【中考数学分项真题】几何综合压轴问题（解答题）.pdf

2021 年中考数学真题分项汇编【全国通用】(第 01 期)专题专题 3333 几何综合压轴问题几何综合压轴问题(解答题解答题)一、解答题1(湖南省郴州市 2021 年中考数学试卷)如图 1,在等腰直角三角形中,ABC点,分别为,的中点,为线段上一动点(不与点,重合),90BACEFABACHEFEF将线段绕点逆时针方向旋转得到,连接,AHA90AGGCHB(1)证明:;AHBAGC:(2)如图 2,连接,交于点GFHCAFAFQ证明:在点的运动过程中,总有;H90HFG若,当的长度为多少时,为等腰三角形?4ABACEHAQG:【答案】(1)见详解;(2)见详解;当的长度为 2 或时,为等腰三角形EH2AQG:【分析】(1)由旋转的性质得AH=AG,HAG=90,从而得BAH=CAG,进而即可得到结论;(2)由,得AH=AG,再证明,进而即可得到结论;AHBAGC:AEHAFG:为等腰三角形,分 3 种情况:(a)当QAG=QGA=45时,(b)当GAQ=GQA=67.5AQG:时,(c)当AQG=AGQ=45时,分别画出图形求解,即可【详解】解:(1)线段绕点A逆时针方向旋转得到,AH90AGAH=AG,HAG=90,在等腰直角三角形中,AB=AC,ABC90BACBAH=90-CAH=CAG,;AHBAGC:(2)在等腰直角三角形中,AB=AC,点,分别为,的中点,ABCEFABACAE=AF,是等腰直角三角形,AEF:AH=AG,BAH=CAG,AEHAFG:AEH=AFG=45,HFG=AFG+AFE=45+45=90,即:;90HFG,点,分别为,的中点,4ABACEFABACAE=AF=2,AGH=45,为等腰三角形,分 3 种情况:AQG:(a)当QAG=QGA=45时,如图,则HAF=90-45=45,AH平分EAF,点H是EF的中点,EH=;22221122222AEAF(b)当GAQ=GQA=(180-45)2=67.5时,如图,则EAH=GAQ=67.5,EHA=180-45-67.5=67.5,EHA=EAH,EH=EA=2;(c)当AQG=AGQ=45时,点H与点F重合,不符合题意,舍去,综上所述:当的长度为 2 或时,为等腰三角形EH2AQG:【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,熟练掌握全等三角形的判定定理,根据题意画出图形,进行分类讨论,是解题的关键2(2021湖北中考真题)问题提出 如图(1),在和中,ABC:DEC:90ACBDCE,点在内部,直线与交于点,线段,之BCACECDCEABC:ADBEFAFBFCF间存在怎样的数量关系?问题探究(1)先将问题特殊化如图(2),当点,重合时,直接写出一个等式,表示,D FAFBF之间的数量关系;CF(2)再探究一般情形如图(1),当点,不重合时,证明(1)中的结论仍然成立D F问题拓展 如图(3),在和中,ABC:DEC:,(是常数),点在内部,直线90ACBDCE BCkACECkDCkEABC:与交于点,直接写出一个等式,表示线段,之间的数量关系ADBEFAFBFCF【答案】(1)(2)见解析;问题拓展:2BFAFCF21BFk AFk CF【分析】(1)先证明BCEACD,得到AF=BE,BF-BE=BF-AF=EF=;2CF(2)过点作交于点,证明,是CCGCFBEGACDBCEACFBCGCGF等腰直角三角形即可;利用前面的方法变全等为相似证明即可【详解】问题探究(1)理由如下:如图(2),2BFAFCFBCA=ECF=90,BCE=ACF,BC=AC,EC=CF,BCEACF,BE=AF,BF-BE=BF-AF=EF=;2CF(2)证明:过点作交于点,则,CCGCFBEG90FCGACB BCGACF,90ACBDCE BCEACD 又,ACBCDCEC,ACDBCECAFCBG ACFBCG,AFBGCFCG是等腰直角三角形CGF2GFCF2BFAFBFBGGFCF问题拓展 理由如下:21BFk AFk CF BCA=ECD=90,BCE=ACD,BC=kAC,EC=kCD,BCEACD,EBC=FAC,过点作交于点M,则,CCMCFBE90FCMACB BCMACF BCMACF,BM:AF=BC:AC=MC:CF=k,BM=kAF,MC=kCF,BF-BM=MF,MF=22222MCCFk CFCF21k CFBF-kAF=21k