第七章应力状态和强度理论PPT讲稿.ppt

第七章应力状态和强度理论第1页，共84页，编辑于2022年，星期二轴向拉压轴向拉压同一横截面上各点应力相等：同一横截面上各点应力相等：FF同一点在斜截面上时：同一点在斜截面上时：同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的第2页，共84页，编辑于2022年，星期二 横横截截面面上上正正应应力力分分析析和和切切应应力力分分析析的的结结果果表表明明：同同一一面面上上不不同同点点的的应应力力各各不不相相同同。第3页，共84页，编辑于2022年，星期二F laS13S S平面平面zMzT4321yx第4页，共84页，编辑于2022年，星期二7-1 应力状态的基本概念应力状态的基本概念一、单元体一、单元体一、单元体一、单元体微元微元微元微元单元体单元体单元体单元体单元体边长无穷小；单元体边长无穷小；单元体边长无穷小；单元体边长无穷小；应力沿边长无变化；应力沿边长无变化；应力沿边长无变化；应力沿边长无变化；单元体各个面上的应力是均匀分布的；单元体各个面上的应力是均匀分布的；单元体各个面上的应力是均匀分布的；单元体各个面上的应力是均匀分布的；两个平行面上的应力大小相等。两个平行面上的应力大小相等。两个平行面上的应力大小相等。两个平行面上的应力大小相等。第5页，共84页，编辑于2022年，星期二二、应力状态的概念二、应力状态的概念二、应力状态的概念二、应力状态的概念 受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合，称之为这一点的受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合，称之为这一点的受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合，称之为这一点的受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合，称之为这一点的应力状态应力状态应力状态应力状态。三、主单元体、主应力与主平面三、主单元体、主应力与主平面三、主单元体、主应力与主平面三、主单元体、主应力与主平面主单元体：主单元体：主单元体：主单元体：各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体。主平面：主平面：主平面：主平面：切应力为零的平面。切应力为零的平面。切应力为零的平面。切应力为零的平面。主应力：主应力：主应力：主应力：主平面上的正应力。主平面上的正应力。主平面上的正应力。主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，主应力排列规定：按代数值大小，主应力排列规定：按代数值大小，主应力排列规定：按代数值大小，第6页，共84页，编辑于2022年，星期二三、应力状态的分类三、应力状态的分类三、应力状态的分类三、应力状态的分类三个主应力中只有一个不等于三个主应力中只有一个不等于三个主应力中只有一个不等于三个主应力中只有一个不等于0 0 单向应力状态单向应力状态单向应力状态单向应力状态第7页，共84页，编辑于2022年，星期二三个主应力中有两个不等于三个主应力中有两个不等于三个主应力中有两个不等于三个主应力中有两个不等于0 0 二向（平面）应力状态二向（平面）应力状态二向（平面）应力状态二向（平面）应力状态三、应力状态的分类三、应力状态的分类三、应力状态的分类三、应力状态的分类第8页，共84页，编辑于2022年，星期二三个主应力都不等于三个主应力都不等于三个主应力都不等于三个主应力都不等于0 0 三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态三、应力状态的分类三、应力状态的分类三、应力状态的分类三、应力状态的分类在车轮压力作用下，车轮与钢轨接触点在车轮压力作用下，车轮与钢轨接触点A处的应力状态处的应力状态 第9页，共84页，编辑于2022年，星期二7-2平面应力状态分析平面应力状态分析一、平面应力状态分析的解析法一、平面应力状态分析的解析法一、平面应力状态分析的解析法一、平面应力状态分析的解析法 平面应力状态是工程中最为常见的一种应力情况，一般的单元体如图：平面应力状态是工程中最为常见的一种应力情况，一般的单元体如图：平面应力状态是工程中最为常见的一种应力情况，一般的单元体如图：平面应力状态是工程中最为常见的一种应力情况，一般的单元体如图：1 1、解析法求斜截面上的应力、解析法求斜截面上的应力、解析法求斜截面上的应力、解析法求斜截面上的应力第10页，共84页，编辑于2022年，星期二左图中上述各项方向均为正方向左图中上述各项方向均为正方向左图中上述各项方向均为正方向左图中上述各项方向均为正方向 切切切切应应应应力力力力的的的的符符符符号号号号规规规规定定定定：若若若若切切切切应应应应力力力力对对对对所所所所在在在在截截截截面面面面内内内内侧侧侧侧任任任任意意意意点点点点之之之之矩矩矩矩为为为为顺时针顺时针顺时针顺时针方向时，方向时，方向时，方向时，为正为正为正为正号，反之，逆为负号。