与直线和圆有关的最值问题理(解析版).pdf

圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题题型一有关定直线、定圆的最值问题例 1已知x，y满足x2y50，则(x1)(y1)的最小值为_破题切入点破题切入点直接用几何意义距离的平方来解决，另外还可以将直接用几何意义距离的平方来解决，另外还可以将x x2 2y y5 50 0 改写成改写成x x5 52 2y y，利用二次函数法来解决，利用二次函数法来解决22解析方法一(x1)(y1)表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方由已知可知点P在直线l：x2y50 上，所以PQ的最小值为点Q到直线l的距离，|1215|2 54222即d，所以(x1)(y1)的最小值为d.25512方法二由x2y50，得x52y，代入(x1)(y1)并整理可得924422222(52y1)(y1)4(y2)(y1)5y18y175(y)，所以可得最小值为.555题型二有关动点、动直线、动圆的最值问题例 2直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点当OAOB最小时，O为坐标原点，求l的方程破题切入点破题切入点设出直线方程，将设出直线方程，将OAOAOBOB表示出来，利用基本不等式求最值表示出来，利用基本不等式求最值2222解依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则y4k(x1)(k0)4令y0，可得A(1，0)；令x0，可得B(0,4k)kOAOB(1)(4k)5(k)5(k)549.kkk4所以，当且仅当k且k0)与圆xy4 交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|OAOB|AB|，那么3k的取值范围是_破题切入点破题切入点结合图形分类讨论结合图形分类讨论-1-3解析当|OAOB|AB|时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OAOB，AOB120，从而圆心O到3322直线xyk0(k0)的距离为 1，此时k 2；当k 2时，|OAOB|AB|，又直线与圆xy4 存在两交点，3故k2 2，综上，k的取值范围是 2，2 2)【总结提高】(1)主要类型：圆外一点与圆上任一点间距离的最值直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题两圆相离，两圆上点的距离的最值已知圆上的动点Q(x，y)，求与点Q的坐标有关的式子的最值，如求axby，位置关系(2)解题思路：数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解(3)注意事项：准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系；涉及切线段长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角形1 假设动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为_解析依题意知，AB的中点M的集合是与直线l1：xy70 和l2：xy50 距离都相等的直线，则M到原点的距|m7|离的最小值为原点到该直线的距离设点M所在直线的方程为l：xym0，根据平行线间的距离公式得2|m5|m7|m5|m6，即l：xy60，根据点到直线的距离公式，2|6|得M到原点的距离的最小值为3 2.22已知点M是直线 3x4y20 上的动点，点N为圆(x1)(y1)1 上的动点，则MN的最小值是_|342|9解析圆心(1，1)到点M的距离的最小值为点(1，1)到直线的距离d，故点N到点M的距离55-2-22axby等的最值，转化为直线与圆的cxdy4的最小值为d1.53已知P是直线l：3x4y110 上的动点，PA，PB是圆xy2x2y10 的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是_答案22232解析如下列图，圆的标准方程为(x1)(y1)1，圆心为C(1,1)，半径为r1.1根据对称性可知四边形PACB面积等于 2SAPC2PArPA，2故PA最小时，四边形PACB的面积最小，由于PAPC1，故PC最小时，PA最小，此时，直线CP垂直于直线l：3x4y110，故PC的最小值为圆心C到直线l：3x4y110|3411|1022的距离d2，所以PAPC1 2 1 3.故四边形PACB面积的最小值为 3.2253 44(2013江西改编)过点(2，0)引直线l与曲线y 1x相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最3大值时，直线l的斜率为_答案3111解析SAOBOAOBsinAOB sinAOB.2222当AOB时，SAOB面积最大此时O到AB的距离d.22设AB方程为yk(x 2)(k0)，即kxy 2kd2222|2k|k2123，得k.235过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|xy4分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_答案xy20解析由题意知，当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件圆心O与P点连线的斜率k1，所以直线OP垂直于xy20.y0，6已知x，y2y 4x，直线ymx2m和曲线y 4x2有两个不同的交点，它们围成的平面区2，1，则实数m的取值范围域为M，向区域上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，假设P(M)2是_答案0,1解析画出图形，不难发现直线恒过定点(2,0)，圆是上半圆，直线过(2,0)，(0,2)时，向区域上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，2此时P(M)，2当直线与x轴重合时，P(M)1，故直线的斜率范围是0,17在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为xy8x150，假设直线ykx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_-3-224答案3解析可转化为圆C的圆心到直线ykx2 的距离不大于 2.圆C的标准方程为(x4)y1，圆心为(4,0)由题意知(4,0)到kxy20 的距离应不大于 2，|4k2|即2.2k142整理，得 3k4k0，解得 0k.34故k的最大值是.38直线l过点(0，4)，从直线l上的一点P作圆C：xy2y0 的切线PA，PB(A，B为切点)，假设四边形PACB面积的最小值为 2，则直线l的斜率k为_答案2解析易知圆的半径为 1，因为四边形PACB的最小面积是 2，此时切线段长为 2，圆心(0,1)到直线ykx4 的距离为55，即 5，解得k2.21k9假设直线axby1 过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是_答案解析直线axby1 过点A(b，a)，1abab1.ab.2又OAab，以O为圆心，OA为半径的圆的面积为222222SOA2(a2b2)2ab，面积的最小值为.10 与 直 线xy 4 0 和 圆A：xy 2x 2y 0 都 相 切 的 半 径 最 小 的 圆C的 方 程 是_答案(x1)(y1)2解析易知所求圆C的圆心在直线yx上，故设其坐标为C(c，c)，又其直径为圆A的圆心A(1,1)到直线xy40 的距离减去圆A的半径，即62r 22 2r 2，2即圆心C到直线xy40 的距离等于 2，|2c4|故有 2c3 或c1，2结合图形当c3 时圆C在直线xy40 下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x1)(y1)2.11已知点P(x，y)是圆(x2)y1 上任意一点-4-22222222(1)求点P到直线 3x4y120 的距离的最大值和最小值；(2)求y2x1的最大值和最小值解(1)圆心C(2,0)到直线 3x4y120 的距离为d|324012|632425.所以点P到直线 3x4y120 的距离的最大值为dr611515，最小值为dr61515.(2)设ky2x1，则直线kxyk20 与圆(x2)2y21 有公共点，|3k2|k211，3 334k34，k3 33 3max4，kmin4.即y23 33 3x1的最大值为4，最小值为4.12(2014苏州模拟)已知圆M的方程为x2y22x2y60，以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴交于E，F两点，圆O内的动点D使得DE，DO，DF成等比数列，求DEDF的取值范围解(1)圆M的方程可整理为(x1)2(y1)28，故圆心M(1,1)，半径R2 2.圆O的圆心为O(0,0)，因为MO 22 2，所以点O在圆M内，故圆O只能内切于圆M.设圆O的半径为r，因为圆O内切于圆M，所以MORr，即 22 2r，解得r 2.所以圆O的方程为x2y22.(2)不妨设E(m,0)，F(n,0)，且mn.故E(2，0)，F(2，0)设D(x，y)，由DE，DO，DF成等比数列，得DEDFDO2，即x 22y2x 22y2x2y2，整理得x2y21.而DE(2x，y)，DF(2x，y)，所以DEDF(2x)(2x)(y)(y)x2y222y21.22由于点D在圆O内，故有xy2，x2y21，得y212，所以12y210，即即DEDEDFDF1,0)1,0)-5-