CF【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,三角形全等的判定和性质,三角形相似的判定和性质,勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定,三角形相似的判定,勾股定理是解题的关键3(2021浙江中考真题)(证明体验)(1)如图 1,为的角平分线,点E在上,求证:ADABC:60ADCABAEAC平分DEADB(思考探究)(2)如图 2,在(1)的条件下,F为上一点,连结交于点G若,ABFCADFBFC2DG,求的长3CD BD(拓展延伸)(3)如图 3,在四边形中,对角线平分,点E在上,ABCDAC,2BADBCADCA AC若,求的长EDCABC 5,2 5,2BCCDADAEAC【答案】(1)见解析;(2);(3)92163【分析】(1)根据 SAS 证明,进而即可得到结论;EADCAD(2)先证明,得,进而即可求解;EBDGCD:BDDECDDG(3)在上取一点F,使得,连结,可得,从而得ABAFADCFAFCADC:,可得,最后证明,即DCEBCF:,CDCECEDBFCBCCF 4CE EADDAC:可求解【详解】解:(1)平分,ADBAC,EADCAD,AEAC ADAD,EADCAD SAS:,60ADEADC,18060EDBADEADC,即平分;BDEADEDEADB(2),FBFC,EBDGCD,60BDEGDC,EBDGCD:BDDECDDG,EADCAD3DEDC,2DG;92BD(3)如图,在上取一点F,使得,连结ABAFADCF平分,ACBADFACDAC,ACAC,AFCADC SAS:,CFCDACFACDAFCADC ,2ACFBCFACBACD DCEBCF,EDCFBC,DCEBCF:,CDCECEDBFCBCCF,5,2 5BCCFCD4CE,180180AEDCEDBFCAFCADC 又,EADDAC EADDAC:,12EAADADAC,4ACAE41633ACCE【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,添加辅助线,构造全等三角形和相似三角形,是解题的关键4(2021浙江中考真题)如图 1,四边形内接于,为直径,上存在点E,满ABCDO:BD:AD足,连结并延长交的延长线于点F,与交于点G:AECDBECDBEAD(1)若,请用含的代数式表列DBCAGB(2)如图 2,连结求证;,CE CEBGEFDG(3)如图 3,在(2)的条件下,连结,CG2AD 若,求的周长3tan2ADBFGD:求的最小值CG【答案】(1);(2)见解析;(3);90AGB5723【分析】(1)利用圆周角定理求得,再根据,求得,即可得90BAD:AECDABGDBC 到答案;(2)由,得到,从而推出,证得90BECBDC BECAGB CEFBGD,由此得到结论;CFEBDG ASA:(3)连结利用已知求出,证得,得到,利DE332ABAD:DACE2BGAD用中,根据正弦求出,求出EF的长,再利用Rt ABG:160,12AGBAGBG中,求出EG及DE,再利用勾股定理求出DF即可得到答案;RtDEG60EGD过点C作于H,证明,得到,证明CHBFBADCHF AAS:FHAD,得到,设,得到,利用勾股定理得到BHCCHF:BHCHCHFHGHx22 2CHx,求得,利用函数的最值解答即可222CGGHCH2222(2)(1)3CGxxx【详解】解:(1)为的直径,BDO:,90BAD,:AECD,ABGDBC 90AGB(2)为的直径,BDO:,90BCD,90BECBDC,BECAGB,180,180CEFBECBGDAGBCEFBGD 又,CEBGECFGBD,CFEBDG ASA:EFDG(3)如图,连结DE为的直径,BDO:90ABED 在中,RtABD3tan2ADB2AD 332ABAD,:AECD,:AEDECDDE即,:DACEADCE,CEBG2BGAD在中,Rt ABG:3sin2ABAGBBG,160,12AGBAGBG1EFDGADAG在中,RtDEG60EGD1133,2222EGDGDEDG在中,Rt FEDV2272DFEFDE,572FGDGDF的周长为572FGD:如图,过点C作CHBF于HBDGCFE:,BDCFCFHBDA 90BADCHF,BADCHF AAS:FHAD,ADBG,FHBG90BCF,90BCHHCF90BCHHBC,HCFHBC,90BHCCHF,BHCCHF:,BHCHCHFH设GHx,2BHx,22 