第九章 质点动力学的基本方程精选文档.ppt
第九章 质点动力学的基本方程本讲稿第一页，共三十八页动力学的研究对象动力学的研究对象 动力学动力学是研究物体运动的变化与作用在物体上的力之间的关是研究物体运动的变化与作用在物体上的力之间的关系。系。动力学的主要内容动力学的主要内容 （1)1)牛顿力学或经典力学。牛顿力学或经典力学。包括动量定理、动量矩定理、动能定包括动量定理、动量矩定理、动能定理。理。惯性参考系惯性参考系：相对于参考系静止不动或作匀速直线运动的系统。：相对于参考系静止不动或作匀速直线运动的系统。非惯性参考系非惯性参考系：相对于参考系有加速度的系统。：相对于参考系有加速度的系统。牛顿三定律只适用于低速、宏观物体。牛顿三定律只适用于低速、宏观物体。相对论力学或量子力学相对论力学或量子力学 （2)2)分析力学的一些内容和机械振动的基本理论分析力学的一些内容和机械振动的基本理论，如动静法、虚，如动静法、虚位移原理、拉格朗日方程和单个、两个自由度的振动问题。位移原理、拉格朗日方程和单个、两个自由度的振动问题。本讲稿第二页，共三十八页动力学的形成和发展与社会进步的关系动力学的形成和发展与社会进步的关系 （1)1)动力学与钟表动力学与钟表中国古代计时方式，主要有三种：中国古代计时方式，主要有三种：铜漏；香篆；圭表。铜漏；香篆；圭表。世界上最早的机械钟雏形：东汉张衡所造的浑象仪。世界上最早的机械钟雏形：东汉张衡所造的浑象仪。计时方法的关键：标准等时运动。计时方法的关键：标准等时运动。伽利略通过实验得到了伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成正比摆的小摆动周期与摆长的平方根成正比”的结的结论，从理论上为钟表的核心装置论，从理论上为钟表的核心装置摆奠定了基础。伽利略对自由落体和摆摆奠定了基础。伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。的研究也标志着人类对动力学研究的开始。1657 1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关于单年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。1676 1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现了两项年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发明。基于这两改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。现代钟表由三部分组成：现代钟表由三部分组成：动力部分动力部分、传动部分传动部分和和控制部分控制部分。更精密的时标：石英晶体振动或原子振荡更精密的时标：石英晶体振动或原子振荡 电子表。电子表。本讲稿第三页，共三十八页（2 2）动力学与现代工业）动力学与现代工业 机器和机械设计上的均衡问题、振动问题和稳定问题，结构物在冲击机器和机械设计上的均衡问题、振动问题和稳定问题，结构物在冲击和振动环境中的动态响应，交通运输工具的操纵性、稳定性和舒适性以及和振动环境中的动态响应，交通运输工具的操纵性、稳定性和舒适性以及动力学载荷的作用、震动等都属于动力学问题；动力学载荷的作用、震动等都属于动力学问题；高速运转机械的动力计算、高层结构受风载及地震的影响，宇宙飞行、高速运转机械的动力计算、高层结构受风载及地震的影响，宇宙飞行、火箭的推进技术和运行等，更包含着许多动力学问题。火箭的推进技术和运行等，更包含着许多动力学问题。本讲稿第四页，共三十八页动力学的力学模型动力学的力学模型 （1）质点质点 ：指具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。指具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。（2 2）质点系）质点系：指由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。