号，反之，逆为负号。号，反之，逆为负号。号，反之，逆为负号。正应力的符号规定正应力的符号规定正应力的符号规定正应力的符号规定：正应力为：正应力为：正应力为：正应力为拉应力，拉应力，拉应力，拉应力，即方向背离截面时，即方向背离截面时，即方向背离截面时，即方向背离截面时，规定规定规定规定为正为正为正为正；正应力为；正应力为；正应力为；正应力为压应力压应力压应力压应力，即方向指向截面时，规定，即方向指向截面时，规定，即方向指向截面时，规定，即方向指向截面时，规定为负为负为负为负。斜斜斜斜截截截截面面面面方方方方位位位位角角角角的的的的符符符符号号号号规规规规定定定定：由由由由x x轴轴轴轴转转转转向向向向外外外外法法法法线线线线n n为为为为逆逆逆逆时时时时针针针针转转转转向向向向时，时，时，时，为正为正为正为正号，反之，顺为负号。号，反之，顺为负号。号，反之，顺为负号。号，反之，顺为负号。通过截面外法线的方位定义截面的位置通过截面外法线的方位定义截面的位置通过截面外法线的方位定义截面的位置通过截面外法线的方位定义截面的位置1 1、解析法求斜截面上的应力、解析法求斜截面上的应力、解析法求斜截面上的应力、解析法求斜截面上的应力 xna第11页，共84页，编辑于2022年，星期二1 1、解析法求斜截面上的应力、解析法求斜截面上的应力、解析法求斜截面上的应力、解析法求斜截面上的应力 第12页，共84页，编辑于2022年，星期二对以上两个式子进行数学整理，可得到任意斜截面上的正应力和切应力的对以上两个式子进行数学整理，可得到任意斜截面上的正应力和切应力的对以上两个式子进行数学整理，可得到任意斜截面上的正应力和切应力的对以上两个式子进行数学整理，可得到任意斜截面上的正应力和切应力的一般公式一般公式一般公式一般公式:1 1、解析法求斜截面上的应力、解析法求斜截面上的应力、解析法求斜截面上的应力、解析法求斜截面上的应力 第13页，共84页，编辑于2022年，星期二2 2、应力极值、应力极值、应力极值、应力极值 a a a a和和和和 a a a a随着随着随着随着a a a a的变化而变化，是的变化而变化，是的变化而变化，是的变化而变化，是a a a a的函的函的函的函数，对数，对数，对数，对a a a a求导数可得到其极值。求导数可得到其极值。求导数可得到其极值。求导数可得到其极值。若若若若a a a a=a a a a0 0 0 0时，导数为时，导数为时，导数为时，导数为0 0 0 0通过上式可以求出相差通过上式可以求出相差通过上式可以求出相差通过上式可以求出相差p/2p/2p/2p/2的两个角度的两个角度的两个角度的两个角度a a a a0 0 0 0，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在平面。另一个是最小正应力所在平面。另一个是最小正应力所在平面。另一个是最小正应力所在平面。第14页，共84页，编辑于2022年，星期二若将若将若将若将a a a a0 0 0 0的值代入切应力公式的值代入切应力公式的值代入切应力公式的值代入切应力公式:可得可得可得可得:得到以下结论得到以下结论得到以下结论得到以下结论:1)1)切应力为切应力为切应力为切应力为0 0的平面上，正应力为最大或最小值；的平面上，正应力为最大或最小值；的平面上，正应力为最大或最小值；的平面上，正应力为最大或最小值；2)2)切应力为切应力为切应力为切应力为0 0的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，所以主的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，所以主的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，所以主的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，所以主应力就是最大或者最小的正应力。