专升本《高等数学》精选练习强化试卷13.pdf
专升本高等数学精选练习强化试卷 13一选择题一选择题（1）微分方程的通解是（C C ）xyxydxdytan（A）；（B）；（C）；（D）。Cxxysin1xCxysinCxxysinCxyxsin解：令，则，代入原方程得，uxyuxydxduxudxdyuudxduxutan，故原方程的通解为。xdxuducot1lnlnsinlnCxuCxusinCxxysin（2）若连续函数满足关系式，则等于（）。)(xf2ln)2()(20 dttfxfx)(xf（A）；（B）；（C）；（D）。2lnxe2ln2xe2lnxe2ln2xe解：，)(2)(xfxf0)(2)(xfxfxCexf2)(代入，得，。2ln)0(f2lnCxexf22ln)(二填空题二填空题（1）方程的通解为。dyeyydxxdyy2yyecyx 解：，。yyexydydx1ydyyydyyyecyCeyeex11（2）方程的通解为。321yxxyy12222xxyCxey解：原方程变形为，为伯努里方程.23xyyxdydx令，则有，1xzdydxxdydz23yyzdydz13Cdyeyezyydyydy22223Cdyeyeyy。)(2222222222222CdyeeyeCedyeyyyyy2222yCey即原方程的通解为。12222xxyCxey（3）微分方程，满足初始条件，的特解为02 yyy10 xy210 xy。12xy 解：，yyyy 1lnlnlnCyyyCy 代入初始条件，得。10 xy210 xy21C由，得，yy21dxydy222Cxy 代入初始条件，得，。10 xy12C12xy三解答题三解答题1求初值问题的解。0)0(0)(122xyxxdydxyxy解：原方程化为，进一步变形，化为，xyxydxdy222)(1xyxydxdy 令，则，代入原方程得uxyuxydxduxudxdy ，即，两端积分得：21 uudxduxuxdxudu21，12lnln 1 lnCxuu 从而，即，Cxuu 12222 Cxyxy 将初始条件代入代入，得，01xy1C 故初值问题的解为，化简为。222 xyxy21212xy（2）解方程.1(0),0)0(0)1(2yyyxyx解：令，则，yzyz 0)1(2xzzx 当时，即当时，有，012x),1()1,1()1,(xdxxxzdz21 两端积分得：，Cxzln1ln21ln221lnlnxCz211 xCz 由初始条件可知，应有，10 ,0)0()(yy)1 ,1(x 所以，把初始条件代入，得，故，211 xCz1(0)y11C211xyz ，再把初始条件代入，得，22arcsin11Cxdxxy0)0(y02C 故原初值问题的解为。1)1(,arcsinxxy（3）求方程满足初始条件，的特解。32yy 10 xy10 xy 解：令，则，原方程化为，zy dydzzy 32ydydzz 分离变量，积分之，得，即（负值舍去）。142Cyz14Cyz 代入初始条件，得，于是有。10 xy10 xy01C2ydxdyz 分离变量，积分之，得，21Cxy 再利用初始条件，得，故原方程的特解为。10 xy12Cxy11（4）求微分方程的一个解，使得由曲线与直0)2(dxyxxdy)(xyy)(xyy线，以及所围成的平面图形绕旋转一周的旋转体体积最小。1x2x轴 x轴 x解：原方程化为，12yxdxdy则。22221CxxCxxCdxeeydxxdxx由曲线与直线，以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转2Cxxy1x2x一周的旋转体体积为 dxxCCxxdxCxxCV2142322122)2()()(，)37215531(52132215243CCxCCxx 令，得12475C。0)215562()(CCV 又，故为唯一极小值点，也是最小值点。0562)(CV12475C 。212475)(xxxyy5已知，求满足关系式。存在)0(f)()()(1)()()(xfyfxfyfxfyxf的函数解：，得。0 yx令)0()0(1)0()0()0(fffff0)0(1)0(2ff0)0(fyxfyxfxfy)()(lim)(0yxfyfxfyfxfy)()()(1)()(lim0)()(1)()()(lim20yfxfyyfxfyfy)()(1)(1)(lim20yfxfyxfyfy)()(1)(1lim)(lim200yfxfxfyyfyy。)()(1)(1lim)0()(lim200yfxfxfyfyfyy)(1)0(2xff令，则有，)(xfy)1)(0(2yfdxdy分离变量得，两端积分得，dxfydy)0(12Cxfy)0(arctan代入，得，故，0)0(f0Cxfy)0(arctan从而，即。)0(tanxfy)0(tan)(xfxf四计算题四计算题 设平面图形D由所确定，试求D绕直线一周所xyxyx 222与旋转 2x生成的旋转体的体积。解法 1：由方程。22211 1)1(yxyx得dyyV10221)11(2dyyy1022212)2(12102102dyydyy.352)312(22dyxV1022)2(.37)81(3)2(31130 x.322373522221VVV解法 2：dxxxxxV1021)2)(2(2)2(2)2(2102102dxxxdxxxx32)1(1)2(2102dxxx321)1(2 1012dttttx令321)1(2102dttt32112102102dtttdtt32)1(3142120t.3223231422xy1o22 x1五证明题五证明题 且满足关系式上连续在设,),1 )(xf，),2 ,1()(,)(1)(142nnfxtftdtxfnx令.收敛证明数列nx证明：，0)(1)(42xfxxf上严格单调增加在),1)(xf，)1(1)1()(xfxf.)(严格单调增加从而Nnnfxnxtftdtxf142)(1)(xxttdt1arctan11112，414214arctan1x，。有上界nx必收敛故由单调有界原理知 ,nx
