小学数学知识点例题精讲《图形的分割》教师版.pdf

1几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外,还可以用图形分割的思想来做.我们发现,在迎春杯几何问题中,这类题目很多.掌握好这种思想方法,可以帮助我们解决很多几何难题.解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得,所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题.解题思想：这其实就是一种化整为零的思想,各位同学不仅要学会几何题中的这种方法,更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用.模块一、简单分割【例例 1】1】3 个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图),顶点 A 和 B 分别与正方形中心点重合,如果所构成图形的周长是 48 厘米,那么这个图形覆盖的面积是_平方厘米.【考点】图形的分割 【难度】2 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,中年级组,复试,4 题【解析】将这 3 个正方形分割,可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和,故正方形边长为488=6（厘米）,则图中每个分割得到的小正方形边长为 62=3（厘米）,所以这个图形覆盖的面积为 662+332=90（平方厘米）.【答案】90平方厘米【例例 2】2】正方形ABCD的面积是 1 平方米,将四条边分别向两端各延长一倍,连结八个端点得到一个正方形(如图),求大正方形的面积DCBA【考点】图形的分割 【难度】2 星 【题型】解答【解析】四条边分别向两端各延长一倍,很容易可以观察出,大正方形有 9 个小正方形组成,所以,大正方形的面积是：1 99(平方米)【答案】9平方米【例例 3】3】将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形,再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形,依此规律,继续下去,得到下图那么,边长为a的正方形面积是图中阴影部分面积的_ 倍.例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨4-2-4.4-2-4.图形的分割图形的分割2【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第 6 题,4 分【解析解析解析】阴影部分是大正方形的 0.50.50.50.5=116,所以正方形是阴影的 16 倍【答案】16倍【例例 4】4】正三角形ABC的面积是 1 平方米,将三条边分别向两端各延长一倍,连结六个端点得到一个六边形(如右图),求六边形的面积 CBA 【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】解答【解析】采用分割法,过A、B、C分别作平行线,得到右上图,其中所有小三角形的面积都相同,所以六边形面积等于 13 平方米【答案】13平方米【例例 5】5】正六边形ABCDEF的面积是 1 平方米,将六条边分别向两端各延长一倍,交于六个点,组成如下图的图形,求这个图形的面积FEDCBAFABCDE【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】解答【解析】采用分割法,连接正六边形的对角线,会发现,所有的三角形面积都相同,一共有 12 个小三角形,原来正六边形的面积是 1 平方米,由 6 个小三角形组成,所以现在的大图形的面积是：1 22(平方米)【答案】2平方米【例例 6】6】长方形 ABCD 的面积是 40 平方厘米,E、F、G、H 分别为 AC、AH、DH、BC 的中点.三角形 EFG 的面积是 平方厘米.HGFEDCBA【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,五年级,初赛,第 3 题【解析解析解析】1140524 （平方厘米）【答案】5平方厘米【例例 7】7】把同一个三角形的三条边分别 5 等分、7 等分(如图 1,图 2),然后适当连接这些等分点,便得到了若干个面积相等的小三角形已知图 1 中阴影部分面积是 294 平方分米,那么图 2 中阴影部分的面3积是_平方分米 1 2【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空【解析】图 1 中阴影部分占整个三角形面积的1225,图 2 中阴影部分占整个三角形面积的1649,故图 2 中阴影部分的面积为 29412162549=200(平方分米)【答案】200平方分米【例例 8】8】右图中的大正方形 ABCD 的面积是 1,其它点都是它所在的边的中点.请问：阴影三角形的面积是多少?ABCD【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】华杯赛,初赛,第 6 题【解析】图中有大、中、小三个正方形,每个面积是前一个的12,所以小正方形面积是14,将小正方形各顶点标上字母如右图,很容易看出三角形 JFG 面积三角形 IHG 面积14正方形 EFGH 面积,三角形EJI 面积14三角形 EFH 面积18正方形 EFGH 面积.