2CHx在Rt GHC:中,222CGGHCH,2222(2)(1)3CGxxx,当1x 时,2CG的最小值为 3,CG的最小值为3【点睛】此题考查圆周角的定理,弧、弦和圆心角定理,全等三角形的判定及性质,勾股定理,三角函数,相似三角形的判定,函数的最值问题,是一道综合的几何题型,综合掌握各知识点是解题的关键5(2021浙江中考真题)在扇形AOB中,半径6OA,点P在OA上,连结PB,将OBP:沿PB折叠得到O BP:(1)如图 1,若75O,且BO与:AB所在的圆相切于点B求APO的度数求AP的长(2)如图 2,BO与:AB相交于点D,若点D为:AB的中点,且/PD OB,求:AB的长【答案】(1)60;62 6;(2)125【分析】(1)根据图像折叠的性质,确定角之间的关系,通过已知的角度来间接求所求角的角度;求AP的长,先连接OO,先在RtOBQ中,求出OQ;再在Rt OPQ:中,求出OP即可得到答案;(2)要求:AB的长,扇形的半径已知,就转化成求AOB的度数,连接OO,通过条件找到角之间的等量关系,再根据三角形内角和为180,建立等式求出AOB,最后利用弧长的计算公式进行计算【详解】解:(1)如图 1,BO为圆的切线90OBO由题意可得,45O BPOBP,O PBOPB 180180754560OPBBOPOBP 60O PBOPB 60APO,如图 1,连结OO,交BP于点Q则有BPOO在RtOBQ中,sin453 2OQOB 在RtOPQ中,2 6sin60OQOP,62 6APOAOP(2)如图 2连结OD设1a 点D为:AB的中点:BDAD21a /PD OB321a PDPO由题意可得,POPOOBOP PDPO2PDOOBOPa 又/,2PDOBOBOPDOa,42OBODOBOa 43180PDO ,22180aaa,解得36a 72AOB:726121801805n RAB【点睛】本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题,解题的关键是:根据题目中的条件,找到边角之间的等量关系,通过等量代换的思想间接求出所需要求的量6(2021浙江中考真题)已知在ACD中,是CD的中点,B是AD延长线上的一点,连结,BC AP(1)如图 1,若90,60,3ACBCADBDAC AP,求BC的长(2)过点D作/DE AC,交AP延长线于点E,如图 2 所示若60,CADBDAC,求证:2BCAP(3)如图 3,若45CAD,是否存在实数m,当BDmAC时,2BCAP?若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由【答案】(1)2 3;(2)见解析;(3)存在,2m【分析】(1)先解直角三角形ABC得出2ABAC,从而得出ADC:是等边三角形,再解直角三角形ACP即可求出AC的长,进而得出BC的长;(2)连结BE,先利用AAS证出:CPADPE,得出AE=2PE,AC=DE,再得出ADC:是等边三角形,然后由SAS得出:CABEBA,得出AE=BC即可得出结论;(3)过点D作/DE AC,交AP延长线于点E,连接BE,过C作CGAB于G,过E作ENAB于N,由(2)得AE=2AP,DE=AC,再证明:AENBCG,从而得出:CABEBA得出DE=BE,然后利用勾股定理即可得出m的值【详解】(1)解 90,60ACBCAD,2cos60ACABAC,BDAC,ADAC,ADC:是等边三角形,60ACD是CD的中点,APCD,在Rt APC:中,3AP,2sin60APAC,tan602 3BCAC(2)证明:连结BE,/DEAC,CAPDEP,CPDPCPADPE,CPADPE AAS:,1,2APEPAE DEAC,BDAC,BDDE,又/DEAC,60BDECAD,BDE:是等边三角形,60BDBEEBDBDAC,ACBE,又60,CABEBAABBA,CABEBA SAS:,AEBC,2BCAP(3)存在这样的,2m m 过点D作/DE AC,交AP延长线于点E,连接BE,过C作CGAB于G,过E作ENAB于N,则45 BDECAD,sin45CGAC,sin45ENDE由(2)得AE=2AP,DE=AC,CG=EN,2BCAP,AE=BC,ANE=BGC=90,:AENBCG,EAN=CBGAE=BC,AB=BA,:CABEBA AC=BE,DE=BE,EDB=EBD=45,DEB=90,2BDAC,BDmAC2m 