第七章 椭球面元素归算至投影面PPT讲稿.ppt

第七章 椭球面元素归算至投影面第1页，共92页，编辑于2022年，星期二本章提要本章提要 本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地坐角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相邻法，解决由球面到平面的换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。讨论在工程应用中，工程带的坐标坐标换算。讨论在工程应用中，工程测量投影面与投影带选择。测量投影面与投影带选择。第2页，共92页，编辑于2022年，星期二 知识点及学习要求知识点及学习要求 1高斯投影的基本概念（掌握）；高斯投影的基本概念（掌握）；2正形投影的一般条件（理解）；正形投影的一般条件（理解）；3高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换 高斯投影的正算与反算（高斯投影的正算与反算（掌握）掌握）4椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算（掌握）；椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算（掌握）；5高斯投影的邻带换算（掌握）；高斯投影的邻带换算（掌握）；6工程测量投影面与投影带的选择（掌握）。工程测量投影面与投影带的选择（掌握）。难点难点在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；高斯投影带的换算斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的选择。与应用；工程测量中投影面与投影带的选择。第3页，共92页，编辑于2022年，星期二8.1 地图数学投影的基本概念地图数学投影的基本概念一一.投影变换的意义和方程投影变换的意义和方程 所谓所谓地图投影地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫专门学科叫地图投影学地图投影学。椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称作投投影的变形影的变形 第4页，共92页，编辑于2022年，星期二二二.地图投影的变形地图投影的变形 1.长度比长度比 P1P2SNXYP1P2椭球面投影面或长度比与点的位置及线段的方向有关。长度比与点的位置及线段的方向有关。投影面上的边长与原面上的相投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为应长度之比，称为长度比长度比。第5页，共92页，编辑于2022年，星期二2.主方向和变形椭圆主方向和变形椭圆 主方向主方向：最大及最小长度比的方向，称为主方向。：最大及最小长度比的方向，称为主方向。ABOCABOC原面原面投影面投影面 在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在平面在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的上的投影也必是相互垂直的 ，这两个方向就是长度比的极值方向，这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向。也就是主方向。第6页，共92页，编辑于2022年，星期二 变形椭圆：变形椭圆：设在椭球面上有一单位微分圆设在椭球面上有一单位微分圆,投影后为一微投影后为一微分椭圆，该椭圆即变形椭圆分椭圆，该椭圆即变形椭圆。P(,)xyOOP(x,y)变形椭圆的形状和大小及方向完全由投影条件确定。某定点O处的变形椭圆是描述该点各方向上长度比的椭圆。第7页，共92页，编辑于2022年，星期二3.投影变形投影变形长度比与长度比与1 1之差，称为长度变形，即：之差，称为长度变形，即：v vmm00，投影后长度变大，反之，投影后长度变大，反之，投影后长度变短。投影后长度变短。1）长度变形）长度变形2）、方向变形）、方向变形某方向（以主方向起始）某方向（以主方向起始）投影后为投影后为 1，当当 =1（等于（等于0或或90度时），亦即在主方向上没有方向变形度时），亦即在主方向上没有方向变形时时当当 +1=90或或 270 时，方向变形最大时，方向变形最大OP3）角度变形。最大角度变形是最大方向变形的）角度变形。最大角度变形是最大方向变形的2倍。倍。4）面积变形。）面积变形。第8页，共92页，编辑于2022年，星期二三、地图投影的分类三、地图投影的分类1.1.按变形性质分类按变形性质分类（1 1）等角投影）等角投影 又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比都相等，段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。但在不同地点长度比是不同的。