应力就是最大或者最小的正应力。应力就是最大或者最小的正应力。应力就是最大或者最小的正应力。将将将将a a a a0 0 0 0代入代入代入代入 a a a a的计算公式，的计算公式，的计算公式，的计算公式，计算得到最大和最小正应力计算得到最大和最小正应力计算得到最大和最小正应力计算得到最大和最小正应力2 2、应力极值、应力极值、应力极值、应力极值 第15页，共84页，编辑于2022年，星期二试求试求（1 1）斜面上的应力；斜面上的应力；（2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面；（3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。已知已知第16页，共84页，编辑于2022年，星期二解：解：（1 1）斜面上的应力斜面上的应力 第17页，共84页，编辑于2022年，星期二（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面 第18页，共84页，编辑于2022年，星期二主平面的方位：主平面的方位：代入代入 表达式可知表达式可知主应力主应力 方向：方向：主应力主应力 方向：方向：第19页，共84页，编辑于2022年，星期二（3 3）主应力单元体：）主应力单元体：第20页，共84页，编辑于2022年，星期二课堂练习课堂练习:求图示单元体斜面求图示单元体斜面dede上的正应力和切应力，主应力，绘出主单元体，单位上的正应力和切应力，主应力，绘出主单元体，单位MPaMPa第21页，共84页，编辑于2022年，星期二例例例例7-27-2 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。第22页，共84页，编辑于2022年，星期二圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其数值为其数值为其数值为其数值为:在圆轴表层，取出单元体。在圆轴表层，取出单元体。在圆轴表层，取出单元体。在圆轴表层，取出单元体。例例例例7-27-2第23页，共84页，编辑于2022年，星期二n n1 1和和和和n n2 2是截面的法线。因此主单元体应如图所是截面的法线。因此主单元体应如图所是截面的法线。因此主单元体应如图所是截面的法线。因此主单元体应如图所示示示示3 3个主应力按照代数排序个主应力按照代数排序个主应力按照代数排序个主应力按照代数排序例例例例7-27-2第24页，共84页，编辑于2022年，星期二 圆截面铸铁试件扭转时，表面各点圆截面铸铁试件扭转时，表面各点圆截面铸铁试件扭转时，表面各点圆截面铸铁试件扭转时，表面各点 maxmax所在平面连成倾角为所在平面连成倾角为所在平面连成倾角为所在平面连成倾角为4545的螺旋面。由于铸铁抗拉强度较低，试件的螺旋面。由于铸铁抗拉强度较低，试件的螺旋面。由于铸铁抗拉强度较低，试件的螺旋面。由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。例例例例7-27-2第25页，共84页，编辑于2022年，星期二3 3、二向应力状态实例、二向应力状态实例、二向应力状态实例、二向应力状态实例取取取取n-nn-n截面，分析上面部分截面，分析上面部分截面，分析上面部分截面，分析上面部分承受内压的薄壁容器承受内压的薄壁容器第26页，共84页，编辑于2022年，星期二取图示部分加以分析取图示部分加以分析取图示部分加以分析取图示部分加以分析如图示取一段微面积如图示取一段微面积如图示取一段微面积如图示取一段微面积微面积上的压力微面积上的压力微面积上的压力微面积上的压力压力在压力在压力在压力在 y y 轴上投影轴上投影轴上投影轴上投影和为和为和为和为3 3、二向应力状态实例、二向应力状态实例、二向应力状态实例、二向应力状态实例第27页，共84页，编辑于2022年，星期二3 3、二向应力状态实例、二向应力状态实例、二向应力状态实例、二向应力状态实例第28页，共84页，编辑于2022年，星期二1 1、应力圆的概念、应力圆的概念将以上两式取平方和将以上两式取平方和若以若以 a a，a a 为变量，则为圆方程为变量，则为圆方程圆心圆心:半径半径:圆周上的每一个点的横纵座标分别代表所研究的单元体某截面的正应力和切应力，故称圆周上的每一个点的横纵座标分别代表所研究的单元体某截面的正应力和切应力，故称应力圆应力圆，或，或莫尔圆莫尔圆。