【点睛】本题属于三角形综合题,考查了解直角三角形,全等三角形的性质与判定,等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理,解题的关键是合理添加辅助线,有一定的难度7(2021安徽中考真题)如图 1,在四边形ABCD中,ABCBCD,点E在边BC上,且/AECD,/DEAB,作CF/AD交线段AE于点F,连接BF(1)求证:ABFEAD;(2)如图 2,若9AB,5CD,ECFAED,求BE的长;(3)如图 3,若BF的延长线经过AD的中点M,求BEEC的值【答案】(1)见解析;(2)6;(3)12【分析】(1)根据平行线的性质及已知条件易证ABEAEB,DCEDEC,即可得ABAE,DEDC;再证四边形AFCD是平行四边形即可得AFCD,所以AFDE,根据 SAS 即可证得ABFEAD;(2)证明EBFEAB,利用相似三角形的性质即可求解;(3)延长BM、ED交于点G易证ABEDCE:,可得ABAEBEDCDECE;设1CE,BEx,DCDEa,由此可得ABAEax,AFCDa;再证明MABMDG,根据全等三角形的性质可得DGABax证明FABFEG,根据相似三角形的性质可得FAABFEEG,即(1)(1)aaxa xa x,解方程求得x的值,继而求得BEEC的值【详解】(1)证明:/AECD,AEBDCE;/DEAB,ABEDEC,12 ,ABCBCD,ABEAEB,DCEDEC,ABAE,DEDC,/AFCD,/ADCF,四边形AFCD是平行四边形AFCDAFDE在ABF:与EAD:中12ABEAAFED ,()ABFEAD SAS(2)ABFEAD,BFAD,在AFCD中,ADCF,BFCF,FBCFCB,又2FCB,21 ,1FBC,在EBF与EAB:中1EBFBEFAEB ,EBFEAB;EBEFEAEB;9AB,9AE;5CD,5AF;4EF,49EBEB,6BE或6(舍);(3)延长BM、ED交于点GABE:与DCE:均为等腰三角形,ABCDCE,ABEDCE,ABAEBEDCDECE,设1CE,BEx,DCDEa,则ABAEax,AFCDa,(1)EFa x,/ABDG,3G ;在MAB与MDG:中,345GMAMD ,()MABMDG AAS;DGABax(1)EGa x;/ABEG,FABFEG,FAABFEEG,(1)(1)aaxa xa x,(1)1x xx,2210 xx,2(1)2x,12x,112x(舍),212x ,12BEEC【点睛】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定,熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键8(2021四川中考真题)在等腰ABC:中,ABAC,点D是BC边上一点(不与点B、C重合),连结AD(1)如图 1,若60C,点D关于直线AB的对称点为点E,结AE,DE,则BDE_;(2)若60C,将线段AD绕点A顺时针旋转60得到线段AE,连结BE在图 2 中补全图形;探究CD与BE的数量关系,并证明;(3)如图 3,若ABADkBCDE,且ADEC,试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系,并证明【答案】(1)30;(2)见解析;CDBE;见解析;(3)()ACk BDBE,见解析【分析】(1)先根据题意得出ABC是等边三角形,再利用三角形的外角计算即可(2)按要求补全图即可先根据已知条件证明ABC是等边三角形,再证明AEBADC,即可得出CDBE(3)先证明ACBCADDE,再证明ACBADE,得出BACEAD,从而证明AEBADC,得出BDBEBC,从而证明()ACk BDBE【详解】解:(1)ABAC,60CABC是等边三角形B=60点D关于直线AB的对称点为点EABDE,BDE30 故答案为:30;(2)补全图如图 2 所示;CD与BE的数量关系为:CDBE;证明:ABAC,60BACABC:为正三角形,又AD绕点A顺时针旋转60,ADAE,60EAD,60BADDAC,60BADBAE,BAEDAC,AEBADC,CDBE(3)连接AEABADkBCDE,ABAC,ACADBCDEACBCADDE又ADEC,ACBADE,BACEAD ABAC,AEAD,BADDACBADBAE,DACBAE,AEBADC,CDBEBDDCBC,BDBEBC又ACkBC,()ACk