（2 2）等积投影）等积投影 在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形等于零。形等于零。（3 3）等距投影）等距投影 定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方向长度比为方向长度比为1 1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方向上没有长度变形。定方向上没有长度变形。（4 4）任意投影）任意投影第9页，共92页，编辑于2022年，星期二2.按投影面的形状分类按投影面的形状分类（1）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。上的经纬线投影到平面上而成。（2）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。（3）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。成。3.按投影面和原面的相对位置进行分类按投影面和原面的相对位置进行分类正轴投影、斜轴投影和横轴投影正轴投影、斜轴投影和横轴投影第10页，共92页，编辑于2022年，星期二第11页，共92页，编辑于2022年，星期二4、中国各种地图投影：、中国各种地图投影：1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方位投影、）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割圆锥投影。伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割圆锥投影。2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正轴等）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投影（宽带）。克吕格投影（宽带）。3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时期）、）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯-克吕格投克吕格投影（解放以后）。影（解放以后）。第12页，共92页，编辑于2022年，星期二 从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用的投从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用的投影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最常用的有影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最常用的有横轴等角椭圆柱投影横轴等角椭圆柱投影等。中华人民共和国成立后，我国等。中华人民共和国成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克拉索夫斯基椭球体大中比例尺地形图一律规定采用以克拉索夫斯基椭球体元素计算的高斯元素计算的高斯-克吕格投影。克吕格投影。我国新编我国新编1:100万地形图，万地形图，采用的则是正轴等角圆锥投影。采用的则是正轴等角圆锥投影。5、常用的几种地图投影、常用的几种地图投影第13页，共92页，编辑于2022年，星期二1、控制测量对地图投影的要求、控制测量对地图投影的要求 1）等角投影（又称正形投影）等角投影（又称正形投影）2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起的改正数。数。在微小的范围内保持了在微小的范围内保持了形状的相似性。长对比与点的位置形状的相似性。长对比与点的位置有关，与方向无关。有关，与方向无关。3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样的计算公式和用表把各带联成整体算公式和用表把各带联成整体。8.2 高斯投影概述高斯投影概述（重点）（重点）第14页，共92页，编辑于2022年，星期二高斯投影是等角横切椭圆柱投影。高斯投影是等角横切椭圆柱投影。高斯投影是一种高斯投影是一种等角投影等角投影。它是由德国数学家高斯。它是由德国数学家高斯(Gauss(Gauss，1777 1777 1855)1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格提出，后经德国大地测量学家克吕格(Kruger(Kruger，185718571923)1923)加以补充完善，加以补充完善，故又称故又称“高斯高斯克吕格投影克吕格投影”，简称，简称“高斯投影高斯投影”。2、高斯投影的基本概念、高斯投影的基本概念第15页，共92页，编辑于2022年，星期二NSc中中中中央央央央子子子子午午午午线线线线赤道赤道高斯投影平面高斯投影平面赤道赤道中中央央子子午午线线1).1).