高考试题数学理(辽宁卷).pdf

2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学(供理科考生使用)本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷 1 至 2 页，第卷 3至 4 页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷（选择题共 60 分）参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4R如果事件 A、B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径P(AB)P(A)P(B)球的体和只公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p，那么 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 k 次的概率V=RkknkP(k)C P(1 p)(k 0,1,2,nn2432,n)其中 R 表示球的半径一、选择题1.已知集合M x A.M答案：答案：C解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。依题M x 3 x 1,N x xM N x|x 1，Rx3 0,N x xx1N C.R3,则集合x x1为()N B.M(MN)D.R(MN)3，(MN)x x1.2.lim135(2n1)等于()nn(2n1)11 B.C.1 D.242 A.答案：答案：B解析：本小题主要考查对数列极限的求解。依题135(2n1)n21lim lim2.nn2n nn(2n1)23.圆x y 1与直线y kx2没有公共点的充要条件是()A.k(2,2)B.k(,2)C.k(3,3)D.k(,3)22(2,)(3,)答案：答案：C解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆x2 y21与直线y kx2没有公共点 d 21k21k(3，3).11的虚部是()2i12i1111 A.i B.C.i D.55554.复数答案：答案：B解析：本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念。依题：部为.5.已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2AC CB 0 0,则OC等于()A.2OAOB B.OA2OB C.1111 i.虚2i12i55152112OAOB D.OAOB3333答案：答案：A解析：本小题主要考查平面向量的基本定理。依题OC OB BC OB2AC OB2(OCOA).OC 2OAOB.6.设P为曲线C:y x 2x3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是20,则点P横坐标的取值范围是()411 A.1,B.1,0 C.0,1 D.,122答案：答案：A解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点P的横坐标为x0,且y 2x02 tan（为点 P 处切线的倾斜角），又0,x01,.7.4 张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.4，0 2x021，121123 B.C.D.3234答案：答案：C解析：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数，则取出的 2 张卡片上的数字必须一奇一偶，取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的11C2C242概率P.2C3638.将函数y 2x1的图象按向量a a平移得到函数y 2x1的图象,则a a等于()A.(1,1)B.(1,1)C.(1,1)D.(1,1)答案：答案：A解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数y 2x1的图象得到函数y 2x1的图象，需将函数y 2x1的图象向左平移 1 个单位，向下平移 1 个单位；故a a (1，1).9.生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲乙两工人中安排 1 人,第四道工序只能从甲丙两工人中安排 1 人,则不同的安排方案有()A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.72 种答案：答案：B解析：本小题主要考查排列组合知识。依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙2来完成，故完成方案共有A412种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙12二人之一来完成，故完成方案共有A2 A4 24种；则不同的安排方案共有212A4 A2A436种。10.已知点P是抛物线y 2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.2917 B.3 C.5 D.22答案：答案：A解析：本小题主要考查抛物线的定义解题。依题设P在抛物线准线的投影为P,抛物线的焦点为F,则F(,0),依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP|PF|,则点P到点12A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和117d|PF|PA|AF|()222.2211.在正方体ABCD A1BC11D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线()A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条答案：答案：D解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力。在 EF 上任意取一点 M,直线A1D1与 M 确定一个平面，这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N,当 M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与 CD 有不同的交点 N,而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点的.