北京市西城区高三上学期期末考试数学文科试题含答案.pdf

高三数学（文科）第卷第卷（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1集合A xR R|0 x 1，B xR R|(2x1)(x1)0，则A（A）(0,)（C）(,1)2复数B（）12（B）(,1)121(0,)2（D）(,1)1(,1)25i（）2i（B）1 2i（C）1 2i（D）1 2i（A）1 2i3执行如图所示的程序框图，则输出S（）（A）2（B）6（C）15（D）314函数f(x)（A）01ln x的零点个数为（）x（B）1（C）2（D）35某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）（A）5 3（B）2 3（C）5 32 3（D）33MB(A，6 过点M(2,0)作圆x2 y21的两条切线MA，则MAMB（）B为切点)，5 3（A）2（B）523 3（C）2（D）327设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn则“|q|（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件2”是“S6 7S2”的（）（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件8已知函数f(x)的定义域为R R若常数c 0，对xR R，有f(xc)f(xc)，则称函数f(x)具有性质P给定下列三个函数：3f(x)|x|；f(x)sin x；f(x)x x其中，具有性质P的函数的序号是（）（A）（B）（C）（D）第卷第卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知向量a a (1,3)，b b (m,2m1)若向量a a与b b共线，则实数m _10平行四边形ABCD中，E为CD的中点若在平行四边形ABCD内部随机取一点M，则点M取自ABE内部的概率为_x2y21的渐近线方程为_；离心率为_11双曲线364512若函数f(x)13已知函数f(x)sin(x若f(x)的值域是214 设函数f(x)x 6x5，集合A(a,b)|f(a)f(b)0，且f(a)f(b)0 在log2x,x 0,是奇函数，则g(8)_g(x),x 0)，其中x,a当a 时，f(x)的值域是_；3261,1，则a的取值范围是_2直角坐标系aOb中，集合A所表示的区域的面积为_三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cos2B cos B 0（）求角B的值；（）若b 7，a c 5，求ABC的面积16（本小题满分 13 分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重经统计，这批学生的体重50)，第 2数据（单位：千克）全部介于45至70之间将数据分成以下5组：第 1 组45，55)，第 3 组55，60)，第 4 组60，65)，第 5 组65，70，得到如图所示的频率分组50，布直方图现采用分层抽样的方法，从第3，4，5 组中随机抽取 6 名学生做初检（）求每组抽取的学生人数；（）若从 6 名学生中再次随机抽取2 名学生进行复检，求这2 名学生不在同一组的概率17（本小题满分 14 分）如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC，AC BC CC1 2，M，N分别为AC，B1C1的中点（）求线段MN的长；（）求证：MN/平面ABB1A1；（）线段CC1上是否存在点Q，使A1B 平面MNQ？说明理由18（本小题满分 13 分）已知函数f(x)x，其中bR R2x b（）若x 1是f(x)的一个极值点，求b的值；（）求f(x)的单调区间19（本小题满分 14 分）x2y2如图，A，B是椭圆221(a b 0)的两个顶点|AB|5，直线AB的斜ab率为12（）求椭圆的方程；（）设直线l平行于AB，与x,y轴分别交于点M,N，与椭圆相交于C,D 证明：OCM的面积等于ODN的面积20.已知数列an是等差数列，数列bn是公比大于零的等比数列，且a1=b1=2，a3=b3=8（）求数列an和bn的通项公式；（）记 cn=abn，求数列cn的前 n 项和 Sn20（本小题满分 13 分）如图，设A是由nn个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i,j 1,2,3,n)表示位于第i行第j列的实数，且aij1,1记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合对于AS(n,n)，记ri(A)为A的第i行各数之积，cj(A)为A的第j列各数之积令l(A)ri(A)cj(A)i1j1nn（）对如下数表AS(4,4)，求l(A)的值；（）证明：存在AS(n,n)，使得l(A)2n4k，其中k 0,1,2,（）给定n为奇数，对于所有的AS(n,n)，证明：l(A)0,n；北京市西城区 2012 2013 学年度第一学期期末高三数学（文科）（文科）参考答案及评分标准2013.12013.1一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.1B；2A；3C；4B；5C；6D；7A；8B二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分.91；10135x，；11y 222123；131,1，,；14423注：注：1111、1313 题第一空题第一空 2 2 分，第二空分，第二空 3 3 分分.