包括指由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。包括固体、弹性体和流体。固体、弹性体和流体。（3 3）刚体）刚体：其中任意两个质点间距离保持不变的固体。其中任意两个质点间距离保持不变的固体。（4 4）力学模型简化的条件）力学模型简化的条件 由所研究问题的性质所决定，具有相对的概念。由所研究问题的性质所决定，具有相对的概念。本讲稿第五页，共三十八页第九章第九章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程本讲稿第六页，共三十八页本章内容及分析思路本章内容及分析思路根据动力根据动力学基本定学基本定律律质点动力质点动力学的基本学的基本方程方程求解质点求解质点的动力学的动力学问题问题本讲稿第七页，共三十八页9-1 9-1 动力学的基本定律动力学的基本定律 第一定律第一定律(惯性定律惯性定律):):不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律第二定律 (力与加速度之间的关系的定律力与加速度之间的关系的定律)惯性：不受力作用的质点惯性：不受力作用的质点(包括受平衡力系作用的质点包括受平衡力系作用的质点)，不是处于静止，不是处于静止状态，就是保持其原有的速度状态，就是保持其原有的速度(包括大小和方向包括大小和方向)不变。不变。基本表达式：基本表达式：（91）在经典力学范围内，上式可写为在经典力学范围内，上式可写为 （92）式式(102)(102)是质点动力学的基本方程，建立了质点的加速度、是质点动力学的基本方程，建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。质量与作用力之间的定量关系。第三定律第三定律 (作用与反作用定律作用与反作用定律)本讲稿第八页，共三十八页9-2 9-2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程由由质质点点动动力学第二定律，有力学第二定律，有 质质点受到点受到n n个力个力作用时，作用时，或或（93）（93）式式（103103）是矢量形式的微分方程。是矢量形式的微分方程。本讲稿第九页，共三十八页1 1、质点运动微分方程质点运动微分方程在直角坐标轴上的在直角坐标轴上的投影投影设设矢径矢径在直角坐在直角坐标轴标轴上的投影分上的投影分别为别为x x，y y，z z，在在轴轴上的投影分上的投影分别为别为，则则式式在直角坐在直角坐标轴标轴上的投影形式上的投影形式为为:力力（94）本讲稿第十页，共三十八页2 2、质点运动微分方程质点运动微分方程在自然轴上的投影在自然轴上的投影 点的全加速度点的全加速度 式中式中和和为沿轨迹切线和主法线的单位矢量，为沿轨迹切线和主法线的单位矢量，如图所示。如图所示。式式(93)(93)在自然轴系上的投影式为在自然轴系上的投影式为 （95）式中式中和和分别是作用于质点的各力在切线、分别是作用于质点的各力在切线、为轨迹的曲率半径。为轨迹的曲率半径。主法线和副法线上的投影，而主法线和副法线上的投影，而本讲稿第十一页，共三十八页3 3、质点动力学的两类基本问题、质点动力学的两类基本问题 1)第一类基本问题：第一类基本问题：已知质点的运动已知质点的运动,求作用于质点的力求作用于质点的力.2)第二类基本问题：第二类基本问题：已知作用于质点的力已知作用于质点的力,求质点的运动求质点的运动.作用在质点上的力可以是常力或变力，变力可以是时间、坐标、作用在质点上的力可以是常力或变力，变力可以是时间、坐标、速度的函数或同时是上述三种变量的函数。速度的函数或同时是上述三种变量的函数。求质点的运动就是求式（求质点的运动就是求式（9494）或（）或（9595）的解，一次、）的解，一次、二次积分。积分常数由质点运动的初始条件决定。可见，质点二次积分。积分常数由质点运动的初始条件决定。可见，质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关。的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关。本讲稿第十二页，共三十八页补例补例1 1 电梯如图所示。