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第二章系统的数学模型本讲稿第一页，共四十四页2.1 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立v单变量线性定常系统单变量线性定常系统 输出在左，输入在右，降阶排列。输出在左，输入在右，降阶排列。v列写步骤：列写步骤：1）确定输出与输入量。）确定输出与输入量。2）列写原始方程组，方程个数比中间变量多）列写原始方程组，方程个数比中间变量多1。3）消去中间变量。）消去中间变量。4）标准化整理。）标准化整理。本讲稿第二页，共四十四页v简单的电气系统与机械系统举例。简单的电气系统与机械系统举例。v1.电气系统电气系统v常用关系式常用关系式v例例2-1-1 列写微分方程式。列写微分方程式。v解解 设回路电流为中间变量。设回路电流为中间变量。本讲稿第三页，共四十四页v例例 2-1-2 列写微分方程式。列写微分方程式。v解解 运算放大器的正、反相运算放大器的正、反相 输入端电位相同，输入电流输入端电位相同，输入电流 为零。为零。本讲稿第四页，共四十四页v2.机械系统机械系统v遵循力学定律。遵循力学定律。v例例 2-1-3 列写系统的运动方程式。列写系统的运动方程式。v解解本讲稿第五页，共四十四页v例例 2-1-4 列写系统的运动方程式。列写系统的运动方程式。v解解v例例 2-1-5 列写系统的运列写系统的运 动方程。动方程。v解解本讲稿第六页，共四十四页拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）变换变换初步）变换变换初步v复变函数复变函数以复数作为自变量的函数就叫做复变函数。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数。v积分变换积分变换傅里叶变换（傅氏变换）：时域实频域傅里叶变换（傅氏变换）：时域实频域拉普拉斯变换（拉氏变换）：时域复频域拉普拉斯变换（拉氏变换）：时域复频域Z变换：离散序列变换：离散序列 小波变换等小波变换等本讲稿第七页，共四十四页拉氏变换定义拉氏变换定义v对对于于一一阶阶电电路路、二二阶阶电电路路，根根据据基基尔尔霍霍夫夫定定律律和和元元件件的的VCR列列出出微微分分方方程程，根根据据换换路路后后动动态态元元件件的的初初值值求求解解微微分分方方程程。对对于于含含有有多多个个动动态态元元件件的的复复杂杂电电路路，用用经经典典的的微微分分方方程程法法来来求求解解比比较较困困难难（各各阶阶导导数数在在t=0+时时刻刻的的值值难难以以确确定定）。拉拉氏氏变变换换法法是是一一种种数数学学上上的的积积分分变变换换方方法法，可可将将时时域域的的高高阶阶微微分分方方程程变变换换为为频频域域的的代代数方程来求解。数方程来求解。时域时域时域时域微分微分微分微分方程方程方程方程频域频域频域频域代数代数代数代数方程方程方程方程拉氏变换拉氏变换拉氏变换拉氏变换拉氏逆变换拉氏逆变换拉氏逆变换拉氏逆变换求解求解求解求解时域时域时域时域解解解解优点：不需要确定积分常数，适用优点：不需要确定积分常数，适用于高阶复杂的动态电路。于高阶复杂的动态电路。本讲稿第八页，共四十四页拉氏变换定义拉氏变换定义：一个定义在：一个定义在0，）区间的函数）区间的函数 f(t)，它的拉氏变换定义为：，它的拉氏变换定义为：式中：式中：s=+j (复数复数)f(t)称为原函数，是称为原函数，是 t 的函数。的函数。F(s)称为象函数，是称为象函数，是s 的函数。的函数。积分下限从积分下限从0-开始，可以计及开始，可以计及 t=0时时 f(t)所包含的冲激所包含的冲激。本讲稿第九页，共四十四页拉氏反变换拉氏反变换：如果：如果F(s)已知，由已知，由F(s)到到f(t)的变换称为的变换称为拉氏反变换，它定义为：拉氏反变换，它定义为：本讲稿第十页，共四十四页拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质（1）线性线性微分微分积分积分时移时移频移频移本讲稿第十一页，共四十四页拉氏变换的基本性质（拉氏变换的基本性质（2）尺度变换尺度变换终值定理终值定理卷积定理卷积定理初值定理初值定理本讲稿第十二页，共四十四页常用信号的拉氏变换（常用信号的拉氏变换（1）本讲稿第十三页，共四十四页常用信号的拉氏变换（常用信号的拉氏变换（2）本讲稿第十四页，共四十四页由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法：(1)利用公式利用公式(2)对对F(S)进行部分分式展开进行部分分式展开象函数的一般形式：象函数的一般形式：本讲稿第十五页，共四十四页2.2 传递函数传递函数2.2.1 传递函数的定义传递函数的定义v传递函数把输出和输入的关系表示得简单明了。