高斯投影的原理高斯投影的原理:高斯投影高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差分采用分带投影。将椭球面按一定经差分带，分别进行投影。带，分别进行投影。第16页，共92页，编辑于2022年，星期二2)2)、高斯投影必须满足：、高斯投影必须满足：（1 1）高斯投影为正形投影，）高斯投影为正形投影，即等角投影；即等角投影；（2 2）中央子午线投影后为直）中央子午线投影后为直 线，且为投影的对称轴；线，且为投影的对称轴；（3 3）中央子午线投影后长度）中央子午线投影后长度 不变。不变。第17页，共92页，编辑于2022年，星期二3)3)、高斯投影的特点、高斯投影的特点:（1 1）中央子午线中央子午线投影后为直线，投影后为直线，且长度不变。且长度不变。（2 2）除中央子午线外，除中央子午线外，其余子其余子午线午线的投影均为凹向中央子午的投影均为凹向中央子午线的曲线，并以中央子午线为线的曲线，并以中央子午线为对称轴对称轴。投影后有长度变形。投影后有长度变形。（3 3）赤道线赤道线投影后为直线，但有投影后为直线，但有长度变形。长度变形。赤道赤道中央子午线中央子午线平行圈平行圈子午线子午线O Ox xy y第18页，共92页，编辑于2022年，星期二（4 4）除赤道外的其余纬线，投影后除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。轴。（5 5）经线与纬线投影后仍然保持）经线与纬线投影后仍然保持正交。正交。（6 6）所有长度变形的线段，其长度所有长度变形的线段，其长度变形比均大于变形比均大于l l。（7 7）离中央子午线愈远，长度变离中央子午线愈远，长度变形愈大。形愈大。赤道赤道中央子午线中央子午线平行圈平行圈子午线子午线O Ox xy y第19页，共92页，编辑于2022年，星期二4)4)、投影带的划分、投影带的划分 我国规定按经差我国规定按经差66和和33进行进行投影分带。投影分带。66带自首子午线带自首子午线开始，按开始，按66的经差自西向东分成的经差自西向东分成6060个带个带。33带自带自1.5 1.5 开始，按开始，按33的的经差自西向东分成经差自西向东分成120120个带个带。高斯投影带划分高斯投影带划分第20页，共92页，编辑于2022年，星期二 66带与带与33带中央子午线之间的关系如图带中央子午线之间的关系如图:33带的中央子午线与带的中央子午线与66带中央子午线及分带子午线重合，减带中央子午线及分带子午线重合，减少了换带计算。少了换带计算。工程测量采用工程测量采用3 3 带，特殊工程可采用带，特殊工程可采用1.5 1.5 带或任意带带或任意带第21页，共92页，编辑于2022年，星期二 按照按照66带带划分的规定，第划分的规定，第1 1带中央子午线的经度为带中央子午线的经度为33，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：其余各带中央子午线经度与带号的关系是：L L。=6N=6N33 （N N为为66带的带号）带的带号）例：例：2020带中央子午线的经度为：带中央子午线的经度为：L L。6 206 2033117 117 按照按照33带带划分的规定，第划分的规定，第1 1带中央子午线的经度为带中央子午线的经度为33，其余各，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：带中央子午线经度与带号的关系是：L L。=3n=3n （n n为为33带的带号）带的带号）例：例：120120带中央子午线的经度为带中央子午线的经度为 L L。3 1203 120360 360 第22页，共92页，编辑于2022年，星期二 若已知某点的经度为若已知某点的经度为L L，则该点的，则该点的66带的带的带号带号N N由下式计算：由下式计算：若已知某点的经度为若已知某点的经度为L L，则该点所在，则该点所在33带的带号按下式计算：带的带号按下式计算：（四舍五入）（四舍五入）第23页，共92页，编辑于2022年，星期二高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系的建立：的建立：x x轴轴 中央子午线的投影中央子午线的投影y y轴轴 赤道的投影赤道的投影原点原点O O 两轴的交点两轴的交点OxyP（X，Y）高斯自然高斯自然坐标坐标注：注：X X轴向轴向北北为为正正，y y轴向轴向东东为为正正。赤道赤道中央子午线中央子午线第24页，共92页，编辑于2022年，星期二 由于我国的位于北由于我国的位于北半球，东西横跨半球，东西横跨1212个个66带，各带又独自构成直带，各带又独自构成直角坐标系。角坐标系。故：故：X X值均为正，值均为正，而而Y Y值则有正有负。值则有正有负。