二、平面应力状态分析的图解法二、平面应力状态分析的图解法二、平面应力状态分析的图解法二、平面应力状态分析的图解法第29页，共84页，编辑于2022年，星期二2 2、应力圆的绘制、应力圆的绘制Step1:Step1:确定点确定点D(D(x,xy)Step2:Step2:确定点确定点D(D(y,yx)yx=-xyStep3:Step3:连接连接DDDD与与 轴交于轴交于C C点点Step4:Step4:以以C C为圆心，为圆心，CDCD（CDCD）为半径画圆。）为半径画圆。D(x,xy)D/(y,yx)cRADxy第30页，共84页，编辑于2022年，星期二3 3、利用应力圆确定、利用应力圆确定a a 截面上的正应力和切应力截面上的正应力和切应力作法作法:DD点代表的是以点代表的是以x轴为外法线的面上的应力轴为外法线的面上的应力 由由x轴轴到到任任意意斜斜面面法法线线n 的的夹夹角角为为逆逆（顺顺）时时针针的的a a角角，在在应应力力圆圆上上，从从D点点也也按按逆逆（顺顺）时时针针转转动动，且且使使对对应应的的圆圆心心角为角为2a a。（。（2倍角关系）倍角关系）D(x,xy)D/(y,yx)cxyHnH第31页，共84页，编辑于2022年，星期二注意根据注意根据两倍角关系两倍角关系确定主平面所在的位置。确定主平面所在的位置。4 4、利用应力圆求主单元体（主应力的大小和方位）、利用应力圆求主单元体（主应力的大小和方位）第32页，共84页，编辑于2022年，星期二课堂练习课堂练习:已知如图所示的单元体已知如图所示的单元体.求主应力，并确定主平面的位置。求主应力，并确定主平面的位置。第33页，共84页，编辑于2022年，星期二1 1、三向应力状态的应力圆、三向应力状态的应力圆 如图所示三向应力状态的主单元体如图所示三向应力状态的主单元体 考察图示的三棱柱体，斜面与前后面相垂直。考察图示的三棱柱体，斜面与前后面相垂直。平行于平行于 3 3的斜面上的应力，仅与的斜面上的应力，仅与 1 1和和 2 2有关，则可由有关，则可由 1 1和和 2 2所确定的应力圆上的相应点的坐标来表示。所确定的应力圆上的相应点的坐标来表示。同理单元体内与同理单元体内与 1 1平行的各斜面上的应力可由平行的各斜面上的应力可由 3 3和和 2 2所作所作的应力圆上的坐标表示，单元体内与的应力圆上的坐标表示，单元体内与 2 2平行的各斜平行的各斜面上的应力可由面上的应力可由 1 1和和 3 3所作的应力圆上的坐标表示。所作的应力圆上的坐标表示。7-3 7-3 三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆三向应力状态的应力圆第34页，共84页，编辑于2022年，星期二1 1、三向应力状态的应力圆、三向应力状态的应力圆 研究表明研究表明:对于与三个主应力均不平行的任意斜面上的对于与三个主应力均不平行的任意斜面上的应力，它们在应力，它们在-坐标平面内对应的点必位于由上述三个坐标平面内对应的点必位于由上述三个应力圆所构成的绿色区域内。应力圆所构成的绿色区域内。第35页，共84页，编辑于2022年，星期二2 2、三向应力状态的最大切应力、三向应力状态的最大切应力 第36页，共84页，编辑于2022年，星期二1 1、广义胡克定律的简单推导、广义胡克定律的简单推导 前面谈到的胡克定律前面谈到的胡克定律:单向拉伸条件下杆件产生横向应变单向拉伸条件下杆件产生横向应变:纯剪切情况下纯剪切情况下:最一般情况下，描述一点的应力状态需要九个应力分量，最一般情况下，描述一点的应力状态需要九个应力分量，如图所示如图所示:根据切应力互等定理根据切应力互等定理则独立的应力分量只有六个。则独立的应力分量只有六个。7-4 广义胡克定律广义胡克定律第37页，共84页，编辑于2022年，星期二1 1、广义胡克定律的简单推导、广义胡克定律的简单推导 对于各向同性材料对于各向同性材料:小变形及线弹性范围内，线应变只和正应力有关，与切应力小变形及线弹性范围内，线应变只和正应力有关，与切应力无关；而切应变只和切应力有关，与正应力无关。无关；而切应变只和切应力有关，与正应力无关。利用叠加法可求得各方向上的线应变。利用叠加法可求得各方向上的线应变。第38页，共84页，编辑于2022年，星期二=+1 1、广义胡克定律的简单推导、广义胡克定律的简单推导 第39页，共84页，编辑于2022年，星期二利用同样的方法可以求得利用同样的方法可以求得 y 和和 z 方向上的线应变。最后可得方向上的线应变。最后可得:切应变和切应力之间，与正应力无关，因此切应变和切应力之间，与正应力无关，因此:以上被称为以上被称为广义胡克定律广义胡克定律。