如右图：12.设f(x)是连续的偶函数,且当x 0时f(x)是单调函数,则满足x3)的所有x之和为()x4 A.3 B.3 C.8 D.8f(x)f(答案：答案：C解析：本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足f(x)f(x3)时，即x4x32时，得x 3x3 0，此 时x1 x2 3.又f(x)是 连续 的 偶 函数，x4x3x32)，即x f(x)f(x)，另一种情形是f(x)f(，得x 5x3 0，x4x 4x3)的所有x之和为3(5)8.x3 x4 5.满足f(x)f(x4x 第卷（选择题共 60 分）二、填空题13.函数y x1,x 0的反函数是_.xe,x0答案：y x1，x 1，lnx，x1.解析：本小题主要考查求反函数基本知识。求解过程要注意依据函数的定义域进行分段求解以及反函数的定义域问题。14.在体积为4 3的球的表面上有A,B,C三点,AB 1,BC 2,A,C两点的球面距离为3,则球心到平面ABC的距离为_.3答案：32解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为R,则43C两点对球心张角为，V R3 4 3,R 3.设A、则AC R3,333,AC 3,AC为ABC所在平面的小圆的直径，ABC 90,设ABC所ABC的 距 离 为在 平 面 的 小 圆 圆 心 为O，则 球 心 到 平 面d OOR2BO23(15.已知(1 x x)(x答案：52323).22n8,则n _.1n)的展开式中没有常数项,nN*,23x解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题(x1n*)对nN,23x2n8中，只有n 5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x乘积为常数的项。16.已知f(x)sin(x)(0),f()f(),且f(x)在区间(,)有最小值,无3636 3 最大值,则 _.答案：143解 析：本 小 题 主 要 针 对 考 查 三 角 函 数 图 像 对 称 性 及 周 期 性。依 题f(x)sin(x)(0),f()f()且f(x)在区间(,)有最小值,无最大值,3636 3 区间(,)为f(x)的一个半周期的子区间，且知f(x)的图像关于x 63对称，6324314,kZ,取K 0得.2k4323三、解答题17.在ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c.已知c 2,C 若ABC的面积等于3,求a,b;若sinC sin(B A)2sin 2A,求ABC的面积.说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力满分12 分解析：（）由余弦定理及已知条件得，a b ab 4，223.又因为ABC的面积等于3，所以1absinC 3，得ab 4 4 分2a2b2ab 4，联立方程组解得a 2，b 2 6 分ab 4，（）由题意得sin(B A)sin(B A)4sin Acos A，即sin Bcos A 2sin Acos A，8 分当cos A 0时，A 4 32 3，B，a，b，2633当cos A 0时，得sin B 2sin A，由正弦定理得b 2a，a2b2ab 4，2 34 3联立方程组解得a，b 33b 2a，所以ABC的面积S 12 3 12 分absinC 2318.某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计结果如下表所示:周销售量频数220350430根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率;已知每吨该商品的销售利润为 2 千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.说明：本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分 12 分解析：（）周销售量为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2，0.5 和 0.33 分（）的可能值为 8，10，12，14，16，且P（=8）=0.22=0.04，P（=10）=20.20.5=0.2，P（=12）=0.52+20.20.3=0.37，P（=14）=20.50.3=0.3，P（=16）=0.32=0.09的分布列为810121416P0.040.20.370.30.099 分12 分E=80.04+100.2+120.37+140.3+160.09=12.4（千元）19.如图,在棱长为 1 的正方体ABCD ABCD中,AP BQ b(0 b 1),截面PQEF AD,截面PQGH AD.证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,并求出这个值;若DE与平面PQEF所成的角为45,求DEF与平面PQGH所成角的正弦值.APHDGCBAQDEBC说明：本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。满分12 分解法一：（）证明：在正方体中，AD AD，AD AB，又由已知可得PF AD，PH AD，PQAB，所以PH PF，PH PQ，所以PH 平面PQEF所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直 4分（）证明：由（）知HADCGBQMBECPN DAFPF 2AP，PH 2PA，又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形，且 PQ=1，所以截面 PQEF和截面 PQGH 面积之和是8 分(2AP2PA)PQ 2，是定值（III）解：连结 BC交 EQ 于点 M因为PH AD，PQAB，所以平面ABCD和平面 PQGH 互相平行，因此DE与平面 PQGH 所成角与DE与平面ABCD所成角相等与（）同理可证EQ平面 PQGH，可知EM平面ABCD，因此 EM 与DE的比值就是所求的正弦值设AD交 PF 于点 N，连结 EN，由FD 1b知DE(1b)22，ND 22(1b)22因为AD平面 PQEF，又已知DE与平面 PQEF 成45角，所以DE 2ND，即222(1b)(1b)2 2，22解得b 