世界地图世界地图赤赤 道道第25页，共92页，编辑于2022年，星期二xyo500km =500000+=636780.360m =500000+=227559.720m国家统一坐标：国家统一坐标：（带号）（带号）（带号）（带号）一带的宽度是一带的宽度是667km667km第26页，共92页，编辑于2022年，星期二例：例：有一国家控制点的坐标有一国家控制点的坐标:x=3102467.280m,y=19367622x=3102467.280m,y=19367622380m380m，（1 1）该点位于）该点位于6 6 带的第几带？带的第几带？（2 2）该带中央子午线经度是多少？）该带中央子午线经度是多少？（3 3）该点在中央子午线的哪一侧？）该点在中央子午线的哪一侧？（4 4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？（第（第19带）带）（L。=619-19-3=111）（先去掉带号，原来横坐标（先去掉带号，原来横坐标y367622.380500000-132377.620m，在西侧），在西侧）（距中央子午线（距中央子午线132377.620m，距赤道，距赤道3102467.280m）第27页，共92页，编辑于2022年，星期二3、椭球面三角系化算到高斯平面、椭球面三角系化算到高斯平面 第28页，共92页，编辑于2022年，星期二将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：将起始点的大地坐标将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标归算为高斯平面直角坐标x，y；为了检核还；为了检核还应进行反算，亦即根据应进行反算，亦即根据x，y反算反算B，L。通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地方位通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度。直线长度。当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。第29页，共92页，编辑于2022年，星期二 长度比长度比:投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比长度比。8.3 正形投影的一般条件（了解）正形投影的一般条件（了解）研究高斯投影应首先满足正形投影的一般条件，然后加上高斯投研究高斯投影应首先满足正形投影的一般条件，然后加上高斯投影的特殊条件，即可导出高斯投影坐标正反算公式。推求时抓住正影的特殊条件，即可导出高斯投影坐标正反算公式。推求时抓住正形投影区别于其它投影的特殊本质：形投影区别于其它投影的特殊本质：在正形投影中，长度比与方在正形投影中，长度比与方向无关。向无关。在微小的范围内保证了形状的相似性，当在微小的范围内保证了形状的相似性，当ABCDEABCDE无限接近时，多边形可无限接近时，多边形可看作是一个点，因此在正行投影中，长度比与位置有关，与方向无关。看作是一个点，因此在正行投影中，长度比与位置有关，与方向无关。第30页，共92页，编辑于2022年，星期二8.3 正形投影的一般条件（了解）正形投影的一般条件（了解）正形投影方法都必须正形投影方法都必须遵循的法则遵循的法则 ：柯西柯西(Cauchy)黎曼黎曼(Riemann)条件条件等量纬度等量纬度第31页，共92页，编辑于2022年，星期二建立长度比关系在微分直角三角形P1P2P3和P1/P2/P3/中有：则长度比为 引进等量纬度 ，则 故第32页，共92页，编辑于2022年，星期二全微分得 其中：第33页，共92页，编辑于2022年，星期二 若想使上式中m与A无关，必须满足条件：引入方向，由图知：则F=0、E=G 即正形投影的一般条件，是各类正形投影方法都必须遵循的法则，高斯坐标正、反算公式均以此为基础。第34页，共92页，编辑于2022年，星期二第35页，共92页，编辑于2022年，星期二第36页，共92页，编辑于2022年，星期二第37页，共92页，编辑于2022年，星期二第38页，共92页，编辑于2022年，星期二1 1、电磁波测距的归算的内容？、电磁波测距的归算的内容？复习：第39页，共92页，编辑于2022年，星期二2三差改正三差改正第40页，共92页，编辑于2022年，星期二3.椭球面三角系化算到高斯平面椭球面三角系化算到高斯平面的内容？第41页，共92页，编辑于2022年，星期二8.4高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式1 1、高斯投影坐标正算公式：、高斯投影坐标正算公式：B,B,l l x,y x,y 高斯投影必须满足以下三个条件：高斯投影必须满足以下三个条件：中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。对于任何一种投影：对于任何一种投影：坐标对应关系是最主要的；坐标对应关系是最主要的；如果是如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外，还有它本身的特殊条正形投影，除了满足正形投影的条件外，还有它本身的特殊条件。件。