高等数学概率 数学期望精选PPT.ppt

高等数学概率 数学期望第1页，此课件共22页哦 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的的.而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了就够了.第2页，此课件共22页哦因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的特征是重要的.其中最常用的是其中最常用的是期望期望和和方差方差第3页，此课件共22页哦一、问题的引入一、问题的引入下面是两名射手的成绩统计表，问：哪个射下面是两名射手的成绩统计表，问：哪个射手的本领高？手的本领高？设想：每人都打了设想：每人都打了N枪。则枪。则总环数总环数甲：甲：80.4N90.1N100.5N9.1N乙：乙：80.3N90.4N100.3N9.0N第4页，此课件共22页哦总环数总环数甲：甲：80.4N90.1N100.5N9.1N乙：乙：80.3N90.4N100.3N9.0N平均每枪环数平均每枪环数甲：甲：9.1N/N9.1乙：乙：9.0N/N9.0甲射手的水平较高。甲射手的水平较高。相当于相当于80.490.1100.59.1相当于相当于80.390.4100.39.0第5页，此课件共22页哦在这里，我们用了在这里，我们用了平均每枪环数平均每枪环数这样一个指标这样一个指标来衡量甲、乙两个射手的水平，它是环数的来衡量甲、乙两个射手的水平，它是环数的以以概率为权的加权平均概率为权的加权平均，是，是“每枪环数每枪环数”这个随机这个随机变量的重要特征，称为期望。变量的重要特征，称为期望。第6页，此课件共22页哦二、随机变量的数学期望二、随机变量的数学期望 1、离散型、离散型r.v的数学期望的数学期望 定义定义1 设离散型随机变量设离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为:若级数若级数 绝对收敛，则称此级数的和为绝对收敛，则称此级数的和为r.v 的数学期望，简称期望或均值。记为的数学期望，简称期望或均值。记为即即第7页，此课件共22页哦例例1、设设r.v.服从服从01分布，求分布，求 。解：由题知解：由题知 的分布列为的分布列为第8页，此课件共22页哦例例2、假设一部机器在一天内发生故障的概率假设一部机器在一天内发生故障的概率为为0.20.2，机器发生故障时全天停止工作。若一，机器发生故障时全天停止工作。若一周周5 5个工作日里无故障，可获利润个工作日里无故障，可获利润1010万元；发万元；发生一次故障仍可获利润生一次故障仍可获利润5 5万元；发生两次故障万元；发生两次故障所获利润为零；发生三次或三次以上故障就要所获利润为零；发生三次或三次以上故障就要亏损亏损2 2万元。求一周内期望利润是多少？万元。求一周内期望利润是多少？解：设一周内所获利润为解：设一周内所获利润为 ，首先求出，首先求出 的的分布。分布。第9页，此课件共22页哦 的所有可能取值为的所有可能取值为10，5，0，2，（单位：万，（单位：万元）元）一周内期望利润为一周内期望利润为5.20896万元。万元。第10页，此课件共22页哦例例3、设设某射手每次击中目标的概率为某射手每次击中目标的概率为 p ，他，他手中有手中有10发子弹准备对一目标连续射击（每次发子弹准备对一目标连续射击（每次打一发），一旦击中目标或子弹打完了就立刻打一发），一旦击中目标或子弹打完了就立刻转移到别的地方去，问他在转移前平均射击几转移到别的地方去，问他在转移前平均射击几次？次？解：射手在转移前的射击次数是随机变量解：射手在转移前的射击次数是随机变量 首先求出首先求出 的分布。的分布。的所有可能取值为的所有可能取值为1，2 10。第11页，此课件共22页哦第12页，此课件共22页哦2、连续型、连续型r.v的数学期望的数学期望 定义定义2 设连续型随机变量设连续型随机变量 有概率密度有概率密度 ，若积分若积分 绝对收敛，则称此积分的值为绝对收敛，则称此积分的值为r.v 的数学期望，记为的数学期望，记为第13页，此课件共22页哦例例4、计算在区间计算在区间a,b上服从均匀分布的上服从均匀分布的r.v.的数学期望。的数学期望。解：由题知解：由题知 的概率密度为的概率密度为故故第14页，此课件共22页哦例例5、某种电子元件的使用寿命某种电子元件的使用寿命 是一个是一个r.v.其概率密度为其概率密度为 解：解：其中其中 ，求这种元件的平均使用寿命。，求这种元件的平均使用寿命。指数指数分布分布第15页，此课件共22页哦随机变量的数学期望是随机变量随机变量的数学期望是随机变量按其按其取值概率的加权平均取值概率的加权平均，表征其概率分布，表征其概率分布的的中心位置中心位置，是概率论发展早期就已，是概率论发展早期就已产生的一个重要概念。产生的一个重要概念。第16页，此课件共22页哦三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 1、离散型、离散型r.v的函数的数学期望的函数的数学期望 定义定义3 设离散型随机变量设离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为:则则 的期望为的期望为如果已知如果已知r.v.的分布，需要计算的不是的分布，需要计算的不是 的期望，的期望，而是它的某个函数而是它的某个函数 的期望，的期望，那么又应该如何计那么又应该如何计算呢？算呢？第17页，此课件共22页哦2、连续型、连续型r.v的函数的数学期望的函数的数学期望 定义定义4 设连续型随机变量设连续型随机变量 的概率密度为的概率密度为 则它的函数则它的函数 的期望为的期望为第18页，此课件共22页哦定义定义3和定义和定义4表明，求随机变量函数的表明，求随机变量函数的数学期望，并不需要先求出该函数的分数学期望，并不需要先求出该函数的分布，而是可直接利用原始的分布求得。布，而是可直接利用原始的分布求得。这将大大地简化计算。这将大大地简化计算。第19页，此课件共22页哦例例6、设设r.v.的分布列如下，求的分布列如下，求 ，。解：解：第20页，此课件共22页哦例例7、设设r.v.服从服从 上的均匀分布，求上的均匀分布，求 的数学期望。的数学期望。解：由题知解：由题知 的概率密度为的概率密度为故故第21页，此课件共22页哦设二维离散型随机向量设二维离散型随机向量 的概率分布为的概率分布为 ，i,j=1,2,.则则:设二维连续型随机向量设二维连续型随机向量 的密度函数为的密度函数为 ,则则:第22页，此课件共22页哦