所以阴影三角形 JGI 面积(1141418)小正方形面积38小正方形面积332.【答案】332【例例 9】9】下图中有四条弦,每一条弦都把大圆分割成两个面积比为 1:3 的区域,而且这些弦的交点恰好是一个正方形的四个顶点.这些弦把圆分割成 9 个区域,则此正方形的面积是区域 P 面积的 倍.（3.14）P【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,6 年级,第 1 题【解析解析解析】去掉两边的弓形之后,中间部分面积是整个圆的一半,横竖两块中间部分面积和就等于圆面积,所以重叠部分面积等于 4 个 P 面积的和.即正方形面积是 P 的 4 倍.【答案】4模块二、化整为零4【例例 10】10】在图中,三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形,其中 DF 长 9 厘米,CF 长 3 厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?FEDCBA【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】解答【解析】方法一：如图,将原题中图形分为 12 个完全一样的小等腰三角形ABC 占有 9 个小等腰三角形,其中阴影部分占有 6 个小等腰三角形,ABCS=992=40.5(平方厘米),所以阴影部分的面积为40.596=27(平方厘米)HIGABCDEF方法二：如图,连接 IG,有四边形 ADGI 为正方形,易知 FG=FC=3(厘米),所以 DG=DF-FG=9-3=6(厘米),于是 SHIGSA=14AIGDS正方形=1426=9.而四边形 IGFB 为长方形,有 BF=AD=DG=6(厘米),GF=3(厘米),所以IGFBS长方形=63=18阴影部分面积为 A HIG 与长方形 IGFB 的面积和,即为 9+18=27(平方厘米)GIHABCDEF方法三：如图,为了方便叙述,将图 6-10 中某些交点标上字母GIHABCDEF易知三角形 BIE、CGF、AIH、DGH 均为等腰直角三角形先求出等腰直角三角形 AHI、CGF 的面积,再用已知的等腰三角形 ABC 的面积与其作差,即为需求阴影部分的面积有 SABC=DEFS=12EFDF=812,CGFSA=12CFFG=92因为 CF=FG=3,所以 DG=DF-FG=6如图,可以将 4 个三角形 DGH 拼成一个边长为 DG 的正方形HDG5所以,ACDSDGHS=14DGDG=9,而AIHS=DGHS=9,所以BFGHIS阴影=SABC-CGFS-AIHS=812-92-9=27(平方厘米)即阴影部分的面积为 27 平方厘米【答案】27平方厘米【例例 11】11】正方形 ABCD 与等腰直角三角形 BEF 放在一起（如图）,M、N 点为正方形的边的中点,阴影部分的面积是 14cm2,三角形 BEF 的面积是_ cm2.NMFEDCBA【考点】图形的分割 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,四年级,初赛,第 8 题【解析解析解析】因为 M、N 是中点,故我们可以将该图形进行分割,所得图形如下ABCDEFMN图形中的三角形面积都相等,阴影部分由 7 个三角形组成,且其面积为 14 平方厘米,故一个三角形的面积为 2 平方厘米,那么三角形 BEF 的面积是 18 平方厘米.【答案】18平方厘米【例例 12】12】一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放,、这三块的面积分别是 2、8、58,则、这两块的面积差是 【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,五年级,初赛,7 题【解析解析解析】由于的面积是的 4 倍,所以可以把分成 4 倍的,而两个为一个方格,一个方格的面积为224根据58260,则与一共是60415格,所以与是3 5的长方形所以正方形边长是的直角边长的 5 倍,等腰直角三角形直角边长是的直角边长的 7 倍,则的格数为 8 格,的格数为 10 格,、这两块的面积差是1082(格),1 格的面积为 4,所以、这两块的面积差为428【答案】8【例例 13】13】如图 4,在长方形ABCD中,E、F、G分别是BC、CD、DA上的点,且使得四边形AEFG是直角梯形,45GAE,2 3 GFAE如果梯形AEFG的面积是15平方厘米,那么长方形ABCD的面积是 平方厘米6EFGDCBA【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,高年级组,初试,9 题【解析解析解析】这是一道几何问题,重点考察同学们对等腰直角三角形性质的认识方法一：在长方形ABCD中,由于四边形AEFG是直角梯形,45GAE,可知45 DGFDFGCFEFECEABBEA,所以,DGF、CEF、ABE都是等腰直角三角形故可将长方形ABCD分割,如图 6：ABCDGFE显然,10梯形CEFAEFGSS,24ABCDCEFSS,2410ABCDS24153610梯形AEFGS平方厘米方法二：在直角梯形AEFG中,AEGF,由45GAE,可知45GDF,因为直角三角形GDF 