第42页，共92页，编辑于2022年，星期二赤赤 道道第43页，共92页，编辑于2022年，星期二由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称对称于中央子午线，于中央子午线，的偶函数，的偶函数，y y为为的奇函数；的奇函数；，即，即，如展开为，如展开为的级数，收敛。的级数，收敛。式中式中是待定系数，它们都是纬度是待定系数，它们都是纬度B B的函数。的函数。由第三个条件知：由第三个条件知：x为为求偏导数求偏导数（1）第44页，共92页，编辑于2022年，星期二 位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x x应等于投影前从赤道应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长量至该点的子午线弧长X X，即，即(1)(1)式第一式中，当式第一式中，当 l=0 l=0时有：时有：顾及顾及(对于中央子午线对于中央子午线)故故得：得：依次求得依次求得 第45页，共92页，编辑于2022年，星期二自赤道量起的到所求点的子午线弧长自赤道量起的到所求点的子午线弧长所求点的大地经度与该点所在带所求点的大地经度与该点所在带的中央子午线的大地经度之差的中央子午线的大地经度之差第46页，共92页，编辑于2022年，星期二2 2、高斯投影坐标反算公式：、高斯投影坐标反算公式：x,y x,y B,lB,l 满足以下三个条件：满足以下三个条件：x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；x坐标轴投影后长度不变；坐标轴投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。过所求点过所求点P P作中央子午线的垂线，作中央子午线的垂线，该垂线与中央子午线的交点的纬该垂线与中央子午线的交点的纬度，称垂足纬度。其值由子午线度，称垂足纬度。其值由子午线弧长计算公式反算求得。弧长计算公式反算求得。第47页，共92页，编辑于2022年，星期二 底点纬度计算底点纬度计算(迭代法迭代法)在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设以后每次迭代按下式计算：以后每次迭代按下式计算：重复迭代直至重复迭代直至 为止。为止。在在1975年国际椭球上计算时，也有类似公式。年国际椭球上计算时，也有类似公式。第48页，共92页，编辑于2022年，星期二3 3、高斯投影坐标正反算公式的几何解释、高斯投影坐标正反算公式的几何解释：高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算第49页，共92页，编辑于2022年，星期二高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算第50页，共92页，编辑于2022年，星期二当当B=0时时x=X=0，y则随则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y轴。当轴。当l=0时时,则则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。当当l=常数时常数时(经线经线),随着随着B值增加，值增加，x值增大，值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用-B代替代替B时，时，y值不变，而值不变，而x值数值相等符号相反，值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。这就说明赤道是投影的对称轴。当当B=常数时常数时(纬线纬线)，随着的，随着的l增加，增加，x值和值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用曲线。又当用-l代替代替l时，时，x值不变，而值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。高斯投影的特点高斯投影的特点第51页，共92页，编辑于2022年，星期二子午线收敛角的概念子午线收敛角的概念 如右图所示，、如右图所示，、及及 分别为椭球分别为椭球面点、过点的子午线面点、过点的子午线 及平行圈及平行圈 在在高斯平面上的描写。由图可知，所谓点高斯平面上的描写。由图可知，所谓点 子午线收敛角就是子午线收敛角就是 在在 上的切线上的切线 与与 坐标北之间的夹角，用坐标北之间的夹角，用 表示。表示。在椭球面上，因为子午线同平行圈在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正形性质，因正交，又由于投影具有正形性质，因此它们的描写线此它们的描写线 及及 也必正交，也必正交，由图可见，平面子午线收敛角也就是由图可见，平面子午线收敛角也就是等于等于 在在 点上的切线同平面坐点上的切线同平面坐标系横轴标系横轴 的倾角。的倾角。