1 1、广义胡克定律的简单推导、广义胡克定律的简单推导 第40页，共84页，编辑于2022年，星期二对平面应力状态：设对平面应力状态：设 z=0，xz=0，yz=0，有：，有：第41页，共84页，编辑于2022年，星期二当单元体的周围六个面皆为主平面时当单元体的周围六个面皆为主平面时:1 1、2 2、3 3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。1 1、广义胡克定律的简单推导、广义胡克定律的简单推导 二向应力状态：二向应力状态：设设有有第42页，共84页，编辑于2022年，星期二2 2、体积应变与体积模量、体积应变与体积模量 当单元体处在复杂应力状态时，其体积也将发生变化，如图所示当单元体处在复杂应力状态时，其体积也将发生变化，如图所示:变形前的体积变形前的体积:变形后边长变化为变形后边长变化为:体积变化为体积变化为:略去高阶微量略去高阶微量:第43页，共84页，编辑于2022年，星期二单位体积的改变或体积应变为单位体积的改变或体积应变为:主应力平均值主应力平均值体积弹性模量体积弹性模量2 2、体积应变与体积模量、体积应变与体积模量 第44页，共84页，编辑于2022年，星期二例例7-3 在在一一体体积积较较大大的的钢钢块块上上有有一一直直径径为为50.01mm的的凹凹座座，凹凹座座内内放放置置一一直直径径为为50mm的的钢钢制制圆圆柱柱如如图图，圆圆柱柱受受到到F=300kN的的轴轴向向压压力力。假假设设钢钢块块不不变变形形，试试求求圆圆柱柱的的主主应应力力。取取E=200GPa，=0.30。FpppF/App312第45页，共84页，编辑于2022年，星期二例例7-3 在在一一体体积积较较大大的的钢钢块块上上有有一一直直径径为为50.01mm的的凹凹座座，凹凹座座内内放放置置一一直直径径为为50mm的的钢钢制制圆圆柱柱如如图图，圆柱受到圆柱受到F=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，=0.30。在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一。柱体内任一点均为二向压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为点均为二向压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变e e2的值为：的值为：解：解：在柱体横截面上的压应力为：在柱体横截面上的压应力为：F第46页，共84页，编辑于2022年，星期二 柱内各点的三个主应力为：柱内各点的三个主应力为：求得：求得：由广义虎克定律：由广义虎克定律：例例7-3 在在一一体体积积较较大大的的钢钢块块上上有有一一直直径径为为50.01mm的的凹凹座座，凹凹座座内内放放置置一一直直径径为为50mm的的钢钢制制圆圆柱柱如如图图，圆圆柱柱受受到到F=300kN的的轴轴向向压压力力。假假设设钢钢块块不不变变形形，试试求求圆圆柱柱的的主主应应力力。取取E=200GPa，=0.30。F第47页，共84页，编辑于2022年，星期二例例 边边长长a=0.1m的的铜铜立立方方块块，无无间间隙隙地地放放入入体体积积较较大大、变变形形可可忽忽略略的的钢钢凹凹槽槽中中，如如图图a所所示示。已已知知铜铜的的弹弹性性模模量量E=100GPa，泊泊松松比比 =0.34。当当受受到到F=300kN的的均均布布压压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。解：铜块应力状态如图解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：所示，横截面上的压应力为：sysxsz(b)yxz(a)Faaa第48页，共84页，编辑于2022年，星期二联解可得：联解可得：受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：第49页，共84页，编辑于2022年，星期二利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：则铜块的主应力为：则铜块的主应力为：由此可得其体应变为：由此可得其体应变为：第50页，共84页，编辑于2022年，星期二 物体在外力作用下发生弹性变形，物体在外力作用下发生弹性变形，外力所作的功将使物体积蓄变形能，当外力卸除后，此变形能释放并对外做外力所作的功将使物体积蓄变形能，当外力卸除后，此变形能释放并对外做功。功。