sn，且AOBxSn1an1(nN N*)，其中a11,an 0an2（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足(2an1)(2n1)1，Tn为bn的前n项和，求证：b2Tn log2(2an1)，nN N*；（）是否存在正整数m,d，使得lim()()n13m13md1()m2d311()m(n1)d成立？若存3a8在，请求出m和d的值；若不存在，请说明理由北京市朝阳区高三统一练习数学理科答案数学理科答案2009.4一、选择题一、选择题:题号题号1 12 23 34 45 56 67 78 8答案答案DBDACDAA二、填空题二、填空题:(9)1;(10)105;(11)9,84;(12)相交(13)k 2 2;(14)6,n!.三、解答题三、解答题:(15)解:（）因为f(x)133sin x(1cosx)22213(sin xcosx)322 sin(x)3，3所以,函数f(x)的最小正周期为 25由x k，得x k,k Z Z.6325故函数f(x)图象的对称轴方程为x k,k Z Z.8 分6 2（）因为x0,，所以x,3333 sin(x)1.233,1313 分所以函数f(x)的值域为2所以(16)解：（）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3”为事件 A，则1C22P(A)2.C615答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3 的概率是2.4 分15（）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数”为事件 B，两种添加剂的芳香度之和为偶数有三种可能：芳香度为1 和 3，芳香度为 2 和 2，芳香度为3 和 3，1C33其中芳香度为 1 和 3 的概率为2,C6152C21芳香度为 2 和 2 的概率为2,C615C323芳香度为 3 和 3 的概率为2,C615所以P(B)3137.151515157.9 分15答：所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率是（）的可能取值为 3，4，5，6，且12111C3C2C3C26C323C224P(3)2,P(4),P(5)2,P(6)2.2C615C615C615C615所以的分布列为34562463P15151515246314.13 分所以,E 3456151515153(17)解法一：（）证明：因为AC BC，D是AB的中点，所以CD AB.由已知，三棱柱ABC ABC是直三棱柱，所以平面ABC 平面ABBA.所以CD 平面ABBA.又因为AB 平面ABBA,所以CD AB.5 分A（）解：由（1）知CD 平面ABBA.过D作DE AB，垂足为E,连结CE.由三垂线定理可知CE AB，所以CED是二面角B ABC的平面角.由已知可求得CD 2，DE CFBEACBD2CD6,所以tanCED.DE23所以二面角B ABC的大小为arctan6.2由于二面角A ABC与二面角B ABC的大小互补，所以二面角A ABC的大小为arctan6.10 分2（）过 D 作DF CE,垂足为F,连结BF.由（）可证得AB 平面CDE,所以AB DF,可证得DF 平面ABC.所以,DBF为直线BD与平面ABC所成的角.在直角三角形CDE中，可知CE 30CDDE2 5，所以DF.3CE5在直角三角形BBD中，可知BD=3 2.在直角三角形DBF中，sinDBF=DF10.DB1510.14 分15所以直线BD与平面ABC所成角的正弦值为解法二：以AB的中点O为原点，先证明CO 平面ABBA，建立空间直角坐标系（如图）.由已知可得O(0,0,0)、A(2,4,0)、C(0,4,2)、D(0,4,0)、zCBCBDAyB(2,0,0)、C(0,0,2).（）证明：CD (0,0,2)，AB (2 2,4,0,).因为CDAB (0,0,2)(2 2,4,0)0，xAO所以CD AB.5 分（）解：AC (2,0,2).设平面ABC的一个法向量为n n (x,y,1)，n n AB 0,2 2x4y 0,由得n n AC 0,2x2 0.x 1,2解得所以n n (1,1).22.y 2又知，OC 平面ABBA，所以OC为平面ABBA的法向量.因为OC(0,0,2),所以cosn n,OC n nOC|n n|OC|252210.5由图可知，二面角A ABC大于 90，所以二面角A ABC的大小为arccos10.10 分52,1),2（）由（）可知平面ABC的一个法向量n n (1,又BD (2,4,0).