8.5 平面子午线收敛角公式平面子午线收敛角公式第52页，共92页，编辑于2022年，星期二1、求、求的公式的公式 1）由大地坐标）由大地坐标L，B计算：计算：第53页，共92页，编辑于2022年，星期二第54页，共92页，编辑于2022年，星期二在中央子午线上在中央子午线上l=0,r=0；在赤道上；在赤道上B=0,r=0。在同一经线上在同一经线上(l=常数常数)纬度愈高，纬度愈高，r的绝对值也愈大，在极点的绝对值也愈大，在极点处最大；在同一纬线上处最大；在同一纬线上(B=常数常数)，经差，经差l的绝对值愈大，的绝对值愈大，r的绝对的绝对值也愈大。值也愈大。r为奇函数，有正负，当描写点在为奇函数，有正负，当描写点在中央子午线以东时，经差为正，中央子午线以东时，经差为正，r也也为正；当描写点在中央子午线以西为正；当描写点在中央子午线以西时，经差为负，时，经差为负，r也为负。也为负。第55页，共92页，编辑于2022年，星期二2）由高斯平面坐标）由高斯平面坐标x，y计算：计算：底点纬度底点纬度 第56页，共92页，编辑于2022年，星期二8.6 方向改化公式方向改化公式方向改正数方向改正数就是指大就是指大地线的投影曲线和连地线的投影曲线和连接大地线两点的弦之接大地线两点的弦之夹角。夹角。第57页，共92页，编辑于2022年，星期二1、方向改化近似公式的推导、方向改化近似公式的推导误差小于误差小于0.1，可适用于三、四，可适用于三、四等三角测量的计算等三角测量的计算第58页，共92页，编辑于2022年，星期二8.7 距离改化公式（重点）距离改化公式（重点）由由S化至化至D所加的所加的S改正称为改正称为距离改正距离改正 1、研究平面曲线长度、研究平面曲线长度s与其弦线长度与其弦线长度D的的关系；关系；2、研究用大地坐标、研究用大地坐标B、L和平面坐标和平面坐标x、y计计算长度比算长度比m的公式；的公式；3、最后导出距离改化的计算公式。、最后导出距离改化的计算公式。m1第59页，共92页，编辑于2022年，星期二1、平面曲线长度、平面曲线长度s与其弦线长度与其弦线长度D的关系的关系由于由于v是一个小角，最大不会超过方向改化值是一个小角，最大不会超过方向改化值，因此可把，因此可把cosv展开为展开为级数：级数：式中用式中用v的最大值的最大值代替代替 v第60页，共92页，编辑于2022年，星期二已是二次项，已是二次项，D与与s之差之差 是四次项微小量。当是四次项微小量。当取最大取最大40,s=50KM时，时，代入上式得代入上式得 ，化算为相对中误差为，化算为相对中误差为：所以，对现有测量方法这个误差可忽略不计，完全可以认为大地所以，对现有测量方法这个误差可忽略不计，完全可以认为大地线的平面投影曲线长度线的平面投影曲线长度s等于其弦线长度等于其弦线长度D。第61页，共92页，编辑于2022年，星期二第62页，共92页，编辑于2022年，星期二2、长度比和长度变形、长度比和长度变形长度比长度比m是指椭球面上某一点的微分元素是指椭球面上某一点的微分元素dS，与其投影面，与其投影面上的相应的微分元素上的相应的微分元素ds之比，即：之比，即：由于长度比由于长度比m恒大于恒大于1，故称，故称 为为长度变形长度变形。1）用大地坐标表示的长度比公式）用大地坐标表示的长度比公式实用时一般取至二次项实用时一般取至二次项 在在6带的边缘及低纬度处，带的边缘及低纬度处，有时用到有时用到 项。项。第63页，共92页，编辑于2022年，星期二2）用平面坐标表示的长度比公式）用平面坐标表示的长度比公式代入代入大地线始末两端的平均纬度计算的椭球的平均曲率半径第64页，共92页，编辑于2022年，星期二m随点的位置随点的位置(B,L)或或(x,y)而异，但在一点上与方向无关；而异，但在一点上与方向无关；当当 时，由于时，由于m是是y（或（或l）的偶函数，且各项都）的偶函数，且各项都为为“+”号，号，故故m恒大于恒大于1，即除中央子午线外其它投影后都，即除中央子午线外其它投影后都变长了；变长了；长度变形（长度变形（m-1）与）与 成正比例地增大，愈离远中央成正比例地增大，愈离远中央子午线长度变形愈大。子午线长度变形愈大。在同一纬线上，即在同一纬线上，即B=常数，长度变形（常数，长度变形（m-1）随）随l的增大而的增大而 增大。增大。在同一经线上，即在同一经线上，即l=常数，长度变形（常数，长度变形（m-1）随）随B的减少而增的减少而增 大，在赤道处大，在赤道处(B=0)为最大。为最大。当当y=0(或或l=0)时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点的时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点的m都等都等于于1，即中央子午线投影后长度不变；，即中央子午线投影后长度不变；第65页，共92页，编辑于2022年，星期二3、距离改化公式：、距离改化公式：对于一条三角边来说，由于边长较短，长度比的变化实际上是很微小的，可以认为是对于一条三角边来说，由于边长较短，长度比的变化实际上是很微小的，可以认为是一个常数，因而可以用一个常数，因而可以用D/S来代替来代替dD/dS，即有：，即有：代入代入当当S70km,ym350km(6带的边带的边缘缘)计算精度小于计算精度小于0.001m，对于，对于一等边长的归算完全可满足要求，一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去对于二等边长的归算可略去 项，对于三四等边长的归项，对于三四等边长的归算又可再略去算又可再略去 项。