1，可知 E 为 BC 中点2322，又DE(1b)2，24所以 EM=故DE与平面 PQCH 所成角的正弦值为EM2 12 分DE6解法二：以 D 为原点，射线 DA，DC，DD分别为 x，y，z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz 由已知得DF 1b，故A(1，0，0)，A(1，0，1)，D(0，0，0)，D(0，0，1)，zP(1，0，b)，Q(11，b)，E(1b，1，0)，F(1b，0，0)，G(b，11)，H(b，0，1)（）证明：在所建立的坐标系中，可得DHAPDAFCGBQCBEyPQ (010)，PF (b，0，b)，PH (b101，b)，AD (101)，AD (10，1)x因为AD PQ 0，AD PF 0，所以AD是平面 PQEF 的法向量因为AD PQ 0，AD PH 0，所以AD是平面 PQGH 的法向量因为AD AD 0，所以AD AD，所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直4 分EF PQ，又PF PQ，所以PQEF（）证明：因为EF (0，10)，所以EF PQ，为矩形，同理 PQGH 为矩形在所建立的坐标系中可求得PH 所以PH PF 2(1b)，PF 2b，2，又PQ 1，所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为2，是定值8 分（）解：由已知得DE与AD成45角，又DE (1b，1，1)，AD(101，)可得DE ADDE ADb22(1b)222，2即2b(1b)22 121，解得b 12所以DE，1，1，又AD (10，1)，所以DE与平面 PQGH 所成角的正弦值为112 12 分|cos DE，AD|2362220.在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,3),(0,3)的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线y kx1与C交于A,B两点.写出C的方程;若OAOB,求k的值;若点A在第一象限,证明:当k 0时,恒有OA OB.说明：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分12 分解析：（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P 的轨迹 C 是以(0，3)，(03)为焦点，长半轴为 2 的椭圆它的短半轴b 222(3)21，y21故曲线 C 的方程为x 3 分4（）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足2y21，x 4y kx1.消去 y 并整理得(k24)x22kx3 0，故x1 x2 2k3，x x 5 分12k24k24若OAOB，即x1x2 y1y2 0而y1y2 k2x1x2k(x1 x2)1，33k22k2221 0，于是x1x2 y1y2 2k 4k 4k 42化简得4k 1 0，所以k 221 8 分222（）OA OB x1 y1(x2 y2)222(x1 x2)4(1 x121 x2)22 3(x1 x2)(x1 x2)6k(x1 x2)2k 43知x2 0，从而x1 x2 0又k 0，k24因为 A 在第一象限，故x1 0由x1x2 故OA OB 0，22即在题设条件下，恒有OA OB12 分21.在数列an,bn中,a1 2,b1 4,且an,bn,an1成等差数列,bn,an1,bn1成等比数列.求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测an,bn的通项公式,并证明你的结论;证明:11a1b1a2b215.anbn12说明：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力满分12 分解析：（）由条件得2bn anan1，an1bnbn12由此可得2 分a2 6，b29，a312，b316，a4 20，b4 25 猜测an n(n1)，bn(n1)2 4 分用数学归纳法证明：当 n=1 时，由上可得结论成立假设当 n=k 时，结论成立，即ak k(k 1)，bk(k 1)2，那么当 n=k+1 时，2akak1 2bkak 2(k 1)k(k 1)(k 1)(k 2)，bk12(k 2)2bk2所以当 n=k+1 时，结论也成立由，可知an n(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立7 分（）115a1b1612n2 时，由（）知anbn(n1)(2n1)2(n1)n 9 分故11111 111a1b1a2b2anbn622334n(n1)11111111622334nn111 11115622n16412综上，原不等式成立 12 分22.设函数f(x)ln xln xln(x1).1 x求f(x)的单调区间和极值;是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x)a的解集为(0,)?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.说明：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力满分14 分解析：（）f(x)1ln x11ln x 2 分x(1 x)(1 x)2xx1(1 x)2故当x(0，1)时，f(x)0，x(1，)时，f(x)0所以f(x)在(0，4 分1)单调递增，在(1，)单调递减 由此知f(x)在(0，6 分)的极大值为f(1)ln2，没有极小值（）（）当a0时，(1 x)ln(1 x)xln xln(1 x)xln(1 x)ln x 0，由于f(x)1 x1 x)故关于x的不等式f(x)a的解集为(0，10 分ln xln2n1 1 n（）当a 0时，由f(x)，其中n为ln1知f(2)ln 1nn1 x12x2正整数，且有nn1 a112 分ln1nn e21 n log2(e21)222ln2nnln2nln22ln 2又n2时，12n1(11)nn(n1)n12且2ln 2a4ln 2 n 1n12nn2取整数n0满足n0 log2(e 1)，n04ln 21，且n02，a则f(20)nn0ln21ln 1n12n020aa a，22)即当a 0时，关于x的不等式f(x)a的解集不是(0，)，且a的取综合（）（）知，存在a，使得关于x的不等式f(x)a的解集为(0，值范围为，14 分0