【中考数学分项真题】函数与几何综合问题（解答题）-（原卷版）.pdf
1专题 34 函数与几何综合问题（解答题）一、解答题一、解答题1（2021浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(73,0)，点B在直线8:3l yx上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D若BABO，求证：CDCO若45CBO，求四边形ABOC的面积（2）是否存在点B，使得以,A B C为顶点的三角形与BCOA相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由2（2021浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，MA经过原点O，分别交x轴、y轴于2,0A，0,8B，连结AB直线CM分别交MA于点D，E（点D在左侧），交x轴于点17,0C，连结AE2（1）求MA的半径和直线CM的函数表达式（2）求点D，E的坐标（3）点P在线段AC上，连结PE当AEP与OBDA的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长3（2021黑龙江中考真题）如图，一次函数ykxb的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数4yx的图像交于,P D两点以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知BODA的面积与AOBA的面积之比为1:4（1）求一次函数ykxb的表达式：（2）求点P的坐标及CPD外接圆半径的长4（2021江苏中考真题）已知四边形ABCD是边长为 1 的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，90AEF，设BEm3（1）如图 1，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，当13m 时，求线段CF的长；在PQEV中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式5（2021江苏中考真题）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A两点，若在y轴上存在点T，使得90ATA，且TATA，则称A、A两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点已知点2,0M、1,0N，点,Q m n在一次函数21yx 的图像上（1）如图，在点2,0B、0,1C、22D,中，点M的关联点是_（填“B”、“C”或“D”）；若在线段MN上存在点 1,1P的关联点P，则点P的坐标是_；（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q，求实数m的取值范围；（3）分别以点4,2E、Q为圆心，1 为半径作EA、QA若对EA上的任意一点G，在QA上总存在点G，使得G、G两点互相关联，请直接写出点Q的坐标6（2021广东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1:42l yx分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点,P x y为直线l在第二象限的点4（1）求A、B两点的坐标；（2）设PAOA的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；（3）作PAOA的外接圆CA，延长PC交CA于点Q，当POQ的面积最小时，求CA的半径7（2021广西梧州市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），B（0，3），顶点为 C平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MNCE时，请直接写出点K的坐标58（2021四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数33yx42的图象与反比例函数0kyxx的图象相交于点,3A a，与x轴相交于点B（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标9（2021湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，一次函数2yx的图像l与函数0,0kykxx的图像（记为）交于点A，过点A作ABy轴于点B，且1AB，点C在线段OB上（不含端点），且OCt，过点C作直线1/lx轴，交l于点D，交图像于点E（1）求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；（2）连接OE、BE、AE，记OBE、ADEA的面积分别为1S、2S，设12USS，求U的最大值10（2021江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形OABC为矩形，点C、A分别在x轴和6y轴的正半轴上，点D为AB的中点已知实数0k，一次函数3yxk 的图像经过点C、D，反比例函数0kyxx的图像经过点B，求k的值11（2021山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且2OA，4OC，连接OB反比例函数1kyx（0 x）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F一次函数2yk xb的图象经过E、F两点（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P是x轴上一动点，当PEPF的值最小时，点P的坐标为_12（2021广西中考真题）如图，在ABCA中，ADBC于点D，14BC，8AD，6BD 点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在ADCA内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DEx，连接BE7（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；（2）设ABE的面积为1S，矩形EFGH的面积为2S，令12SyS，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）如图，点(,)P a b是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求OMNA面积的最小值，并说明理由13（2021江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用（理解）（1）如图 1，,ACBC CDAB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE已知ADa，0BDbab分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；比较大小：CE_CD（填“”、“”或“”），并用含a、b的代数式表示该大小关系（应用）8（2）如图 2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数10yxx的图像上，横坐标分别为m、n设11,pmn qmn，记14lpq当1,2mn时，l _；当3,3mn时，l _；通过归纳猜想，可得l的最小值是_请利用图 2 构造恰当的图形，并说明你的猜想成立14（2021四川中考真题）已知反比例函数myx的图象经过点(2,3)A（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数myx的图象上点A的右侧取点C，作CHx轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线CH于点D过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；若2ACOA，求证：2AODDOH 15（2021内蒙古中考真题）如图，矩形ABCD的两边,AB BC的长分别为 3，8，C，D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数0kykx的图象经过点E，与BC交于点F，且1CFBE（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上找一点P，使得23CEPABCDSSA矩形，求此时点P的坐标916（2021湖南中考真题）如图，抛物线22yaxbx经过1,0A，4,0B两点，与y轴交于点C，连接BC（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图 2，直线l：3ykx经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上的一个动点，当/PQy轴时，作QMPQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；（3）如图 3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F，使得CBF DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由17（2021湖北中考真题）抛物线21yx交x轴于A，B两点（A在B的左边）10（1）ACDEA的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上如图（1），若点C的坐标是0,3，点E的横坐标是32，直接写出点A，D的坐标；如图（2），若点D在抛物线上，且ACDEA的面积是 12，求点E的坐标；（2）如图（3），F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证FGFH的值是定值18（2021湖南中考真题）已知二次函数20yaxbxc a（1）若12a，2bc，求方程20axbxc的根的判别式的值；（2）如图所示，该二次函数的图像与 x 轴交于点1,0A x、2,0B x，且120 xx，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 D 在线段 OC 上，连接 AC、BD，满足 ACOABD，1bcxa求证：AOCDOBAA；连接 BC，过点 D 作DEBC于点 E，点120,Fxx在 y 轴的负半轴上，连接 AF，且11ACOCAFCBD，求1cx的值19（2021内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24yxx 经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点(,)M m n是抛物线上一动点（1）如图 1，当0m，0n，且3nm时，求点M的坐标：若点15,4By在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作/CDMO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；（2）如图 2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点7,3E x在对称轴上，当2m，0n，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为180,5，连接GF若2EFNFMF，求证：射线FE平分AFG20（湖南省永州市 2021 年中考真题数学试卷）已知关于x的二次函数21yxbxc（实数b，c为常数）（1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x，求此二次函数的表达式；（2）若20bc，当3bxb时，二次函数的最小值为 