小学数学奥数习题讲义《循环问题》.pdf

1第十三讲 循环小朋友们,你留意过循环问题吗?在日常生活中,有一些按照一定的规律不断重复出现的现象.如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断重复出现的.在数学中,也常会碰到一些重复出现的问题.在研究这些问题时,我们不仅要判断其不断重复出现的规律,也就是找出循环的固定数,而更重要的是看它的余数.如 1999 年元旦是星期五,2000 年元旦是星期几?因为1999 年是平年,有 365 天,3657=521,所以 2000 年的元旦是星期六.这就是根据 365 除以 7 所得的余数来判定的.那么,就让我们一起来看看怎么来解决这一类的问题.典型例题例1 流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红,再 4个黄,再 3 个绿,再 2 个黑,再 1 个白,然后又依次是 5 红,4 黄,3 绿,2黑,1 白像这样继续下去,到第 2003 个小球该涂什么颜色?分析 小木球涂色的次序是：“5 红,4 黄,3 绿,2 黑,1 白”,也就是每涂过“5 红,4 黄,3 绿,2 黑,1 白”循环一次,给小木球涂色的周期是 5+4+3+2+1=15.所以只要用 2003 除以 15,根据余数就可以判断球的颜色.解 200315=13382这就是说,第 1999 个小木球出现在上面所列一个周期中的第 8个,所以第 2003 个小球涂的是黄色.例2 有一列数：7,0,2,5,3,7,0,2,5,3,（1）第 81 个数是多少?（2）这 81 个数相加的和是多少?分析 （1）从排列可以看出这组数是按 7,0,2,5,3 依次重复排列的,那么一个循环周期就有 5 个数.（2）之和是 7+0+2+5+3=17.用每个循环各数之和可以循环次数再加上余下的各数,即可得到答案.解（1）815=161按照循环次序可知：第 81 个数为 7.（2）1716+7=279 所以这 81 个数相加的和为 279例3 假设所有自然数排列起来如下图所示,55 应排在哪个字母下面?248 应排在哪个字母下面?A B C D1 2 3 435 6 7 89 10 11 12.分析 从排列情况可知,这些自然数按从小到大 4 个数一个循环排列.要求这些数字排在哪个字母的下面,我们可以根据这些数除以 4 的余数来判断.解 554=133所以 55 排在第 3 个字母 C 的下面.2484=62所以 248 排在第 4 个字母 D 的下面.例4 如下图,8 个队员围成一圈做传球游戏,从1号开始,按照箭头方向向下一个人传球.在传球的同时按自然数数列报数.当报到96 时,球在几号队员手上?4分析 把 8 个队员看成一组,解法与例3相同.解 968=12所以报 96 时,球应在8号队员手上.例5 2003 个学生按下列方法编号排成 5 列：一 二 三 四 五1 2 3 4 59 8 7 6 10 11 12 1317 16 15 14 问：最后一位学生应站在第几列?分析 观察这些学生排列的情况可以看出,除 15 外,从第2 排起都是按 8 个数一个循环依次不断重复出现.因此,除以 8 余数为1、2、3、4、5、6、7、0 对应的列数应分别为四、三、二、一、二、三、四、五.解 （20035）8=2496因此,第 2003 个学生站在第3列.5小结 解决循环问题时,应把注重点放在以下几个方面：一、数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性.二、每几个数循环一次,周期长度是多少.三、每个循环节是按什么次序排列的.解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应.比如余数为 3,就找循环节里面的第 3 个状态.