判定平行四边形的五种方法.pdf

判别平行四边形的根本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形判别例 1如图 1,在平行四边形 ABCD 中,E、F 在对角线 AC 上,且 AE=CF,试说明四边形 DEBF 是平行四边形.分析:由于条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判别.为此,需连接 BD.解：连接 BD 交 AC 于点 O.因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 AO=CO,BO=DO.又 AE=CF,所以 AO-AE=CO-CF,即 EO=FO.所以四边形 DEBF 是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形判别例 2如图 2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为 1 个单位长度，那么图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判别.解：设 每 根 木 棒 的 长 为1个 单 位 长 度，那 么AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形 ABCF 是平行四边形.同样可知四边形 FCDE、四边形 ACDF 都是平行四四边形.因为 AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形 ABDE 也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判别例 3如图 3，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AE=CF,DF=BE,DFBE，试说明四边形 ABCD 是平行四边形.分析:题目给出的条件都不能直接判别四边形 ABCD 是平行四边形，但仔细观察可知，由条件可得ADFCBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等 的条件.解：因为 DFBE，所以AFD=CEB.因为 AE=CF,所以 AE+EF=CF+EF，即 AF=CE.又 DF=BE,所以ADFCBE，所以 AD=BC，DAF=BCE，所以 ADBC.所以四边形 ABCD 是平行四边形.仅供学习参考AEDOBF图 1CAFEBCD图 2DCEFAB图 3四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形判别例 4如图 4，在平行四边形 ABCD 中，DAB、BCD的平分线分别交 BC、AD 边于点 E、F，那么四边形 AECF 是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得 AFEC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故此题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判别.解：四边形 AECF 是平行四边形.理由：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ADBC，DAB=BCD，所以 AFEC.又因为1=A1F3DB2EC图 411DAB，2=BCD，22所以1=2.因为 ADBC，所以2=3，所以1=3，所以 AECF.所以四边形 AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：1 证两组对边分别平行；2证两组对边分别相等；3证一组对边平行且相等；4证对角线互相平分；5证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、两组对边分别平行如图 1，ABC 是等边三角形，D、E 分别在边 BC、AC上，且CD=CE，连结DE 并延长至点 F，使EF=AE，连结 AF、BE 和 CF仅供学习参考BDAFEC图 1(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形 ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。解：1选证BDEFEC证明：ABC 是等边三角形，BC=AC，ACD=60CD=CE，BD=AE，EDC 是等边三角形DE=EC，CDE=DEC=60BDE=FEC=120又EF=AE，BD=FE，BDEFEC2四边形 ABDF 是平行四边形理由：由1知，ABC、EDC、AEF 都是等边三角形CDE=ABC=EFA=60ABDF，BDAF四边形 ABDF 是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。二、一组对边平行且相等例2：如图 2，在正方形 ABCD 中，G 是 CD 上一点，延长 BC 到 E，使 CE=CG，连结 BG 并延长交 DE于 F(1)求证：BCGDCE；(2)将DCE 绕点 D 顺时针旋转 90得到DAE，判断四边形 EBGD 是什么特殊四边形？