21，求b的值；（3）记关于x的二次函数222yxxm，若在（1）的条件下，当01x时，总有21yy，求实数m的最小值21（2021四川中考真题）如图，抛物线2(0)yaxbxc a与x轴交于A、B两点，与y轴交于C12点，10AC，3OBOCOA（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大求出点P的坐标（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由22（四川省资阳市 2021 年中考数学试卷）抛物线2yxbxc 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且1,0,0,3BC（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当:1:2PE BE 时，求点P的坐标；（3）如图 2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D处，且2DDCD，点M是平移后所得抛物线上位于D左侧的一点，/MNy轴交直线OD于点N，连结CN当55D NCN的值最小时，求MN的长1323（2021黑龙江中考真题）如图，抛物线2yaxbxc与x轴交于除原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为2,1（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线2yaxbxc上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线2y 的距离总相等证明上述结论并求出点F的坐标；过点F的直线l与抛物线2yaxbxc交于,M N两点证明：当直线l绕点F旋转时，11MFNF是定值，并求出该定值；（3）点3,Cm是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点,P Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出,P Q的坐标24（2021湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线14yxxn 与x轴交于点A和点,04B nn ，顶点坐标记为11,h k抛物线222229yxnnn 的顶点坐标记为22,h k14（1）写出A点坐标；（2）求1k，2k的值（用含n的代数式表示）；（3）当44n 时，探究1k与2k的大小关系；（4）经过点229,5Mnn和点22,95Nnn的直线与抛物线14yxxn，222229yxnnn 的公共点恰好为 3 个不同点时，求n的值25（2021山西中考真题）如图，抛物线21262yxx与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC（1）求A，B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式；（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N当DMNAOCSS时，请直接写出15DM的长26（2021湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”例如 1,1,2021,2021都是“雁点”（1）求函数4yx图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25yaxxc上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）当1a 时求c的取值范围；求EMN的度数；（3）如图，抛物线2yx2x3 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线2yx2x3 上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰RtBPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由27（2021湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为 2,0,8,0,13,1016（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当PBQ的面积最大时，求P的坐标28（2021湖南中考真题）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且2OA，4OB，8OC，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与MNBA相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程（4）点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰RtCQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由1729（2021甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212yxbxc与坐标轴交于0,2,4,0AB两点，直线:28BC yx 交y轴于点C点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为,G DG分别交直线,BC AB于点,E F（1）求抛物线212yxbxc的表达式；（2）当12GF，连接BD，求BDFA的面积；（3）H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；在的条件下，第一象限有一动点P，满足2PHPC，求PHB周长的最小值30（2021湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：20yaxbxc a经过点 1,1和4,1（1）求抛物线C的对称轴（2）当1a 时，将抛物线C向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到抛物线1C求抛物线1C的解析式设抛物线1C与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC点D为第一象18限内抛物线1C上一动点，过点D作DEOA于点E设点D的横坐标为m是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与BOCA相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由31（2021江苏中考真题）如图，二次函数21yxmxm（m是实数，且10m）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C，已知点D位于第一象限，且在对称轴上，ODBD，点E在x轴的正半轴上，OCEC连接ED并延长交y轴于点F，连接AF（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当AFQ的周长的最小值等于125，求m的值32（2021贵州中考真题）如图，抛物线2=2+0y axx c a与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为D19（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由33（山东省淄博市 2021 年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线211(0)222mmymxx 与x轴交于1,0,0AB m两点，与y轴交于点C，连接BC（1）若2OCOA，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当PBCA面积最大时，求点P的坐标；（3）设直线12yxb与抛物线交于,B G两点，问是否存在点E（在抛物线上）点F（在抛物线的对称轴上），使得以,B G E F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点,E F的坐标；若不存在，说明理由34（2021四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2ya xhk与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为2,1点B为抛物线上一动点，连接,AP AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C20（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B的横坐标与纵坐标相等，ABCOAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；（3）若点B的横坐标为t，90ABC，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当0t 时，点C的横坐标的取值范围35（2021湖北中考真题）如图 1，已知45RPQ，ABCA中90ACB，动点P从点A出发，以2 5cm/s的速度在线段AC上向点C运动，,PQ PR分别与射线AB交于E，F两点，且PEAB，当点P与点C重合时停止运动，如图 2，设点P的运动时间为sx，RPQ与ABCA的重叠部分面积为2cmy，y与x的函数关系由15(0)Cx和2()5Cxn两段不同的图象组成（1）填空：当5sx 时，EF _cm；sin A _；（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当236cmy 时，请直接写出x的取值范围2136（2021湖南中考真题）如图，已知二次函数2yaxbxc的图象经过点(2,3)C且与x轴交于原点及点(8,0)B（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断ABOA的形状，试说明理由；（4）若点P为OA上的动点，且OA的半径为2 2，一动点E从点A出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒 1 个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值37（2021黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AOB的边OA在x轴上，OAAB，且线段OA的长是方程2450 xx的根，过点B作BEx轴，垂足为E，4tan3BAE，动点M以每秒 1 个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为0t t 秒22（1）求点B的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以MAOP、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由38（2021江苏中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线3yx 与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数2yax2xc的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数2yax2xc的图象于点E（1）求二次函数的表达式；（2）当以C、E、F为顶点的三角形与ABCA相似时，求线段EF的长度；（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标