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共6 6 小题，共小题，共 8080 分分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分准给分.15（本小题满分 13 分）（）解：由已知得2cos BcosB1 0，2 分即(2cos B1)(cosB1)0解得cosB 21，或cos B 14 分2因为0 B ，故舍去cos B 15 分所以B 6 分3222（）解：由余弦定理得b a c 2accosB8 分将B 2，b 7代入上式，整理得(ac)3ac 73因为a c 5，所以ac 611 分所以 ABC的面积S 16（本小题满分 13 分）13 313 分acsin B 22（）解：由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3:2:1 2 分所以，每组抽取的人数分别为：第3组：3216 3；第4组：6 2；第5组：6 1666所以从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生5 分4215（）解：记第3组的3位同学为A1，A2，A3；第组的位同学为B1，B2；第 组的 位同学为C6 分则从6位同学中随机抽取 2 位同学所有可能的情形为：(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C),(B1,B2),(B1,C),(B2,C)，共15种可能10 分其中，(A1,B1),(A1,B2),(A1,C),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C),(B1,C),(B2,C)这 11 种情形符合 2 名学生不在同一组的要求12 分故所求概率为P 17（本小题满分 14 分）（）证明：连接CN因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，1 分所以AC CC12 分因为AC BC，所以AC 平面BCC1B13 分因为MC 1，CN CC1C1N5，所以MN 64 分（）证明：取AB中点D，连接DM，DB15 分221113 分151BC21在矩形B1BCC1中，因为N为B1C1中点，所以B1N/BC，B1N BC2在ABC中，因为M为AC中点，所以DM/BC，DM 所以DM/B1N，DM B1N所以四边形MDB1N为平行四边形，所以MN/DB17 分因为MN 平面ABB1A1，DB1平面ABB1A1，8 分所以MN/平面ABB9 分1A1（）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B 平面MNQ 11 分证明如下：连接BC1在正方形BB1C1C中易证QN BC1又A1C1平面BB1C1C，所以A1C1 QN，从而NQ 平面A1BC112 分所以A1B QN13 分同理可得A1B MQ，所以A1B 平面MNQ故线段CC1上存在点Q，使得A1B 平面MNQ14 分18（本小题满分 13 分）b x2（）解：f(x)22 分2(x b)依题意，令f(1)0，得b 14 分经检验，b 1时符合题意5 分（）解：当b 0时，f(x)1x故f(x)的单调减区间为(,0)，(0,)；无单调增区间6 分b x2 当b 0时，f(x)22(x b)令f(x)0，得x1b，x2 b8 分f(x)和f(x)的情况如下：xf(x)(,b)b(b,b)b(b,)00f(x)故f(x)的单调减区间为(,b)，(b,)；单调增区间为(b,b)11 分 当b 0时，f(x)的定义域为D xR|x bb x2因为f(x)2 0在D上恒成立，(x b)2故f(x)的单调减区间为(,b)，(b,b)，(b,)；无单调增区间13 分19（本小题满分 14 分）b1a2,（）解：依题意，得2 分a2b25.解得a 2，b 13 分x2 y214 分所以 椭圆的方程为41x2 y21，消去y，（）证明：由于l/AB，设直线l的方程为y xm，将其代入24整理得2x 4mx4m 4 06 分设C(x1,y1)，D(x2,y2)22 16m232(m21)0,所以x1 x2 2m,8 分2x1x2 2m 2.证法一：记OCM的面积是S1，ODN的面积是S2由M(2m,0)，N(0,m)，则S1 S211|2m|y1|m|x2|2y1|x2|10 分22因为x1 x2 2m，所以|2y1|2(1x1m)|x12m|x2|，13 分2从而S1 S214 分证法二：记OCM的面积是S1，ODN的面积是S2则S1 S2|MC|ND|线段CD,MN的中点重合10 分因为x1 x2 2m，x1 x2y y21 x x1 m，1 12m m222221故线段CD的中点为(m,m)2所以因为M(2m,0)，N(0,m)，所以 线段MN的中点坐标亦为(m,1m)13 分2从而S1 S214 分20（本小题满分 13 分）（）解：r1(A)r3(A)r4(A)1，r2(A)1；c1(A)c2(A)c4(A)1，c3(A)1，所以l(A)r(A)cii1j144j(A)03 分,n)，显然l(A0)2n（）证明：（）对数表A0：aij1(i,j 1,2,3,将数表A0中的a11由1变为1，得到数表A1，显然l(A1)2n411，得到数表A2，显然l(A2)2n8将数表A1中的a22由 变为依此类推，将数表Ak1中的akk由1变为1，得到数表Ak即数表Ak满足：a11 a22所以r1(A)r2(A)akk 1(1 k n)，其余aij1 ck(A)1,n7 分 rk(A)1，c1(A)c2(A)所以l(Ak)2(1)k(nk)2n4k，其中k 0,1,2,【注：数表Ak不唯一】（）证明：用反证法假设存在AS(n,n)，其中n为奇数，使得l(A)0因为ri(A)1,1，cj(A)1,1(1 i n,1 j n)，所以r1(A)，r2(A)，rn(A)，c1(A)，c2(A)，cn(A)这2n个数中有n个1，n个1令M r1(A)r2(A)rn(A)c1(A)c2(A)cn(A)n一方面，由于这2n个数中有n个1，n个1，从而M (1)1另一方面，r1(A)r2(A)；c1(A)c2(A)m）rn(A)表示数表中所有元素之积（记这n2个实数之积为cn(A)也表示m，从而M m21、相互矛盾，从而不存在AS(n,n)，使得l(A)0即n为奇数时，必有l(A)013 分