并说明理由。分析：2由于ABCD 是正方形，所以有ABDC，又通过旋转 CE=AECE=CG，所以 EA=CG，这样就有 BE=GD，可证 EBGD 是平行四边形。解：1ABCD 是正方形，BCD=DCE=90又CG=CE，BCGDCE2DCE 绕 D 顺时针旋转 90得到DAE，CE=AE，CE=CG，CG=AE，四边形 ABCD 是正方形BEDG，AB=CDAB-AE=CD-CG，即 BE=DG四边形 DEBG 是平行四边形仅供学习参考点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3如图 3 所示，在ABC 中，分别以 AB、AC、BC为边在 BC 的同侧作等边ABD，等边ACE，等边BCF。求证：四边形 DAEF 是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形 DAEF 的两组对边分别相等，从而四边形DAEF 是平行四边形。解：ABD 和FBC 都是等边三角形DBF+FBA=ABC+FBA=60DBF=ABC又BD=BA，BF=BCABCDBFAC=DF=AE同理ABCEFCAB=EF=AD四边形 ADFE 是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。四、对角线互相平分例 4：如图 4，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，AEBD 于 E，BFAC 于 F，CGBD 于 G，DHAC 于 H，求证：四边形 EFGH 是平行四边形。图 4分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH 的对角线有关，假设能证出OE=OG，OF=OH，那么问题可获得解决。仅供学习参考证明：AEBD，CGBD，AEO=CGO，AOE=COG，OA=OCAOECOG，OE=OG同理BOFDOHOF=OH四边形 EFGH 是平行四边形点评：当条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、两组对角相等例 5将两块全等的含 30角的三角尺如图 1 摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗？理由。(1)如图 2，将 RtBCD 沿射线 BD 方向平移到RtB1C1D1的位置，四边形 ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：。分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解：1四边形 ABCD 是平行四边形，理由如下：ABC=ABD+DBC=30+90=120，ADC=ADB+CDB=90+30=120又A=60，C=60，ABC=ADC，A=C2四边形 ABC1D1是平行四边形，理由如下：将 RtBCD 沿射线方向平移到 RtB1C1D1的位置时，有 RtC1BB1RtADD1C1BB1=AD1D，BC1B1=DAD1有C1BA=ABD+C1BB1=C1D1B1+AD1B=AD1C1，BC1D1=BC1B1+B1C1D1=D1AD+DAB=D1AB仅供学习参考所以四边形 ABC1D1是平行四边形点评：2也可这样证明：由1知ABCD 是平行四边形，ABCD，将RtBCD 沿射线 BD 方向平移到 RtB1C1D1的位置时，始终有 ABC1D1，故 ABC1D1是平行四边形。=判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形这局部内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边关系思路 1：证明两组对边分别相等例 1如图 1 所示，在ABC 中，ACB90，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E，F 在 DE 上，并且AFCE.求证：四边形 ACEF 是平行四边形.证明：DE 是 BC 的垂直平分线，DFBC，DB=DC.FDB=ACB=90.DFAC.CE=AE=BE31AB.2F1=2.又EFAC，AF=CE=AE，2=1=3=F.ACEEFA.AC=EF.四边形 ACEF 是平行四边形.思路 2：证明两组对边分别平行仅供学习参考D2A1C图 1例 2：如图2，在ABC 中，ABAC，E 是 AB 的中点，D 在 BC 上，延长 ED 到 F，使 ED=DF=EB.连结 FC.求证：四边形 AEFC 是平行四边形.A证明：ABAC，B=ACB.ED=EB，B=EDB.EACB=EDB.EFAC.BCE 是 AB 的中点，BD=CD.DEDB=FDC，ED=DF，FEDBFDC.DEB=F.ABCF.四边形 AEFC 是平行四边形.思路 3：证明一组对边平行且相等例 3如图 3，平行四边形 ABCD 中，E、F分别是 AB、CD 上的点，AE=CF，M、N 分别是 DE、BF 的中点.求证：四边形 ENFM 是平行四边形.证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC，A=C.