BDBE【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称,熟练进行角的转换是解题的关键,相似三角形的证明是重点9(2021山东中考真题)如图 1,O为半圆的圆心,C、D为半圆上的两点,且:BDCD连接AC并延长,与BD的延长线相交于点E(1)求证:CDED;(2)AD与OC,BC分别交于点F,H若CFCH,如图 2,求证:CF AFFO AH;若圆的半径为 2,1BD,如图 3,求AC的值【答案】(1)见解析;(2)见解析;72AC【分析】(1)连接BC,根据90ACBBCE,90ECDBCD且:BDCD,则EECD,即可推导出CDED;(2)CFCH,则AFOCHF,又:BDCD,CADBAD,则AFOAHC,进而推导出CF AFFO AH;连接OD交BC于G,设OGx,则2DGx,根据在RtOGB和RtBGD中列式222221(2)xx,进而求得x的值,再根据中位线定理求出AC的长【详解】证明:(1)连接BC,AB为直径90ACBBCE 90ECDBCD:BDCDEBCBCD EECD CDED(2)CFCHCFHCHF 又AFOCFH AFOCHF 又:BDCDCADBAD AFOAHCAFOFAHCHAFOFAHCFCF AFOF AH连接OD交BC于G设OGx,则2DGx:CDBDCODBOD 又OCOBODBC,CGBG在RtOGB和RtBGD中222221(2)xx74x 即74OG OAOBOG是ABC:的中位线12OGAC72AC【点睛】本题考查了等弧对等角、相似三角形、等腰三角形、中位线等有关知识点,属于综合题型,借助辅助线是解决这类问题的关键10(2021江苏中考真题)在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动(1)ABC:是边长为 3 的等边三角形,E是边AC上的一点,且1AE,小亮以BE为边作等边三角形BEF,如图 1,求CF的长;(2)ABC:是边长为 3 的等边三角形,E是边AC上的一个动点,小亮以BE为边作等边三角形BEF,如图 2,在点E从点C到点A的运动过程中,求点F所经过的路径长;(3)ABC:是边长为 3 的等边三角形,M是高CD上的一个动点,小亮以BM为边作等边三角形BMN,如图 3,在点M从点C到点D的运动过程中,求点N所经过的路径长;(4)正方形ABCD的边长为 3,E是边CB上的一个动点,在点E从点C到点B的运动过程中,小亮以B为顶点作正方形BFGH,其中点F、G都在直线AE上,如图 4,当点E到达点B时,点F、G、H与点B重合则点H所经过的路径长为_,点G所经过的路径长为_【答案】(1)1;(2)3;(3)332;(4)34;3 24【分析】(1)由ABC、BEF是等边三角形,BABC,BEBF,ABECBF,可证ABECBF即可;(2)连接CF,ABC、BEF是等边三角形,可证ABECBF,可得BCFABC,又点E在C处时,CFAC,点E在A处时,点F与C重合可得点F运动的路径的长3AC;(3)取BC中点H,连接HN,由ABC、BMN是等边三角形,可证DBMHBN,可得NHBC又点M在C处时,3 32HNCD,点M在D处时,点N与H重合可求点N所经过的路径的长332CD;(4)连接CG,AC,OB,由CGA=90,点G在以AC中点为圆心,AC为直径的:BC上运动,由四边形ABCD为正方形,BC为边长,设OC=x,由勾股定理222COBOBC即,可求3 22x,点G所经过的路径长为:BC长=3 24,点H所经过的路径长为BN的长34【详解】解:(1)ABC、BEF是等边三角形,BABC,BEBF,60 ABCEBF ABECBECBFCBE,ABECBF,ABECBF,1CFAE;(2)连接CF,ABC、BEF是等边三角形,BABC,BEBF,60 ABCEBF ABECBECBFCBE,ABECBF,ABECBF,CFAE,60 BCFBAE,60ABC,BCFABC,/CFAB,又点E在C处时,CFAC,点E在A处时,点F与C重合点F运动的路径的长3AC;(3)取BC中点H,连接HN,12BHBC,12BHAB,CDAB,12BDAB,BHBD,ABC、BMN是等边三角形,BMBN,60 ABCMBN,DBMMBHHBNMBH,DBMHBN,DBMHBN,HNDM,90 BHNBDM,NHBC,又点M在C处时,3 32HNCD,点M在D处时,点N与H重合,点N所经过的路径的长332CD;(4)连接CG,AC,OB,CGA=90,点G在以AC中点为圆心,AC为直径的:BC上运动,四边形ABCD为正方形,BC为边长,COB=90,设OC=x,由勾股定理222COBOBC即2223xx,3 