高二数学平面的基本性质.pdf
平面的基本性质平面的基本性质教学目标教学目标1、知识与能力：（1）巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论（2）能使用公理和推论进行解题2、过程与方法：（1）体验在空间确定一个平面的过程与方法；（2）掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。3、情感态度与价值观：培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生的审美能力和空间想象的能力。教学重点教学重点平面的三条基本性质即三条推论教学难点教学难点准确运用三条公理和推论解题教学过程教学过程一、问题情境问题 1：空间共点的三条直线能确定几个平面？空间互相平行的三条直线呢？问题 2：如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内？二、温故知新公理公理 1 1如果一条直线上的两点在一个平面内，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点那么这条直线上所有的点都在这个平面内都在这个平面内公理公理 2 2如果两个平面有一个公共点，如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，那么它们还有其它公共点，这些这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线公共点的集合是经过这个公共点的一条直线公理公理 3 3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面APQlP推论推论 1 1BC经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论推论 2 2经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面aCOOaabbba推论推论 3 3经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面公理公理 4 4（平行公理）（平行公理）平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行把以上各公理及推论进行对比：公理或推论公理 1图形语言PQa符号语言Pa,Qa a P,Q作用判定直线是否在平面内公理 2lPPPl判定两个平面是否相交公理 3ACB点 A,B,C 不共面点A,B,C确定一个平面确定一个平面推论 1CaC a 点 C 与直线确定一个平面a确定一个平面推论 2Obaa b O 直线a与确定一个平面直线 b 确定一个平面推论 3baa/b 直线 a 与直确定一个平面判断两线平行线 b 确定一个平面b公理 4ca/b,b/c a/ca三、数学运用基础训练：基础训练：（1 1）已知：Al,Bl,Cl,Dl；求证：直线AD、BD、CD共面DlABC证明：证明：Dl点D和直线l确定一个平面，记为.公理公理 3 3 推论推论 1 1D,l A,D,直线AD 平面公理公理 1 1同理可证，直线BD 平面,直线CD 平面直线 AD、BD、CD 共面【解题反思【解题反思 1 1】1 1。逻辑要严谨。逻辑要严谨2 2书写要规范书写要规范3 3证明共面的步骤：证明共面的步骤：（1 1）确定平面公理）确定平面公理 3 3 及其及其 3 3 个推论个推论（2 2）证线“归”）证线“归”面（线在面内如：面（线在面内如：a）公）公理理 1 1（3 3）作出结论。）作出结论。变式变式 1、如果直线两两相交，那么这三条直线是否共面？（口答）变式变式 2 2、已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定几个平面？变式变式 3 3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？（口答）（2 2）已知直线a、b、c满足：a/b,c a A,c b B；求证：直线a、b、c证明：证明：a/b直线a和直线b确定一个平面，记为.公理公理 3 3 推论推论 3 3a,b c a A,c b B Aa,Ac,Bb,Bc A,B,c 公理公理 1 1直线a、b、c共面提高训练：提高训练：已知abc，l条直线在同一平面内MNPcbaa M,lb N,lc P，求证：a,b,c,l四思路分析：思路分析：考虑由直线考虑由直线 a,ba,b 确定一个平面，确定一个平面，再证明直线再证明直线 c,lc,l 在此平在此平面上，但十分困难。因而可以开放思路，考虑确定两个平面，再证明面上，但十分困难。因而可以开放思路，考虑确定两个平面，再证明两个平面重合，问题迎刃而解。两个平面重合，问题迎刃而解。证明：证明：a/b直线a和直线b确定一个平面，记为.公理公理 3 3 推论推论 3 3c/b直线c和直线b确定一个平面，记为.公理公理 3 3 推论推论 3 3a,b,b,c l a M,l b N,l c PM a,M l,N b,Bl,Pc,PlM,N,N,Pl,l 公理公理 1 1因此，平面,同时经过两条相交直线a,b所以平面,重合。