所以cosn n,BD n nBD 210.15|n n|BD|3 5,2因为直线BD与平面ABC所成角为n n,BD 所以直线BD与平面ABC所成角的正弦值为10.14 分15(18)解：()函数f(x)的定义域是2,2函数f(x)的导数是f(x)x2 4 x2.令f(x)0,即x2 4 x2 0,解得2 x 0,所以函数f(x)的递增区间是2,0;令f(x)0,即x2 4 x2 0,解得0 x 2,所以函数f(x)的递减区间是0,2.6 分()设Px124-x2x00,0，则切线的斜率k=f(x0)，2 4 x20则切线l的方程是y124 x2x002 4 x2(x x0)，0设切线l与x轴、y轴的交点为A、B，令y 0，由题意可知x0 0，解得x 44x，所以A(,0)；0 x0令x 0，解得y 224 x2，所以B(0,04 x2)，0所以S1x y1 424ABO22 x04 x220 x0(4 x20)4x24 x2 2，002当且仅当x20 4 x20，即x0 2时，ABO面积的最小值为 2.此时,点P的坐标是(2，22)13 分(可求导或用二次函数求得g(x)x220(4x0)(x2,0 0,2)的最大值)(19)解：（）因为|CB|,|AB|,|CA|成等差数列，点A,B的坐标分别为(1,0),(1,0)所以|CB|CA|2|AB|4且4|AB|由椭圆的定义可知点C的轨迹是以A,B为焦点长轴为 4 的椭圆（去掉长轴的端点），所以a 2,c 1,b 3故顶点C的轨迹W方程为x24 y23 1(y 0)4 分（）由题意可知直线AC的斜率存在，设直线AC方k(x1)Cyy ly k(x1),E由Ox2y2ABx 431,得D(34k2)x28k2x4k212 0，设C,D两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则xx8k21234k2，y1 y2 k(x1 x22)6k34k2，所以线段CD中点E的坐标为(4k234k2,3k34k2),故CD垂直平分线l的方程为y 3k14k234k2 k(x34k2)，令y 0，得l与x轴交点的横坐标为x k234k2 13，k24由2|CB|512得2 2(4 x51)2，解得1 x1 0，又因为k2y221123x13x112(x2，所以(k2)11)24(x11)2(x11)3当1 x23x21121 0时，有(k)2(x 1)3 0，此时函数k2123x14(x2递减，111)程 为111 3454k211故直线l与x轴交点的横坐标的范围是(,13 分45所以k 3所以，2(20)解：（）已知式即Sn111anan1，故an1 Sn1Snan1an2anan1222因为an 0，当然an1 0，所以an2an 2(nN N*)1由于a1 S1a1a2，且a11，故a2 22于是a2m112(m1)2m1，a2m 22(m1)2m，所以an n(nN N*)4 分bbb（）由(2an1)(2n1)1，得(2n1)(2n1)1,2n2n，2n1故bn log22n2n1从而Tnb1b2 2 4 6bn log21 3 52n 2n1 2 4 62Tn 2log21 3 52n 2 4 6 log22n113 522n 2n12 2 4 6因此2Tnlog2(2an1)log21 3 5 2 4 6 log21 3 5 2 4 6设f(n)1 3 522n log2(2n1)2n12n 12n12n122n 1 2 4 6log log 222n12n113 52n 1，2n12n12 2 4 6则f(n1)1 3 52n2n21，2n1 2n12n3224n28n4f(n1)2n1 2n2(2n2)221，故f(n)2n32n1(2n3)(2n1)4n 8n3注意到f(n)0，所以f(n1)f(n)4特别地f(n)f(1)1，从而2Tnlog2(2an1)log2f(n)03*所以2Tn log2(2an1)，nN N9 分1a1n（）易得()n()331()m1m1md1m2d11注意到a88，则有lim()()()()m(n1)d3，n313331()d831m11d383当m d时，由 得3md(3d1)8因为m,d N N*，所以m d 2ddmmmd8即()1()，整理得3 3当m d时，由 得3 183因为m d，故式右边必是 3 的倍数，而左边不是 3 的倍数，所以式不成立，即当m d时，不存在m,d N N*，使得式成立综上所述，存在正整数m d 2，使得111lim()m()md()m2dn33311()m(n1)d成立14 分3a8