22x,点G所经过的路径长为:BC长=13 23 22424,点H在以BC中点为圆心,BC 长为直径的弧BN上运动,点H所经过的路径长为BN的长度,点G运动圆周的四分之一,点H也运动圆周的四分一,点H所经过的路径长为BN的长=1332424,故答案为34;3 24【点睛本题考查等边三角形的性质,三角形全等判定与性质,勾股定理,90圆周角所对弦是直径,圆的弧长公式,掌握等边三角形的性质,三角形全等判定与性质,勾股定理,90圆周角所对弦是直径,圆的弧长公式是解题关键11(2021吉林中考真题)实践与探究操作一:如图,已知正方形纸片ABCD,将正方形纸片沿过点A的直线折叠,使点B落在正方形ABCD的内部,点B的对应点为点M,折痕为AE,再将纸片沿过点A的直线折叠,使AD与AM重合,折痕为AF,则EAF 度操作二:如图,将正方形纸片沿EF继续折叠,点C的对应点为点N我们发现,当点E的位置不同时,点N的位置也不同当点E在BC边的某一位置时,点N恰好落在折痕AE上,则AEF 度在图中,运用以上操作所得结论,解答下列问题:(1)设AM与NF的交点为点P求证ANPFNE:(2)若3AB,则线段AP的长为 【答案】操作一:45,操作二:60;(1)证明见解析;(2)2 32【分析】操作一:直接利用折叠的性质,得出两组全等三角形,从而得出BAEEAM,MAFFAD=,从而得出EAF的值;操作二:根据折叠的性质得出,ABEAMECEFNEFVVVV,从而得出BEAAEFFEC=,即可求得AEF的度数;(1)首先利用60AEF,得出30,15NAPPAF=,则45NAF,从而得出ANF为等腰直角三角形,即可证得ANPFNE;(2)利用三角函数或者勾股定理求出BE的长,则BEEM,设DF=x,那么FC=3x,在RtEFC中,利用勾股定理得出DF的长,也就是MF的长,即可求得EF的长,进而可得结果【详解】操作一:45,证明如下:ABE折叠得到AME,ADF:折叠得到AMF:,ABEAMEADFAMFVVVV,11,22BAEMAEBAMMAFDAFMAD=,111()222EAFEAMMAFBAMMADBAMMAD=+=+=+190452,故填:45;操作二:60,证明如下:ABEAMEVV,BEAAEM=,又CEF沿着EF折叠得到ENF,CEFNEFVV,NEFFEC=,1603BEAAEFFECBEC=,故填:60;(1)证明:由上述证明得CEFNEFVV,60NECCEF=,NFECFE=,CENF=四边形ABCD为正方形,C=D=90,30CFENFE=,90ENFANF=,又ADFAMFVV,90DAMF=,在ANP:和PMF中,90,ANPPMF=NPAMPF=,30NAPMFP=,30BAENAP=,15MAFFAD=,301545NAFNAPPAF=+=+=,ANF:为等腰直角三角形,即AN=NF,在ANP:和FNEV中:NAPNFEANNFANPENF ()ANPFNE ASA(2)由题可知ABE是直角三角形,30BAE,3tan33BEBEBAEAB=,解得BE=1,BE=EM=1,31EC=-,设DF=x,则MF=x,CF=3x,在RtCEF中,222CECFEF 222(31)(3)(1)xx-+-=+,解得x=2 33,则12 32xEF+=-=,()ANPFNE ASAAP=EF=2 32【点睛】本题考查正方形的性质,折叠的性质,全等三角形的判定,勾股定理,解题的关键是熟练运用折叠的性质,找出全等三角形12(2021湖南中考真题)如图,在ABC:中,ABAC,N是BC边上的一点,D为AN的中点,过点A作BC的平行线交CD的延长线于T,且ATBN,连接BT(1)求证:BNCN;(2)在如图中AN上取一点O,使AOOC,作N关于边AC的对称点M,连接MT、MO、OC、OT、CM得如图求证:TOMAOC:;设TM与AC相交于点P,求证:1/,2PDCM