传递函数把输出和输入的关系表示得简单明了。本讲稿第十六页，共四十四页v传递函数的定义：初始条件为零时，输出信号的拉氏变传递函数的定义：初始条件为零时，输出信号的拉氏变换式与输入信号的拉氏变换式之比。换式与输入信号的拉氏变换式之比。v例例 2-2-1 求例求例2-1-1的传递函数。的传递函数。v解解本讲稿第十七页，共四十四页v例例 2-2-2 求例求例2-1-2的传递函数。的传递函数。v解解v例例 2-2-3 求例求例2-1-3的传递函数。的传递函数。v解解本讲稿第十八页，共四十四页2.2.2 关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明v1.传递函数的概念适用于传递函数的概念适用于线性定常线性定常系统，与输入信号的具体形式和大小系统，与输入信号的具体形式和大小无关。无关。谈到传递函数，必须指明谈到传递函数，必须指明输入量输入量和和输出量输出量。传递函数的概念主要适用于传递函数的概念主要适用于单输入、单输出单输入、单输出的情况。的情况。v2.传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。v3.对于实际的元件和系统，传递函数是复变量对于实际的元件和系统，传递函数是复变量s的有理分式。的有理分式。传递函数的有理分式形式：传递函数的有理分式形式：本讲稿第十九页，共四十四页传递函数的零极点表达式：传递函数的零极点表达式：传递函数的时间常数形式传递函数的时间常数形式v4.对于实际的物理元件和系统而言，分子多项式的阶次总是小于对于实际的物理元件和系统而言，分子多项式的阶次总是小于分母多项式的阶次。这是客观物理世界的基本属性。分母多项式的阶次。这是客观物理世界的基本属性。v5.传递函数是系统的复域描述，以复变量传递函数是系统的复域描述，以复变量s为自变量。微分方程是系统的为自变量。微分方程是系统的时域描述，以时间为自变量。时域描述，以时间为自变量。v6.令系统传递函数分母等于零所得方程称为特征方程，特征方程的根令系统传递函数分母等于零所得方程称为特征方程，特征方程的根称为特征根。特征根就是传递函数的极点。称为特征根。特征根就是传递函数的极点。本讲稿第二十页，共四十四页2.2.3 基本环节及其传递函数基本环节及其传递函数v从动态方程、传递函数和运动特性的角度看，不宜再分的最小环节称从动态方程、传递函数和运动特性的角度看，不宜再分的最小环节称为基本环节。为基本环节。v1.放大环节（比例环节）放大环节（比例环节）v2.惯性环节惯性环节v3.积分环节积分环节本讲稿第二十一页，共四十四页v4.振荡环节振荡环节v5.纯微分环节纯微分环节v6.一阶微分环节一阶微分环节本讲稿第二十二页，共四十四页v7.二阶微分环节二阶微分环节v8.延迟环节延迟环节本讲稿第二十三页，共四十四页2.2.4 电气网络的运算阻抗与传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数v遵循电路定律。遵循电路定律。v例例2-2-4 解解 本讲稿第二十四页，共四十四页例例2-2-5 求传递函数求传递函数解解 本讲稿第二十五页，共四十四页v例例2-2-6包含一个积分环节故称积分电路包含一个积分环节故称积分电路。v例例2-2-7本讲稿第二十六页，共四十四页v例例2-2-8 解解 带有惯性的微分环节。带有惯性的微分环节。本讲稿第二十七页，共四十四页2.3 控制系统的框图和传递函数控制系统的框图和传递函数2.3.1 框图的概念和绘制框图的概念和绘制v 动态结构图简称框图，它能够非常清楚地表示出输入信号在系统动态结构图简称框图，它能够非常清楚地表示出输入信号在系统各元件之间的传递过程，又可以方便地求出复杂系统的传递函数。各元件之间的传递过程，又可以方便地求出复杂系统的传递函数。v系统的框图包括函数方框、信号流线、相加点、分支点等图形系统的框图包括函数方框、信号流线、相加点、分支点等图形符号。符号。本讲稿第二十八页，共四十四页v绘制系统框图，首先列写系统方程组。可按下述顺序进绘制系统框图，首先列写系统方程组。