又AE=CF，ADECBF.FD1=2，DE=BF.C2M、N 分别是 DE、BF 的中点，NMEM=FN.13DCAB，3=2.ABE1=3.EM FN.四边形 ENFM 是平行四边形.二、考虑“对角关系思路：证明两组对角分别相等A例 4如图 4，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AD、BC 的中点.求证：1ABECDF；2四边形 BFDE 是平行四边形.证明：1 在正方形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，A=CB=90，AE=13E42FD图 4C11AD，CF=BC，22AE=CF.ABECDF.2由1ABECDF 知，1=2，3=4.BED=DFB.仅供学习参考在正方形 ABCD 中，ABC=ADC，EBF=EDF.四边形 BFDE 是平行四边形.三、考虑“对角线的关系思路：证明两条对角线相互平分例 5如图 5，在平行四边形ABCD 中，P1、P2是对角线BD 的三等分点.求证：四边形 AP1CP2是平行四边形.证明：连结 AC 交 BD 于 O.四边形 ABCD 是平行四边形，AOA=OC，OB=OD.OP2P1BP1=DP2，OP1=OP2.四边形 AP1CP2是平行四边形.BCD图 5平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的根本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的根底。识别平行四边形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件总结如下。1 利用定义或定理直接识别平行四边形1.1 两组对边分别平行，如图1,ABCD,ADBC。1.2 两组对边分别相等，如图1,AB=CD,AC=BC。1.3 两组对角分别相等，如图 1,ABC=ADC,BAD=BCD。1.4 一组对边平行且相等，如图1,ABCD,AB=CD。1.5 两条对角线互相平分，如图1,OA=OC,OB=OD。2 利用定义和定理间接识别平行四边形2.1一 组 对 边 平 行 且 一 组 对 角 相 等，如 图1,ABCD,ABC=ADC。证明：ABCDABC+BCD=180又ABC=ADCADCBCD180 ADBC四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行)2.2 一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图1,ABCD，OA=OC。证明：ABCDBAC=DCA在AOB 和COD仅供学习参考AODB图1C中，BAC=DCA，OA=OC，AOB=CODAOBCOD(ASA)AB=CD四边形 ABCD 是平行四边形一组对边平行且相等2.3 两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，如图 1,DAB+ABC=180,ABC+BCD=180。证 明：DAB+ABC=180ADBC又ABC+BCD=180ABCD四边形 ABCD 是平行四边形两组对边平AD行3 不能识别为平行四边形CB3.1 两组不同的邻角互补，图2如图 2,A+B=180,C+D=180,可以画出梯形。3.2 识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对边D对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。两组邻边相等，如图 3,AB=AD,CB=CD,不一定是平行四边形。AACD两对邻角相等，如图 4,A=D,B=C,可以画出等腰梯形。B3.3 一组对边平行且另一组对边相等，BC如图 4,ADBC,AB=CD,也可以画出等腰梯形。图4图33.4 一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形。反例作图方法,如图 5：作ABC,在边 BA 上确定点A,在边 BC 上确定点 C,过点 A、B、C 作O1,以点 C 为O1AB圆心，以线段 AB 长为半径作C,以 AC 为弦作O1 的等D圆O2,交C 于 D、E 两点，那么四边形 ABCD 为平行四CO2边形，而四边形 ABCE 即为符合条件的非平行四边形，即EAB=CE,ABC=AEC。3.5 一组对边相等，对角线交点平分一条对角线，不一定是平行四边形。反例作图方法,如图 6：图5作线段 AB,过线段 AB 的中点 O 作直线 CD,A过点 B 作 BECD,垂足为 E,以点 E 为圆心，小CFEG于线段 OE 的长为半径作E,交 CD 于 F、G 两点，OHDI以点 A 为圆心，BF 长为半径作A,交直线 CDB图6于 H、I 两点，那么四边形 AGBH 和四边形 AFBI为平行四边形，而四边形 AGBI 和四边形 AHBF 即为符合条件的非平行四边形，如在四边形AGBI 中，AI=BG,OA=OB。