已知电梯的加速度电梯如图所示。已知电梯的加速度常数、方向向上。电梯重量为，放在电梯地板上的物常数、方向向上。电梯重量为，放在电梯地板上的物质重量为，求：质重量为，求：（1 1）物体对地板的压力；）物体对地板的压力；（2 2）电电梯吊梯吊绳绳的拉力。的拉力。分析分析：由题意：由题意动力学问题动力学问题已知运已知运动求作用力，故属于质点动力学第一类基动求作用力，故属于质点动力学第一类基本问题。本问题。解解 （1 1）求物体对地板的压力）求物体对地板的压力 选取重物为研究对象，选取重物为研究对象，进行受力分析和运动分析（如图进行受力分析和运动分析（如图b b所示）。所示）。建立直角坐标轴，列运动微分方程求解建立直角坐标轴，列运动微分方程求解式中式中F FNN,为物体对地板的压力。为物体对地板的压力。或或 本讲稿第十三页，共三十八页（）求吊绳的拉力。（）求吊绳的拉力。式中，称为绳索的静反力。式中，称为绳索的静反力。讨论讨论 压力压力F FN N,由两部分组成：物体的重量，静压力；由两部分组成：物体的重量，静压力；，附加动压力。，附加动压力。超重。超重。当当=时时，F FN N,=0=0 如果加速度方向向下，总压力为如果加速度方向向下，总压力为:解得解得讨论讨论 把绳索动反力的值把绳索动反力的值T Td d和静反力的值的比值称为和静反力的值的比值称为动荷系数，用动荷系数，用d d表示：表示：取电梯和重物整体为研究对象，受力如图取电梯和重物整体为研究对象，受力如图a a所示。所示。选坐标轴选坐标轴x x，由式（，由式（9494）得投影形式的质点运动微分方程）得投影形式的质点运动微分方程本讲稿第十四页，共三十八页补例补例2 2如图所示桥式起重机上，小车吊着质量为如图所示桥式起重机上，小车吊着质量为的重物，沿横向作匀速运动，速度为。，吊绳长为。的重物，沿横向作匀速运动，速度为。，吊绳长为。由于突然原因急刹车，重物因惯性绕悬挂点向前摆动。由于突然原因急刹车，重物因惯性绕悬挂点向前摆动。试求刹车后绳索的最大张力及刹车前后瞬间绳索张力的试求刹车后绳索的最大张力及刹车前后瞬间绳索张力的比。比。分析分析：由题意：由题意动力学问题动力学问题质点动力学第一类基本问题，先质点动力学第一类基本问题，先分析重物位于一般位置时。分析重物位于一般位置时。解解 取重物为研究对象，受力如取重物为研究对象，受力如图所示。图所示。取自然轴如图示，由式（取自然轴如图示，由式（9595）得重物）得重物的运动微分方程投影式为的运动微分方程投影式为（1）（2）式中式中与与均为变量。均为变量。本讲稿第十五页，共三十八页 讨论讨论 起重机的小车急刹车时，绳索张力发生急剧变化。起重机的小车急刹车时，绳索张力发生急剧变化。由式（）得由式（）得:由式（由式（1 1）知：）知：，而，故重物作减速运动。，而，故重物作减速运动。因此，在初始位置（刚刹车，因此，在初始位置（刚刹车，）时，重物的速度最）时，重物的速度最大，大，此时，绳索的张力，此时，绳索的张力获得最大值，获得最大值，即即 刹车前，重物作匀速直线运动。由平衡条件知刹车前，重物作匀速直线运动。由平衡条件知。因此刹车前后瞬间动荷系数。因此刹车前后瞬间动荷系数本讲稿第十六页，共三十八页分析分析：由题意：由题意动力学问题动力学问题质点质点动力学第一类基本问题。动力学第一类基本问题。运动方程是运动方程是 ,补例补例3 3 质点质点M M的质量为的质量为 ,其中其中求作用在此质点上的力。求作用在此质点上的力。为常量，为常量，解解：该质点的加速度在坐标轴上的投影分别为：该质点的加速度在坐标轴上的投影分别为 本讲稿第十七页，共三十八页代入式代入式(94)(94)，得作用在此得作用在此质质点上的力在点上的力在轴轴上的投影上的投影为为 从运动方程中消去时间从运动方程中消去时间，得此质点的轨迹方程，得此质点的轨迹方程合力可以表示为合力可以表示为 本讲稿第十八页，共三十八页例例9-1 曲柄连杆机构如图所示曲柄连杆机构如图所示.曲柄曲柄OA以匀角速以匀角速度度 转动转动,OA=r,AB=l,当当 比较小时比较小时,以以O 为坐为坐标原点标原点,滑块滑块B 的运动方程可近似写为的运动方程可近似写为 如滑块的质量为如滑块的质量为m,忽忽略摩擦及连杆略摩擦及连杆AB的质量的质量,试试求当求当,连杆连杆AB所受的力所受的力.