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第九章扭转本讲稿第一页，共四十一页工程实例工程实例91 引言引言本讲稿第二页，共四十一页轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。受力特点：受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有外力偶.ABOMeMeOBA变形特点：变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线螺 旋线扭转变形）扭转扭转：以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征的变形形式，称为扭转。本讲稿第三页，共四十一页扭转角扭转角(相对扭转角相对扭转角)（）：）：任意两横截面绕轴线转动而 发生的角位移。剪应变剪应变(切应变切应变)（）：直角的改变量。mmOBA本讲稿第四页，共四十一页92 动力传递、扭矩和扭矩图动力传递、扭矩和扭矩图一、扭力偶矩（外力偶矩）一、扭力偶矩（外力偶矩）其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）1kW =1000Nm/s =1.36PS（马力）使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外力对杆轴的力矩。传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：本讲稿第五页，共四十一页3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图MMMTx1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2 截面法求扭矩截面法求扭矩本讲稿第六页，共四十一页4 扭矩扭矩图图：表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。：表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT本讲稿第七页，共四十一页例例1已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C DM2 M3 M1 M4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩本讲稿第八页，共四十一页nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）本讲稿第九页，共四十一页绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C DM2 M3 M1 M44.789.566.37本讲稿第十页，共四十一页本讲稿第十一页，共四十一页画扭矩图注意 1）可以按照任意一侧扭矩平衡求出扭矩图 2）有扭矩的地方，扭矩图有突变。本讲稿第十二页，共四十一页9-3 薄壁圆筒的扭转、切应力互等定理薄壁圆筒的扭转、切应力互等定理 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、薄壁圆筒扭转实验：一、薄壁圆筒扭转实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 M。本讲稿第十三页，共四十一页2.实验后：实验后：圆周线的大小、形状、间距圆周线的大小、形状、间距不变；各圆周线转过角度不同。不变；各圆周线转过角度不同。纵向线变成斜直线，纵向线变成斜直线，倾倾角相同。角相同。3.结论：结论：各圆周线的间距均未改变各圆周线的间距均未改变横截面上无正横截面上无正应应力力.圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对转动转动周向无正应力周向无正应力 纵向线倾斜纵向线倾斜横截面上有切应力横截面上有切应力.各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 切应力均匀分布切应力均匀分布.由于壁很薄，沿厚由于壁很薄，沿厚度也是常数。度也是常数。本讲稿第十四页，共四十一页 acdb 横截面上无正应力 周向无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：本讲稿第十五页，共四十一页A0：平均半径所作圆的面积。：平均半径所作圆的面积。切应力切应力本讲稿第十六页，共四十一页三、切应力互等定理：三、切应力互等定理：上式称为切应力互等定理切应力互等定理。该定理表明：在单元体互垂截面，垂直于截面交线的切应力在单元体互垂截面，垂直于截面交线的切应力数值相等，成对出现，其方向则共同指向或共同背离该交线。数值相等，成对出现，其方向则共同指向或共同背离该交线。（固体力学中均适用）（固体力学中均适用）acddxb dy tz 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力，这种应力状态称为单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力，这种应力状态称为纯纯剪切。剪切。本讲稿第十七页，共四十一页四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律：薄壁圆筒体扭转实验薄壁圆筒体扭转实验 本讲稿第十八页，共四十一页 T=m 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（当切应力不超过材料的剪切比例极限时（p)(在弹性范围内在弹性范围内)，切应力与剪应变成正比关系。，切应力与剪应变成正比关系。在早期范围内在早期范围内（具体见（具体见P174图图9.12）本讲稿第十九页，共四十一页 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量（切变模量），因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个弹性常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。引入比例因子：本讲稿第二十页，共四十一页作业：P188页，9-2（b），9-4，9-5本讲稿第二十一页，共四十一页94 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 强度计算强度计算圆轴横截面应力圆轴横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1.横截面变形后横截面变形后 仍为平面仍为平面（平面假设）（平面假设）2.轴向无伸缩；轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆轴扭转实验观察：一、等直圆轴扭转实验观察：本讲稿第二十二页，共四十一页本讲稿第二十三页，共四十一页二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：变形几何关系：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。扭转角沿长度方向变化率(单位长度扭转角)。本讲稿第二十四页，共四十一页2.物理关系：物理关系：胡克定律：代入上式得：距圆心等距离处的切应力相等（P82页）本讲稿第二十五页，共四十一页3.静力学关系：静力学关系：O令代入物理关系式 得：（极惯性矩）（极惯性矩）dA本讲稿第二十六页，共四十一页横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。4.公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。本讲稿第二十七页，共四十一页 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，结构轻便，应用广泛。本讲稿第二十八页，共四十一页 确定最大切应力：确定最大切应力：由知：当Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。本讲稿第二十九页，共四十一页尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。对于实心圆截面：DdO95 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数本讲稿第三十页，共四十一页对于空心圆截面：dDOd本讲稿第三十一页，共四十一页对于实心圆截面：对于实心圆截面：对于空心圆截面：对于空心圆截面：抗扭截面系数：抗扭截面系数：对于薄壁圆截面：对于薄壁圆截面：本讲稿第三十二页，共四十一页96 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件一、扭转失效与扭转极限应力一、扭转失效与扭转极限应力扭转试验扭转试验扭转强度极限扭转强度极限本讲稿第三十三页，共四十一页强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：(称为许用切应力。)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：静载下静载下:=(0.5 0.6)s s (钢钢)=(0.8 1.0)s s (铸铁铸铁)本讲稿第三十四页，共四十一页 例例2 2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用切应力=30M Pa,试校核其强度。Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核切应力强度此轴满足强度要求。D3=135D2=75 D1=70ABCmmx本讲稿第三十五页，共四十一页97 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度计算刚度计算一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式知：长为长为 l一段等截面杆两截面间一段等截面杆两截面间相对扭转角相对扭转角 为单位单位:弧度弧度(rad)本讲稿第三十六页，共四十一页二、单位扭转角二、单位扭转角：或三、刚度条件三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度。称为许用单位扭转角。本讲稿第三十七页，共四十一页刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度：设计截面尺寸：计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。根据机器要求、轴的工作条件确定。可查手册。精密机器轴：=（0.15 0.30）/m一般传动轴：=（0.30 .0）/m精度不高的轴：=（.0 .）/m本讲稿第三十八页，共四十一页例例3 由由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a=0.5。已知。已知材料的许用切应力材料的许用切应力 =40MPa，切变模量，切变模量G=80GPa。轴的横。轴的横截面上最大扭矩为截面上最大扭矩为Tmax=9.56 kNm，轴的许可单位长度扭转角，轴的许可单位长度扭转角=0.3/m。试选择轴的直径。试选择轴的直径。解：解：1、按强度条件确定外直径、按强度条件确定外直径D本讲稿第三十九页，共四十一页2、由刚度条件确定所需外直径、由刚度条件确定所需外直径D3、确定内外直径、确定内外直径本讲稿第四十页，共四十一页作业P190：9-11，9-17本讲稿第四十一页，共四十一页