PDCM【答案】(1)见解析;(2)见解析,见解析【分析】(1)先用/ATBN,且ATBN证明出四边形ATBN是平行四边形,得到TADCND,用对应边相等与等量代换,从而得出结论(2)连接AM、MN,利用矩形的性质与等腰三角形的性质,证明出OCM是直角三角形,证明出RtOATRtOCM,得到对应角相等,则得到答案;连接OP,由中TOMAOC:,得到OTM=OAP,点O、T、A、P共圆,由直径所对的圆周角为直角,证明出OPT=90,再根据等腰三角形的三线合一性得出结论【详解】证明:(1)/ATBC,且ATBN/ATBN,且ATBN,四边形ATBN是平行四边形,/ANTB,DTA=DCN,ADT=NDC,点D为AN的中点,AD=ND,TADCND(AAS)TA=CN,ATBN,BN=CN,(2)如图所示,连接AM、MN,点N关于边AC的对称点为M,ANCAMC,ACN=ACM,AB=AC,点N为AC的中点,平行四边形ATBN是矩形,TAB=ABN=ACN=ACM,BAN=MAC=CAN,AT=BN=NC=MC,OA=OC,CAN=ACO,TAB+BAN=ACM+ACO=90,OAT=OCM=90,在RtOAT和RtOCM中,AT=CM,OAT=OCM,OA=OC,RtOATRtOCM(SAS),AOT=COM,OT=OM,AOT+AOM=COM+AOM,TOM=AOCOA=OC,OT=OM,OTOMOAOC=,TOMAOC:;如图所示,连接OP,TOMAOC:,OTM=OAP,点O、T、A、P共圆,OAT=90,OT为圆的直径,OPT=90,OT=OM,点P为TM的中点,由(1)得TADCND,TD=CD,点D为TC的中点,DP为TCM的中位线,1/,2PDCM PDCM【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、以及相似三角形的判定与性质、圆中直径的性质,关键在于通过等量代换,换出角相等,证明出直角三角形全等,再证明三角形相似13(2021浙江台州市中考真题)如图,BD是半径为 3 的O的一条弦,BD42,点A是O上的一个动点(不与点B,D重合),以A,B,D为顶点作平行四边形ABCD(1)如图 2,若点A是劣弧:BD的中点求证:平行四边形ABCD是菱形;求平行四边形ABCD的面积(2)若点A运动到优弧:BD上,且平行四边形ABCD有一边与O相切求AB的长;直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值【答案】证明见解析;8 2;(2)AB的长为823或4 2;825【分析】(1)利用等弧所对的弦相等可得ADAB,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证;连接AO,交BD于点E,连接OD,根据垂径定理可得2 2DEBE,利用勾股定理求出OE的长,即可求解;(2)分情况讨论当CD与O:相切时、当BC与O:相切时,利用垂径定理即可求解;根据等面积法求出AH的长度,利用勾股定理求出DH的长度,根据正切的定义即可求解【详解】解:(1)点A是劣弧:BD的中点,:ADAB,ADAB,四边形ABCD是平行四边形,平行四边形ABCD是菱形;连接AO,交BD于点E,连接OD,点A是劣弧:BD的中点,OA为半径,OABD,OA平分BD,2 2DEBE,平行四边形ABCD是菱形,E为两对角线的交点,在RtODE中,221OEODDE,2AE,128 22ABCDSBD AE;(2)如图,当CD与O:相切时,连接DO并延长,交AB于点F,CD与O:相切,DFCD,2ABBF,四边形ABCD是平行四边形,/AB CD,DFAB,在RtBDF中,2222323BFBDDFOF,在RtBOF中,22229BFBOOFOF,223239OFOF,解得73OF,423BF,8223ABBF;如图,当BC与O:相切时,连接BO并延长,交AD于点G,同理可得423AGDG,73OG,所以224 2ABBGAG,综上所述,AB的长为823或4 2;过点A作AHBD,由(2)得:87164 2,2,3,333BDADBG 根据等面积法可得1122BD AHAD BG,解得329AH,在在Rt ADH:中,22829DHADAH,8102 22299HI,8tan25AHAIHHI【点睛】本题考查垂径定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等内容,掌握分类讨论的思想是解题的关键14(2021青海中考真题)在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,若身旁没有量角器或三角尺,又需要作60,30,15等大小的角,可以采用如下方法:操作感知:第一步:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开(如图 13-1)第二步:再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN(如图 13-2)猜想论证:(1)若延长MN交BC于点P,如图 13-3 所示,试判定BMP:的形状,并证明你的结论拓展探究:(2)在图 13-3 中,若ABaBCb，,当ab，满足什么关系时,才能在矩形纸片ABCD中剪出符(1)中的等边三角形BMP?