本讲稿第十九页，共三十八页解解:研究滑块研究滑块其中其中已知已知:则则求求:本讲稿第二十页，共三十八页有有得得这属于动力学第一类问题。这属于动力学第一类问题。当当得得本讲稿第二十一页，共三十八页例例9-2 质量为质量为m的质点带有电荷的质点带有电荷e,以速度以速度v0进入强度进入强度按按E=Acoskt变化的均匀电场中变化的均匀电场中,初速度方向与电场强度初速度方向与电场强度垂直垂直,如图所示。质点在电场中受力如图所示。质点在电场中受力 作用。已作用。已知常数知常数A,k,忽略质点的重力忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。试求质点的运动轨迹。本讲稿第二十二页，共三十八页分析分析：1 1）由题意）由题意动力学问题动力学问题质点动力学第二类基质点动力学第二类基本问题。本问题。2 2）求质点的运动轨迹）求质点的运动轨迹质点运动方程。质点运动方程。解解:取取质质点点为为研究研究对对象，受力如象，受力如图图10-310-3所示。所示。质质点运点运动动微分方程在微分方程在轴轴和和轴轴上的投影式上的投影式 (a)(a)按题意按题意以此为下限以此为下限,式式(a)的定积分为的定积分为(b)(b)本讲稿第二十三页，共三十八页得质点运动方程得质点运动方程轨迹方程轨迹方程(c)(c)讨论讨论 如果如果，则则运运动动方程式方程式(c)(c)为为，式不式不变变，这是一个直线运动。这是一个直线运动。本讲稿第二十四页，共三十八页 补补例例4 4 在均匀的静止液体中，在均匀的静止液体中，质质量量为为 的物体的物体M M从液面从液面处处无初速下沉，如无初速下沉，如图图a a所示。假所示。假设设液体阻力液体阻力，其中，其中为为阻尼系数。阻尼系数。试分析该物体的运动规律及其特征。试分析该物体的运动规律及其特征。分析：由题意分析：由题意动力学问题动力学问题质点动力学第二类基本问题。质点动力学第二类基本问题。本讲稿第二十五页，共三十八页解解：将坐：将坐标标系的原点固系的原点固结结在在该该点的起始位置上，点的起始位置上，轴铅轴铅垂向下。垂向下。该质该质点的受力点的受力图图如如图图b b。运动微分方程为运动微分方程为或或 式中式中 .起始条件：起始条件：时时，式，式(a)(a)的定的定积积分分为为 解得解得本讲稿第二十六页，共三十八页再分离变量，运动起始条件为再分离变量，运动起始条件为时，时，则有，则有积分得积分得这就是该物体下沉的运动规律。这就是该物体下沉的运动规律。时，该物体下沉速度将时，该物体下沉速度将趋近一极限值趋近一极限值由式由式(b)(b)知，当知，当时，时，称为物体在液体中自由下沉的极限速度。称为物体在液体中自由下沉的极限速度。应用：采矿工程中的选矿、农业中的选种。应用：采矿工程中的选矿、农业中的选种。本讲稿第二十七页，共三十八页 讨论讨论 另另选选坐坐标标系，其原点系，其原点O O在液体底部，在液体底部，轴铅轴铅垂向上。垂向上。轴的正向画出，则该物体的受力轴的正向画出，则该物体的受力图如图图如图c c所示。所示。设设 仍按仍按为为运动微分方程运动微分方程或或 运运动动起始条件起始条件为为时时，。通通过过两次分离两次分离变变量和量和积积分，可得分，可得 本讲稿第二十八页，共三十八页 (说明说明)在选择参考系、建立质点的运动微分方程时，宜尽可能将质在选择参考系、建立质点的运动微分方程时，宜尽可能将质点置于参考坐标系的正向位置，使其速度、加速度的分量也沿着坐标轴点置于参考坐标系的正向位置，使其速度、加速度的分量也沿着坐标轴的正向；倘若质点的真实速度、加速度的分量是沿着坐标轴的负向，也的正向；倘若质点的真实速度、加速度的分量是沿着坐标轴的负向，也应沿正向来假设，并画出其受力图，建立它的运动微分方程。应沿正向来假设，并画出其受力图，建立它的运动微分方程。3)3)第一、二类基本问题的综合问题第一、二类基本问题的综合问题：有的工程问题既需要求质：有的工程问题既需要求质点的运动规律，又需要求未知的约束力，是第一类基本问题与第二类点的运动规律，又需要求未知的约束力，是第一类基本问题与第二类基本问题综合在一起的动力学问题，称为混合问题。基本问题综合在一起的动力学问题，称为混合问题。