仅供学习参考说明一个四边形是平行四边形的思路山东于秀坤平行四边形是最根本、最重要的一类特殊四边形如何说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过以下的思路进行说明一、当条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例 1 如图 1，在ABC 中，AD 是角的平分线，DE/AC 交AB 于点 E，EF/BC 交 AC 于点 F，试说明 AE=CF图 1分析：由 AD 是角的平分线，可知1=2，由 DE/AC，可知2=3，所以1=3，即可得AE=ED，要说明AE=CF，可转化为说明 ED=EC，因此，只需说明四边形 EDCF 是平行四边形就可以了仅供学习参考解：因为1=2，2=3，所以1=3，所以 AE=ED，又因为 DE/AC，EF/BC，所以四边形 EDCF 是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形 所以 ED=CF，所以 AE=CF二、当条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两组对角分别相等的四边形是平行四边形例 2 如图 2，AE、CF 分别是ABCD 的内角DAB、BCD 的平分线，试说明四边形AECF 是平行四边形图 2解：在ABCD 中，因为DAB=BCD，又因为1=11DAB，2=BCD，22所以，1=2，因为 AB/CD，所以3=1，4=2，所以3=4，所以5=6，所以四边形 AECF 是平行四边形三、当条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形例 3 如图 3，在ABCD 中，AC、BD 相交于 O，EF 过 O分别交 AD、BC 于 E、F，GH 过 O 分别 AB、CD 交于 G、H 试说明四边形 EGFH 是平行四边形图 3解：在ABCD 中，因为 AB/CD，所以1=2，因为 OA=OC，3=4，所以AOGCOH，所以OG=OH，同理 OE=OF，仅供学习参考所以四边形 EGFH 是平行四边形构造平行四边形解题山东邹殿敏平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分许多几何问题可以通过添加辅助线，构造平行四边形加以解决一、求线段的长例如图 1，在正ABC 中，P 为边 AB 上一点，Q 为边AC 上一点，且AP=CQ今量得A 点与线段 PQ 的中点 M 之间的距离是 19cm，那么 P 点到 C 点的距离等于cm分析：作 QD/AB，交 BC 于点 D，连接 PD，MD 由ABC为正三角形，易知 BP=BD，AP=DQ，所以四边形 APDQ 为平行四边形所以 AMD 是平行四边形 APDQ 的对角线所以AD=2AM=219=38cm 由ABDACBP 可得 PC=AD所以 PC=38cmQMADPBDCEBC图 1二、证明线段相等问题图 2例 2 如图 2，在梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=CD，延长CB 到 E，使 EB=AD，连接 AE求证：AE=AC分析：连接BD 由AD与BE平行且相等，易知四边形AEBD是平行四边形，所以 BD=AE因为 AC=BD，所以 AE=AC仅供学习参考三、证明线段和差问题例 3 如图 3，ABC 中，D，F 是 AB 边上两点，且 AD=BF，作 DE/BC，FG/BC，分别交 AC 于点 E，G 求证：DE+FG=BC分析：作 GH/AB 交 BC 于点 H那么四边形 BHGF 是平行四边形所以 GH=BF=AD，FG=BH因为 DE/BC，GH/AB，所以1=C，A=2 所以ADEGHC 所以 DE=HC 因为 BH+CH=BC，所以 DE+FG=BCAD1 EFGAD2OBHCG图 3BFC四、证明线段倍分问题例 4 如图 4，E 为平行四边形 ABCD 中 DC 边的延长线上一点，且 CE=DC，连接 AE，分别交 BC，BD 于点 F，G，连E接 AC 交 BD 于 O，连接 OF试说明：AB=2OF图 4分析：连接 BE易知四边形 ABEC 为平行四边形由“平行四边形的对角线互相平分这一性质可得BF=CF，AO=OC，所以 OF 为CAB 的中位线，从而得出AB=2OF五、证明两直线平行问题例 5 如图 5，ABC 中，E，F 分别是 AB，BC 边的中点，M，N 是 AC 的三等分点，EM，FN 的延长线交于点 D求证：AB/CD分析：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 BM，BN由 AE=BE，AM=MN 可得 ED/BN；由BF=CF，MN=NC 可得 BM/FD所以四边形 BMDN 是平行四边形所以OB=OD，OM=ON所以 OA=OC由此可得出四边形ABCD 是平行四边形所以 AB/CD仅供学习参考ADMEONEFN1 MA3HGBFC图 52BDC图 6六、证明两直线垂直问题例 6 如图 6，分别以ABC 的边 AB，AC 为一边在三角形外作正方形 ABEF 和 ACGH，M 为 FH 的中点 求证：MABC分析：设 MA 的延长线交 BC 于点 D，延长 AM 至点 N，使MN=AM，连接 FN，HN那么四边形 AHNF 为平行四边形所以FN=AH=AC，AFN+FAH=180因为BAC+FAH=180，所以AFN=BAC因为AF=AB，所以AFNBAC所以1=2因为1+3=90，所以2+3=90，所以ADB=90 从而得出 MABC仅供学习参考