与ABE的斜边2 3 GFAE,所以直角边2 3 DFAB,故1 3 FCAB于是,2 1 3 DF FCAB,4 1 9DFGCEFABESSS连结DE,则3DECFECSS,12DECAEBABCDSSS,24ABCDCEFSS,101024梯形CEFABCDAEFGSSS,所以242415361010梯形ABCDAEFGSS平方厘米【答案】36平方厘米【例例 14】14】一个长方形和一个等腰直角三角形如图放置,图中六块的面积分别为 1,1,l,l,2,3大长方形的面积是 111123【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】走美杯,5 年级,决赛,第 3 题,8 分【解析解析解析】面积为 2 的部分可以划分为两个单位三角形,并可观察出,空白部分可以划分为 14 个单位三角形.所以,大长方形的面积为 1+1+14+3=19.【答案】19【例例 15】15】如右图,一个面积为 2009 平方厘米的长方形,被分割成了一个长方形、两个等腰直角三角形、三个梯形已知除了阴影长方形外,其它的五块面积都相等,且 B 是 AC 的中点;那么阴影长方形的面积是 平方厘米ACB7【考点】图形的分割 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,五年级,初赛,7 题【解析解析解析】方法一：设等腰直角三角形的腰长为a,那么等腰直角三角形的面积为22a因为B是AC的中点,那么可以判断三个梯形的高都是2a这样每个梯形的两底之和为22222aaa,其中左右两个梯形,上底比下底短2a,可求得左右两个梯形的上底为34a,下底为54a上边的梯形,上底比下底短a,可求得上边的梯形上底长为2a,下底长32a所以长方形的宽为3744aaa,长为522aaaa所以大长方形的面积为27535428aaa,而阴影长方形的面积为2158a,所以阴影长方形的面积为3515200986188方法二：利用图形分割如下图知道左右两个角上的直角三角行可以分割为四个小直角三角行看做 4份,因为两个等腰直角三角形、三个梯形的面积相等,所以这五部分共可以看作 20 份,长方形的面积可以看作 15 份,所以整个图形被2015=35（份）,那么阴影长方形的面积是200935 15=861（平方厘米）【答案】861平方厘米【例例 16】16】如图中正六边形的面积为 24,其中 A、B、C 都是所在边的中点,D 是 BC 的三等分点,阴影部分的面积是_.DABC【考点】图形的分割 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,4 年级,第 7 题【解析解析解析】5 在格点图中,每个小三角形的面积是1,可以数出阴影外面的部分 19,那么阴影部分的面积是5.【答案】5【例例 17】17】正六边形 A1A2A3A4A5A6 的面积是 2009 平方厘米,B1,B2,B3,B4,B5,B6 分别是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是平方厘米8B1B6B5B4B3B2A2A6A5A4A3A1【考点】图形的分割 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,六年级,初赛,14 题【解析解析解析】如图,设62B A与13B A的交点为O,则图中空白部分由6个与23A OA一样大小的三角形组成,只要求出了23A OA的面积,就可以求出空白部分面积,进而求出阴影部分面积.OB3B1B2B4B5B6A2A3A6A5A4A1连接63A A、61B B、63B A设116AB B的面积为“1”,则126B A B面积为“1”,126A A B面积为“2”,那么636A A B面积为126A A B的2倍,为“4”,梯形1236A A A A的面积为224212,263A B A的面积为“6”,123B A A的面积为2根据蝴蝶定理,126326131 6B A BA A BBOA OSS,故21233612167A OAB A ASS,所以231236A A A A121277A OASS梯形1,即23A OA的面积为梯形1236A A A A面积的17,故为六边形123456A A A A A A面积的114,那么空白部分的面积为正六边形面积的136147,所以阴影部分面积为32009111487(平方厘米).方法二：分割如下图：整个图形被分成7个小的正六边形,每个面积为20097=287,根据下图知道,阴影部分是由一个小正六边形和六个半个小六边行组合而成,合计为 4 个小六边形,面积是2874=1148（平方厘米）【答案】1148平方厘米【例例 18】18】如右图,长方形 ABCD 中被嵌入了 6 个相同的正方形已知 AB=22 厘米,BC=20 厘米,那么每一个正方形的面积为 平方厘米DCBA【考点】图形的分割 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,五年级,初赛,15 题9【解析解析解析】将所有的正方形按照弦图进行分割如图：设每个小直角三角形的长直角边长为a,短直角边长为b,那么根据大长方形的长宽可列出方程组：3222320abab,解得62ab,所以每个小正方形的面积为222622 6 22640 平方厘米DCBA【答案】40平方厘米