这种以弹性变形形式积蓄的能量被称为这种以弹性变形形式积蓄的能量被称为 弹性变形能弹性变形能。若外力作用方式是缓慢加载，变形在弹性范围内，则可忽略动能和其他能量损耗，而以外力作功若外力作用方式是缓慢加载，变形在弹性范围内，则可忽略动能和其他能量损耗，而以外力作功的大小来计算弹性变形能的大小。的大小来计算弹性变形能的大小。7-5 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度第51页，共84页，编辑于2022年，星期二三向应力状态下：单元体的应变能密度为：三向应力状态下：单元体的应变能密度为：代入广义胡克定律代入广义胡克定律:7-5 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度第52页，共84页，编辑于2022年，星期二物体的变形可以分成两个部分物体的变形可以分成两个部分:1:1、体积改变、体积改变 2 2、形状改变。、形状改变。将三向应力状态的主单元体分为两组将三向应力状态的主单元体分为两组:=+7-5 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度第53页，共84页，编辑于2022年，星期二 第一组应力第一组应力 mm为平均应力，在它的作用下单元体沿各方向均匀变为平均应力，在它的作用下单元体沿各方向均匀变形，无形状变化。由此引起的变形能密度，称为形，无形状变化。由此引起的变形能密度，称为体积改变能密度体积改变能密度。由广义胡克定律解出由广义胡克定律解出 mm 代入变形能密度公式，并简化得代入变形能密度公式，并简化得7-5 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度第54页，共84页，编辑于2022年，星期二 第二组应力下单元体体积的改变量为第二组应力下单元体体积的改变量为0 0（可自己验证体积应变），（可自己验证体积应变），而各边的变形不同，故只有形状改变。第二组应力引起的变形能密度而各边的变形不同，故只有形状改变。第二组应力引起的变形能密度称为称为形状改变变形能密度形状改变变形能密度。根据已经求得的根据已经求得的vv和和 ，形状改变变形能密度和体积改变变形能密度的和是总的变形能密度。形状改变变形能密度和体积改变变形能密度的和是总的变形能密度。7-5 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度第55页，共84页，编辑于2022年，星期二7-6 7-6 强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力ss1 1、概述、概述 1 1）单向应力状态：）单向应力状态：图示拉伸或压缩的单向应力状态，材料的破坏有两种形式：图示拉伸或压缩的单向应力状态，材料的破坏有两种形式：塑性屈服：极限应力为塑性屈服：极限应力为脆性断裂：极限应力为脆性断裂：极限应力为 此时，此时，s、0.2和和 b可由实验测得。由此可建立如下强度条件：可由实验测得。由此可建立如下强度条件：或或第56页，共84页，编辑于2022年，星期二2)2)纯剪应力状态：纯剪应力状态：其中其中n为安全系数。为安全系数。图示纯剪应力状态，材料的破坏有两种形式：图示纯剪应力状态，材料的破坏有两种形式：塑性屈服：极限应力为塑性屈服：极限应力为脆性断裂：极限应力为脆性断裂：极限应力为 其中，其中，s和和 b可由实验测得。由此可建立如下强度条件：可由实验测得。由此可建立如下强度条件：第57页，共84页，编辑于2022年，星期二3 3）复杂应力状态）复杂应力状态txysx来建立，因为来建立，因为 与与 之间会之间会相互影响。相互影响。研研究究复复杂杂应应力力状状态态下下材材料料破破坏坏的的原原因因，根根据据一一定定的的假假设设来来确确定定破破坏坏条条件件，从从而而建建立强度条件立强度条件，这就是强度理论的研究内容。，这就是强度理论的研究内容。对图示平面应力状态，不能分别用对图示平面应力状态，不能分别用第58页，共84页，编辑于2022年，星期二4 4）材料破坏的形式）材料破坏的形式 塑性屈服型：塑性屈服型：常温、静载时材料的破坏形式大致可分为：常温、静载时材料的破坏形式大致可分为：脆性断裂型：脆性断裂型：铸铁：拉伸、扭转等；铸铁：拉伸、扭转等；低碳钢：三向拉应力状态。低碳钢：三向拉应力状态。低碳钢：拉伸、扭转等；低碳钢：拉伸、扭转等；铸铁：三向压缩应力状态。铸铁：三向压缩应力状态。例如：例如：例如：例如：可见：可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关。