公理公理 3 3 推论推论 2 2直线a、b、c共面上面方法称为同一法上面方法称为同一法拓展训练拓展训练：如图，三棱锥 A-BCD 中，E、G 分别是 BC、AB 的中点，F在 CD 上，H 在 AD 上，且有DF:FC=DH:HA=2:3；求证：EF、GH、BD 交于一点渗透空间问题平面化思想AGHBECFD思路分析：思路思路分析：思路 1 1：开放思路，考虑三个平面，首先证明两条直线：开放思路，考虑三个平面，首先证明两条直线在一个面内，在一个面内，并且相交，并且相交，然后证明交点在两个平面上，然后证明交点在两个平面上，据公理据公理 2 2 知它知它在两面唯一的交线第三条直线上，因此证得三线共点。在两面唯一的交线第三条直线上，因此证得三线共点。证法证法 1 1：连接：连接GE、HF，因 E、G 分别是 BC、AB 的中点，故GE/AC因 DF:FC=DH:HA=2:3,故HF/CAHF/GE公理 4HF,GE共面，由上知，HF GEGH,EF相交，设交点为O,则0平面ABD,0平面ACD,所以0直线BD所以 EF、GH、BD 交于一点。思路思路 2 2：首先证明直线首先证明直线 GH、BD 交于一点 P,直线 EF、BD 交于一点 Q，然后证明两点 P、Q 重合，进而得出 EF、GH、BD 交于一点。证法法证法法 2 2：提示：提示：过点过点 H H 作作 HO,HO,使得使得HO/AB,交点为交点为 O O，连接连接 OFOF，证明证明FO/CB,延长延长 GH,EF,GH,EF,使它们与直线使它们与直线 BDBD 分别交于点分别交于点 P P、Q Q，由三角形相似可以得出，由三角形相似可以得出OP=OQ.OP=OQ.所以点所以点 P P、Q Q 重重合。合。链接生活：链接生活：在正方体木头中，试画出过其中三条棱的中点 P、Q、R 的平面截得木头的截面形状【解题反思【解题反思 2 2】1 1。逻辑要严谨。逻辑要严谨2 2书写要规范书写要规范3 3方法要掌握方法要掌握（1 1）证明共面的步骤：）证明共面的步骤：1 1）确定平面公理）确定平面公理 3 3 及其及其 3 3 个推论公理个推论公理 3 3及及 3 3 个推论个推论2 2）证线“归”）证线“归”面（线在面内如：面（线在面内如：a）公）公理理 1 13 3）作出结论。）作出结论。（2 2）证明共线的步骤：）证明共线的步骤：证所有点在第一个面内（如平面证所有点在第一个面内（如平面）公）公理理 1 1证所有点在第二个面内（如平面证所有点在第二个面内（如平面）公理公理 1 1结论结论 1 1：所有点在两个平面的交线上：所有点在两个平面的交线上结论结论 2 2：所有点共线公理：所有点共线公理 2 2（3 3）证明共点的步骤：）证明共点的步骤：1 1）证交于一个点公理）证交于一个点公理 3 3 及及 3 3 个推论个推论2 2）证此点在二个面内（如平面）证此点在二个面内（如平面,）公理公理 1 13 3）结论）结论 1 1：此点在两个平面的交线上：此点在两个平面的交线上公理公理 2 24 4）结论）结论 2 2：三条线共点：三条线共点四、回顾小结本节主要复习了平面三个公理和三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题五、课外作业(见所发的前置作业)反馈练习反馈练习 1.2.1平面的基本性质（2）1、经过同一直线上的 3 个点的平面（）A、有且只有 1 个 B、有且只有 3 个 C、有无数个 D、有 0 个2、若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）A、1 或 2 B、2 或 3 C、1 或 3 D、1 或2 或 33、与空间四点距离相等的平面共有（）A、3 个或 7 个 B、4 个或 10 个 C、4 个或无数个 D、7 个或无数个4、四条平行直线最多可以确定（）A、三个平面 B、四个平面 C、五个平面 D、六个平面5、四条 线段 首尾顺 次相 连，它们最 多可 确定 的平面 个数 有个6、给出以下四个命题：若空间四点不共面，则其中无三点共线；若直线l上有一点在平面外，则l在外；若直线a、b、c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；两两相交的三条直线共面其中所有正确的命题的序号是7 点P在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为（）AP l BPl CP l DPl 8下列推理，错误的是（）AAl,A,Bl,B l BA,A,B,B ABCl,Al ADA,B,C,A,B,C,且A,B,C不共线与重合9下面是四个命题的叙述语（其中A、B 表示点，a表示直线，表示平面）A,B AB A,BABAa,a AA,a Aa其 中 叙 述 方 法 和 推 理 过 程 都 正 确 的 命 题 的 序 号 是_10、已知 A、B、C 不在同一条直线上，求证：直线 AB、BC、CA 共面11、求证：如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一个平面内已知：直线a、b、l且ab，l求证：直线a、b、l共面ABlaba A，lb B；12、在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AA1与 CC1能否确定一个平面？为什么？点 B、C1、D 能否确定一个平面？为什么？画出平面 ACC1A1与平面 BC1D 的交线，平面 ACD1与平面 BDC1的交线D1A1C1B1DCAB13、两两相交且不共点的四条直线共面（注：有两种情形，见图，试分别证之）dO(1)abc(2)abcd