可按下述顺序进行：行：1）从输出量开始写第一个方程，输出量放在方程左边，）从输出量开始写第一个方程，输出量放在方程左边，其余放在右边；其余放在右边；2）后续方程左边只有一个量，它是前述方程的中间变量；）后续方程左边只有一个量，它是前述方程的中间变量；3）列写方程式时尽量用已出现过的量；）列写方程式时尽量用已出现过的量；4）中间变量至少要在一个方程的左边出现一次；）中间变量至少要在一个方程的左边出现一次；5）输入量至少要在一个方程的右边出现一次。）输入量至少要在一个方程的右边出现一次。本讲稿第二十九页，共四十四页v例例2-3-1绘制下面电路图的框图绘制下面电路图的框图v解解 从输出量从输出量 开始列写系统方程式开始列写系统方程式本讲稿第三十页，共四十四页2.3.2 框图的变换规则框图的变换规则v对框图进行变换所要遵循的基本原则是等效原则，即对框图的任一部分对框图进行变换所要遵循的基本原则是等效原则，即对框图的任一部分进行变换时，变换前后该部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关进行变换时，变换前后该部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不变。系应保持不变。v推导框图变换原则推导框图变换原则 1.串联环节的简化串联环节的简化 3个环节串联结构个环节串联结构本讲稿第三十一页，共四十四页v2.并联环节并联环节v三个环节并联三个环节并联vn个环节并联，总的传递函数是个环节并联，总的传递函数是n个环节传递函数的代数和。个环节传递函数的代数和。本讲稿第三十二页，共四十四页v3.反馈回路的简化反馈回路的简化v上式中的上式中的+号用于负反馈系统，号用于负反馈系统，-号用于正反馈系统。号用于正反馈系统。为为闭环闭环 传递函数传递函数，为该环节的为该环节的开环传递函数开环传递函数。本讲稿第三十三页，共四十四页v4.相加点和分支点相加点和分支点（1）相加点前移）相加点前移（2）相加点之间的移动）相加点之间的移动（3）分支点后移）分支点后移（4）相邻分支点之间的移动）相邻分支点之间的移动本讲稿第三十四页，共四十四页2.3.3 闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数v典型控制系统框图典型控制系统框图v前向通路的传递函数为前向通路的传递函数为v1）系统的开环传递函数）系统的开环传递函数v2）输出对参考输入的闭环传递函数）输出对参考输入的闭环传递函数本讲稿第三十五页，共四十四页v3）输出对于扰动输入的）输出对于扰动输入的 闭环传递函数闭环传递函数v4）系统总输出）系统总输出本讲稿第三十六页，共四十四页v5）偏差信号对参考输入的闭环传递函数）偏差信号对参考输入的闭环传递函数v6）偏差信号对扰动输入的闭环传递函数）偏差信号对扰动输入的闭环传递函数v7）系统总偏差）系统总偏差本讲稿第三十七页，共四十四页2.3.4 框图的化简框图的化简v将框图变换成串联、并联环节和反馈回路，再用等效环节代替。将框图变换成串联、并联环节和反馈回路，再用等效环节代替。v化简框图的关键是解除交叉结构，办法是移动分支点和相加点。化简框图的关键是解除交叉结构，办法是移动分支点和相加点。v例例2-3-2 求闭环传递函数求闭环传递函数C(s)/R(s)和和E(s)/R(s)。v解解本讲稿第三十八页，共四十四页本讲稿第三十九页，共四十四页误差传递函数误差传递函数本讲稿第四十页，共四十四页2.3.5 梅森增益公式梅森增益公式v梅森增益公式的一般形式梅森增益公式的一般形式v式中式中 就是系统的输出信号和输入信号之间的传递函数，就是系统的输出信号和输入信号之间的传递函数，称为特征称为特征式，式，v式中，式中，所有各回路的回路传递函数之和；所有各回路的回路传递函数之和；两两互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和；两两互不接触的回路，其回路传递函数乘积之和；所有的三个互不接触的回路，其回路传递函数乘所有的三个互不接触的回路，其回路传递函数乘 积之和；积之和；n 系统前向通路个数；系统前向通路个数；从输入端到输出端的第从输入端到输出端的第k条前向通路上各传递函数之积条前向通路上各传递函数之积 在在 中，将与第中，将与第k条前向通路相接触的回路所在项除去后所余下条前向通路相接触的回路所在项除去后所余下的部分，称余子式。的部分，称余子式。本讲稿第四十一页，共四十四页v例例2-3-3 求传递函数求传递函数v解解本讲稿第四十二页，共四十四页本讲稿第四十三页，共四十四页作业作业v习题2-5v习题2-6(a,b,c 用微分方程拉氏变换和运算阻抗分别计算)v习题2-7v习题2-9(用框图化简法和梅森公式法分别计算)本讲稿第四十四页，共四十四页