材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关。第59页，共84页，编辑于2022年，星期二 根根据据一一些些实实验验资资料料，针针对对上上述述两两种种破破坏坏形形式式，分分别别针针对对它它们们发发生生破破坏坏的的原原因因提提出出假假说说，并并认认为为不不论论材材料料处处于于何何种种应应力力状状态态，某某种种类类型型的的破破坏坏都都是是由由同同一一因素引起，此即为因素引起，此即为强度理论强度理论。脆性断裂：脆性断裂：塑性断裂：塑性断裂：5 5）强度理论）强度理论常用的破坏判据有：常用的破坏判据有：下面将讨论常用的、基于上述四种破坏判据的强度理论。下面将讨论常用的、基于上述四种破坏判据的强度理论。第60页，共84页，编辑于2022年，星期二2、四个常用的强度理论 强度条件：强度条件：1 1）最大拉应力理论）最大拉应力理论(第一强度理论第一强度理论)假假设设最最大大拉拉应应力力 1是是引引起起材材料料脆脆性性断断裂裂的的因因素素。不不论论在在什什么么样样的的应应力力状状态态下下，只只要三个主应力中的最大拉应力要三个主应力中的最大拉应力 1达到极限应力达到极限应力 u，材料就发生脆性断裂，即：，材料就发生脆性断裂，即：可见：可见：a)与与 2、3无关；无关；b)应力应力 u可用单向拉伸试样发生脆性断裂的可用单向拉伸试样发生脆性断裂的 试验来确定。试验来确定。第61页，共84页，编辑于2022年，星期二实实验验验验证证：铸铸铁铁：单单拉拉、纯纯剪剪应应力力状状态态下下的的破破坏坏与与该该理理论论相相符符；平平面面应应力力状状态态下的破坏和该理论基本相符。下的破坏和该理论基本相符。存在问题：存在问题：没有考虑没有考虑 2、3对脆断的影响，无法解释石料单压时的纵向开裂现象。对脆断的影响，无法解释石料单压时的纵向开裂现象。假设最大伸长线应变假设最大伸长线应变 1是引起脆性破坏的主要因素，则：是引起脆性破坏的主要因素，则：u用单向拉伸测定，即：用单向拉伸测定，即：2 2）最大伸长线应变理论）最大伸长线应变理论(第二强度理论第二强度理论)第62页，共84页，编辑于2022年，星期二实验验证：实验验证：a)可解释大理石单压时的纵向裂缝；可解释大理石单压时的纵向裂缝；b)铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符；铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符；c)对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于 安全，但可用。安全，但可用。因此有：因此有：强度条件为：强度条件为：因为：因为：第63页，共84页，编辑于2022年，星期二 对对低低碳碳钢钢等等塑塑性性材材料料，单单向向拉拉伸伸时时的的屈屈服服是是由由45斜斜截截面面上上的的切切应应力力引引起起的的，因而极限应力因而极限应力 u可由单拉时的屈服应力求得可由单拉时的屈服应力求得，即：，即：3 3）最大切应力理论）最大切应力理论(第三强度理论第三强度理论)假设最大切应力假设最大切应力 max是引起材料塑性屈服的因素，则：是引起材料塑性屈服的因素，则：因为：因为：第64页，共84页，编辑于2022年，星期二实验验证：实验验证：c)二向应力状态基本符合，偏于安全。二向应力状态基本符合，偏于安全。b)仅适用于拉压性能相同的材料。仅适用于拉压性能相同的材料。由此可得，强度条件为：由此可得，强度条件为：a)仅适用于拉压性能相同的材料；仅适用于拉压性能相同的材料；b)低碳钢单拉低碳钢单拉(压压)对对45 滑移线吻合；滑移线吻合；存在问题：存在问题：a)没考虑没考虑 2对屈服的影响，偏于安全，但误差较大；对屈服的影响，偏于安全，但误差较大；第65页，共84页，编辑于2022年，星期二 假设形状改变能密度假设形状改变能密度vd是引起材料塑性屈服的因素，即：是引起材料塑性屈服的因素，即：4 4）形状改变能密度理论）形状改变能密度理论(第四强度理论第四强度理论)因为材料单拉屈服时有：因为材料单拉屈服时有：可通过单拉试验来确定。可通过单拉试验来确定。所以：所以：又：又：第66页，共84页，编辑于2022年，星期二因此：因此：由此可得强度条件为：由此可得强度条件为：实验验证：实验验证：a)较第三强度理论更接近实际值；较第三强度理论更接近实际值；b)材料拉压性能相同时成立。材料拉压性能相同时成立。