本讲稿第二十九页，共三十八页例例9-3 一圆锥摆一圆锥摆,如图所示。质量如图所示。质量m=0.1kg的小球系的小球系于长于长l=0.3m 的绳上的绳上,绳的另一端系在固定点绳的另一端系在固定点O,并与铅直线并与铅直线成成 角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度小球的速度v与绳的张力。与绳的张力。本讲稿第三十页，共三十八页绳的张力与拉力绳的张力与拉力F的大小相等。的大小相等。解得解得其中其中分析分析：由题意：由题意动力学问题动力学问题质点动力学第一、二类基质点动力学第一、二类基本问题的综合问题。本问题的综合问题。本讲稿第三十一页，共三十八页例例9-4粉碎机滚筒半径为粉碎机滚筒半径为，绕通过中心的水平轴，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉下小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟的转数来。求滚筒每分钟的转数n 。本讲稿第三十二页，共三十八页解：视铁球为质点解：视铁球为质点.受力如图受力如图b.分析：由分析：由题题意（意（滚滚筒筒转动转动；求使；求使铁铁球在球在处处筒壁的法向筒壁的法向约约束力束力0 0的滚筒转速）的滚筒转速）动力学点动力学第一问题动力学点动力学第一问题 质、二类基本问题的综合问题。质、二类基本问题的综合问题。列出质点运动微分方程在主法线上的投影式列出质点运动微分方程在主法线上的投影式于是解得于是解得本讲稿第三十三页，共三十八页本讲稿第三十四页，共三十八页）求出末知的力或运动。对第二类问题要应用）求出末知的力或运动。对第二类问题要应用运动初始条件确定积分常数。运动初始条件确定积分常数。总结总结 求解质点动力学问题的主要步骤：求解质点动力学问题的主要步骤：1）选取某质点为研究对象；）选取某质点为研究对象；）分析作用在质点上的力；）分析作用在质点上的力；）分析质点的运动情况。）分析质点的运动情况。）选择恰当的投影轴，写出在该轴上的运动微分）选择恰当的投影轴，写出在该轴上的运动微分方程的投影式；方程的投影式；本讲稿第三十五页，共三十八页求解质点动力学问题，还应注意以下几点：求解质点动力学问题，还应注意以下几点：1 1）物体的受力分析。）物体的受力分析。）物体的运动分析。确定质点的运动轨迹是否已知、）物体的运动分析。确定质点的运动轨迹是否已知、是直线还是曲线；分析质点运动要素是否已知，所用的是直线还是曲线；分析质点运动要素是否已知，所用的坐标形式。有些情况下虽未直接给出运动，但经过运动坐标形式。有些情况下虽未直接给出运动，但经过运动学的分析可得出结果也算是已知的学的分析可得出结果也算是已知的 本讲稿第三十六页，共三十八页建立运动微分方程建立运动微分方程 a a）在什么位置建立点的运动微分方程，要根据题意确定。）在什么位置建立点的运动微分方程，要根据题意确定。如只需要求某一特殊位置的力或加速度则在特殊位置列方如只需要求某一特殊位置的力或加速度则在特殊位置列方程。如需要求几个位置或任意位置的力或加速度，则在一程。如需要求几个位置或任意位置的力或加速度，则在一般位置列方程；求解以后，将题目要求的几个特殊位置的般位置列方程；求解以后，将题目要求的几个特殊位置的参数代入，得到答案。参数代入，得到答案。b b）选择方程的坐标形式。由质点的运动和未知力的）选择方程的坐标形式。由质点的运动和未知力的情况确定。一般说来，最常用的是直角坐标，只有当情况确定。一般说来，最常用的是直角坐标，只有当点的运动轨迹已知时，才能用自然轴形式的方程。点的运动轨迹已知时，才能用自然轴形式的方程。本讲稿第三十七页，共三十八页）列运动微分方程时，力、加速度等的投影均要注意）列运动微分方程时，力、加速度等的投影均要注意正负号。未知的加速度如用坐标对时间的二阶导数表示，正负号。未知的加速度如用坐标对时间的二阶导数表示，则不必考虑正负号的问题。则不必考虑正负号的问题。）对于质点系的问题，只有在较简单的情况下才用）对于质点系的问题，只有在较简单的情况下才用本章所述的方法求解，一般情况要应用以后各章讲述本章所述的方法求解，一般情况要应用以后各章讲述的定理求解。的定理求解。本讲稿第三十八页，共三十八页