项。第66页，共92页，编辑于2022年，星期二4、距离改化的实用计算公式、距离改化的实用计算公式一等三角网的距离改正的实用公式：一等三角网的距离改正的实用公式：二等三角网的距离改正的实用公式：二等三角网的距离改正的实用公式：三等三角网以下的距离改正的实用公式：三等三角网以下的距离改正的实用公式：第67页，共92页，编辑于2022年，星期二产生换带的原因产生换带的原因 高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用带中的点坐标，有时工程测量中要求采用 带、带、带或任意带，而国家控带或任意带，而国家控制点通常只有制点通常只有 带坐标，这时就产生了带坐标，这时就产生了 带同带同 带（或带（或 带、任意带）之带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如下图所示：间的相互坐标换算问题，如下图所示：8.8 高斯投影的邻带换算（掌握）高斯投影的邻带换算（掌握）第68页，共92页，编辑于2022年，星期二需要进行坐标邻带换算的情况：需要进行坐标邻带换算的情况：1、控制网跨越两个投影带；、控制网跨越两个投影带；2、在分界子午线附近地区测图，需要用到另一带、在分界子午线附近地区测图，需要用到另一带 的三角点作为控制点时；的三角点作为控制点时；3、6带、带、3带、带、1.5带之间的换算。带之间的换算。坐标邻带换算的一般方法：坐标邻带换算的一般方法：把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，首先把某投把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，首先把某投影带（如影带（如21带）内的有关点的平面坐标带）内的有关点的平面坐标x，y利用高斯利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标B，L。然后。然后再由大地坐标再由大地坐标B，L利用投影正算公式换算成相邻带的利用投影正算公式换算成相邻带的（如（如22带）的平面坐标。带）的平面坐标。第69页，共92页，编辑于2022年，星期二计算步骤计算步骤：根据根据,利用高斯反算公计算换算利用高斯反算公计算换算,，得到，得到 ，。，。采用已求得的采用已求得的,，并顾及到第，并顾及到第带的中央子午线带的中央子午线 ，求得，利用高斯正算公式计算第，求得，利用高斯正算公式计算第带的直角坐标带的直角坐标 ,。为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算算例算例在中央子午线在中央子午线 的的带中，有某一点的平面直角坐标带中，有某一点的平面直角坐标，现要求计算该点在中央子午线，现要求计算该点在中央子午线 的第的第带的平面直角坐标。带的平面直角坐标。第70页，共92页，编辑于2022年，星期二8.12 工程测量投影面与投影带的选择（重点）工程测量投影面与投影带的选择（重点）1999年城市测量规范规定：年城市测量规范规定：一个城市只应建立一个与国家坐标系统相联系的、一个城市只应建立一个与国家坐标系统相联系的、相对独立和统一的城市坐标系统，并经上级行政主管相对独立和统一的城市坐标系统，并经上级行政主管部门审查批准后方可使用。部门审查批准后方可使用。城市平面控制测量坐标系统城市平面控制测量坐标系统的选择应以投影长度变形值不大于的选择应以投影长度变形值不大于2.5cm/km为原则为原则，并，并根据城市地理位置和平均高程而定。根据城市地理位置和平均高程而定。第71页，共92页，编辑于2022年，星期二1、当长度变形值不大于、当长度变形值不大于2.5cm/km时时,应采用高斯正形投影统一应采用高斯正形投影统一3带的带的平面直角坐标系统。统一平面直角坐标系统。统一3带的主子午线经度由东经带的主子午线经度由东经75起起,每隔每隔3至至东经东经135。2、当长度变形值大于、当长度变形值大于2.5cm/km 时，可依次采用：时，可依次采用：1）投影于）投影于抵偿高程面抵偿高程面上的高斯正形投影带的平面直角坐标系统；上的高斯正形投影带的平面直角坐标系统；2）高斯正形投影）高斯正形投影任意带任意带的平面直角坐标系统，投影面可采用黄的平面直角坐标系统，投影面可采用黄海平均海水面或城市平均高程面。海平均海水面或城市平均高程面。如何选择城市平面控制网坐标系统？如何选择城市平面控制网坐标系统？3、面积小于、面积小于25k的城镇的城镇,可不经投影采用假定平面直角坐标可不经投影采用假定平面直角坐标系统在平面上直接进行计算。系统在平面上直接进行计算。第72页，共92页，编辑于2022年，星期二1、工程测量中投影面和投影带选择的基本出发点、工程测量中投影面和投影带选择的基本出发点 1 1）有关投影变