第67页，共84页，编辑于2022年，星期二强度理论的统一形式：强度理论的统一形式：最大拉应力最大拉应力(第一强度第一强度)理论：理论：最大伸长线应变最大伸长线应变(第二强度第二强度)理论：理论：最大切应力最大切应力(第三强度第三强度)理论：理论：r称为称为相当应力相当应力，分别为：，分别为：形状改变能密度形状改变能密度(第四强度第四强度)理论：理论：第68页，共84页，编辑于2022年，星期二应用范围：应用范围：a)仅适用于常温、静载条件下的均匀、连续、各向同性的材料；仅适用于常温、静载条件下的均匀、连续、各向同性的材料；b)不论塑性或脆性材料，在三向拉应力状态都发生脆性断裂，宜采用第一强度理论；不论塑性或脆性材料，在三向拉应力状态都发生脆性断裂，宜采用第一强度理论；c)对于脆性材料，在二向拉应力状态下宜采用第一强度理论；对于脆性材料，在二向拉应力状态下宜采用第一强度理论；d)对对塑塑性性材材料料，除除三三向向拉拉应应力力状状态态外外都都会会发发生生屈屈服服，宜宜采采用用第第三三或或第第四四强强度度理理论；论；e)不不论论塑塑性性或或脆脆性性材材料料，在在三三向向压压应应力力状状态态都都发发生生屈屈服服失失效效，宜宜采采用用第第四四强强度度理论。理论。3、强度理论的应用、强度理论的应用第69页，共84页，编辑于2022年，星期二例例 两两危危险险点点的的应应力力状状态态如如图图，=，由由第第三三、第第四四强强度度理理论论分分别别比比较较其其危危险险程程度。度。解：对图解：对图a所示应力状态，因为所示应力状态，因为第70页，共84页，编辑于2022年，星期二所以：所以：第71页，共84页，编辑于2022年，星期二对图对图b所示应力状态，有：所示应力状态，有：所以：所以：第72页，共84页，编辑于2022年，星期二 可可见见：由由第第三三强强度度理理论论，图图b所所示示应应力力状状态态比比图图a所所示示的的安安全全；而而由由第第四四强强度理论，两者的危险程度一样。度理论，两者的危险程度一样。注意：注意：图图a所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组合加载对应的应力状态，其相所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组合加载对应的应力状态，其相当应力如下：当应力如下：可记住，便于组合变形的强度校核。可记住，便于组合变形的强度校核。第73页，共84页，编辑于2022年，星期二由第三强度理论，有：由第三强度理论，有：例例 利利用用第第三三或或第第四四强强度度理理论论求求纯纯剪剪应应力力状状态态下下屈屈服服应应力力 s和和拉拉压压屈屈服服应应力力 s之之间间的的关系。关系。t 当当 =s时材料发生屈服，因此有：时材料发生屈服，因此有：解：图示纯剪应力状态的主应力为：解：图示纯剪应力状态的主应力为：而当材料拉压屈服时有：而当材料拉压屈服时有：第74页，共84页，编辑于2022年，星期二由此可得：由此可得：利用第四强度理论，有：利用第四强度理论，有：即，即，纯剪：纯剪：单拉：单拉：由此可得：由此可得：第75页，共84页，编辑于2022年，星期二 例例 两两端端简简支支的的工工字字钢钢梁梁承承受受荷荷载载如如图图a所所示示。已已知知材材料料（Q235钢钢）的的许许用用应应力力为为=170MPa和和=100MPa。试按强度条件选择工字钢号码。试按强度条件选择工字钢号码。解：首先确定钢梁的危险截面。解：首先确定钢梁的危险截面。作作出出梁梁的的剪剪力力图图和和弯弯矩矩图图如如图图b和和图图c所所示示，可可见见C、D截截面面为为危危险险截截面面，取取C截截面面计算，其剪力和弯矩为：计算，其剪力和弯矩为：(b)200kN200kNFS图M图(c)84kNm(a)B0.42 m2.50 mAC200 kN200 kN0.42 m1.66 mD第76页，共84页，编辑于2022年，星期二 先先按按正正应应力力强强度度条条件件选选择择截截面面型型号号。因因最最大大正正应应力力发发生生在在C截截面面的的上上、下下边边缘缘处，且为单向应力状态，由正应力强度条件可得截面系数为：处，且为单向应力状态，由正应力强度条件可得截面系数为：据此可选用据此可选用28a号工字钢，其截面系数为：号工字钢，其截面系数为：再按切应力强度条件进行校核。对再按切应力强度条件进行校核。对28a号工字钢，查表可得截面几何性质为：号工字钢，查表可得截面几何性质为：第77页，共84页，编辑于2022年，星期二中性轴处的最大切应力（纯剪应力状态）为：中性轴处的最大切应力（纯剪应力状态）为：可可见见，选选用用28a号号工工字