【答案】(1)BMP:是等边三角形,理由见解析;(2)32ab,理由见解析【分析】(1)连接AN,由折叠性质可得ABN:是等边三角形,30PBN,30ABMNBM,然后可得到 60MBPBMP,即可判定 BMP:是等边三角形(2)由折叠可知BCBP,由(1)可知BPBM,利用 30的三角函数即可求得【详解】(1)解:BMP:是等边三角形,证明如下:连接AN由折叠可知:ABBN,EF垂直平分ABANBN,ANABBN,ABN:为等边三角形,60ABN,30PBN,30ABMNBM,90BNMBAM,60BMP,60MBPBMPBPM ,BMP:是等边三角形(2)解:方法一:要在矩形纸片ABCD上剪出等边BMP:,则BCBP,在RtBNP中,BNBAa,30PBN,2 3cos303aBPa,BCBP,2 33ba,即32ab,当32ab或(2 33ba)时,在矩形纸片上能剪出这样的等边BMP:方法二:要在矩形纸片ABCD上剪出等边BMP:,则BCBP,在RtBNP中,30NBP,BNABa,设NPx,则2BPx,222BPNPBN,即2222xxa,得33xa,2 33BPa,BCBP,2 33ba,即32ab,当32ab(或2 33ba)时,在矩形纸片上能剪出这样的等边BMP:【点睛】本题考查了折叠的性质,及锐角三角函数的应用,正确理解折叠性质灵活运用三角函数解直角三角形是解本题的关键15(2021海南中考真题)如图 1,在正方形ABCD中,点E是边BC上一点,且点E不与点BC重合,点F是BA的延长线上一点,且AFCE(1)求证:DCEDAF:;(2)如图 2,连接EF,交AD于点K,过点D作DHEF,垂足为H,延长DH交BF于点G,连接,HB HC求证:HDHB;若2DK HC,求HE的长【答案】(1)见解析;(2)见解析;1HE【分析】(1)直接根据 SAS 证明即可;(2)根据(1)中结果及题意,证明DFE为等腰直角三角形,根据直角三角形斜边上的中线即可证明HDHB;根据已知条件,先证明DCHBCH:,再证明DKFHEC:,然后根据等腰直角三角形的性质即可求出HE的长【详解】(1)证明:四边形ABCD是正方形,90CDADDCEDAF 又CEAF,DCEDAF:(2)证明;由(1)得DCEDAF:,DEDFCDEADF 90FDEADFADECDEADEADC DFE:为等腰直角三角形又DHEF,点H为EF的中点12HDEF同理,由HB是RtEBF斜边上的中线得,12HBEFHDHB 四边形ABCD是正方形,CDCB又,HDHBCHCH,DCHBCH:45DCHBCH 又DEF:为等腰直角三角形,45DFEHCEDFK 四边形ABCD是正方形,/ADBCDKFHEC DKFHEC:DKDFHEHCDK HCDF HE又在等腰直角三角形DFH中,22DFHFHE222DK HCDF HEHE1HE【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形的性质,熟知图形的性质与判定是解决本题的关键16(2021甘肃中考真题)问题解决:如图 1,在矩形ABCD中,点,E F分别在,AB BC边上,DEAF DEAF于点G(1)求证:四边形ABCD是正方形;(2)延长CB到点H,使得BHAE,判断AHF的形状,并说明理由类比迁移:如图 2,在菱形ABCD中,点,E F分别在,AB BC边上,DE与AF相交于点G,60,6,2DEAFAEDAEBF,求DE的长【答案】问题解决:(1)见解析;(2)等腰三角形,理由见解析;类比迁移:8【分析】问题解决:(1)证明矩形ABCD是正方形,则只需证明一组邻边相等即可结合DEAF和90DAE可知BAFADG,再利用矩形的边角性质即可证明ABFDAE:,即ABAD,即可求解;(2)由(1)中结论可知AEBF,再结合已知BHAE,即可证明ABHDAE,从而求得AHF是等腰三角形;类比迁移:由前面问题的结论想到延长CB到点H,使得6BHAE,结合菱形的性质,可以得到ABHDAE,再结合已知60AED可得等边AHF,最后利用线段BF长度即可求解【详解】解:问题解决:(1)证明:如图 1,四边形ABCD是矩形,90ABCDAB 90BAFGAD,90DEAFADGGADBAFADG 又,AFDEABFDAEABAD:矩形A