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第二章一元函数微分学本讲稿第一页，共五十四页一、函数导数的概念一、函数导数的概念第一节第一节 函数的导数函数的导数1.函数函数 在点在点 处的导数处的导数第一步：求改变量第一步：求改变量第二步：第二步：作比值作比值第三步：取极限第三步：取极限例例2-1.已知函数已知函数 ，求，求本讲稿第二页，共五十四页等价定义：等价定义：(结论：极限式分子的被减数与减数中对应符号结论：极限式分子的被减数与减数中对应符号 内的表达式之差恰好等于极限的分母，则该极限等内的表达式之差恰好等于极限的分母，则该极限等于函数在指定点于函数在指定点 处的导数处的导数 .）本讲稿第三页，共五十四页（1）设函数设函数 ，求，求例例2-2.（2）设函数设函数 ，求，求（3）设函数设函数 ，讨论，讨论m在在什么条件下连续与可导？什么条件下连续与可导？本讲稿第四页，共五十四页例例2-3.设函数设函数 在点在点 可导，求可导，求例例2-4.（1）设设 ，求，求（2）若若 ，求，求本讲稿第五页，共五十四页（2008-2）设函数设函数 可导，则下列式子中正确的是可导，则下列式子中正确的是本讲稿第六页，共五十四页(2005-13)设函数设函数 在在 内连续，并满足：内连续，并满足：,，求，求 .本讲稿第七页，共五十四页2.左导数和右导数左导数和右导数左导数左导数右导数右导数导数存在性定理导数存在性定理（求分段点的导数必须要用此定理）（求分段点的导数必须要用此定理）例例2-5.用导数定义求用导数定义求在点在点 处的导数处的导数.本讲稿第八页，共五十四页3.导数的几何意义导数的几何意义几何意义：几何意义：切线方程：切线方程：法线方程：法线方程：（2007-8）若直线若直线 是曲线是曲线 的一条切线，则常数的一条切线，则常数（2008-21）求曲线求曲线 的切线，使其在两坐标的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，轴上的截距之和最小，并求此最小值并求此最小值.本讲稿第九页，共五十四页4.导数与连续的关系导数与连续的关系若函数若函数 在点在点 可导，则可导，则 在在 连续连续.可导可导连续连续连续连续可导可导不连续不连续不可导不可导?连续不一定可导！连续不一定可导！本讲稿第十页，共五十四页（1）设函数设函数 在点在点 处可处可 导，求导，求 的值的值.例例2-6.（2）设设 ，其中，其中 在在 处连续，处连续，求求 .5.导函数导函数本讲稿第十一页，共五十四页二、函数导数的计算二、函数导数的计算1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式本讲稿第十二页，共五十四页2.导数的四则运算导数的四则运算本讲稿第十三页，共五十四页例例2-7.求下列函数的导数求下列函数的导数本讲稿第十四页，共五十四页3.复合函数的导数复合函数的导数（1）复合函数求导法复合函数求导法中间变量中间变量本讲稿第十五页，共五十四页例例2-8.求下列函数的导数求下列函数的导数本讲稿第十六页，共五十四页（2）抽象复合函数的导数抽象复合函数的导数例例2-9.（1）设函数设函数 ，求，求注意：注意：对自变量对自变量 求导求导 对对 求导求导对自变量对自变量 求导求导 对对 求导求导本讲稿第十七页，共五十四页（3 3）已知已知 ，求，求（2 2）设函数设函数 可导，可导，求，求本讲稿第十八页，共五十四页4.隐函数的导数隐函数的导数由方程由方程 所确定的函数所确定的函数 称为称为 是是 的隐的隐函数，其导数的求法为：函数，其导数的求法为：对方程两边同时对对方程两边同时对 求导，要记住求导，要记住 是是 的函数，则的函数，则 的函数的函数是是 的复合函数，对的复合函数，对 求导应该按复合求导法则求解求导应该按复合求导法则求解.例例2-10.（1）设方程设方程 ，求，求（2）设设 ，求，求（3）设设 ，求，求本讲稿第十九页，共五十四页（2007-14）设函数设函数 由方程由方程 所确所确定，求定，求本讲稿第二十页，共五十四页5.幂指函数的导数幂指函数的导数（再利用隐函数求导法）（再利用隐函数求导法）（再利用复合函数求导法）（再利用复合函数求导法）本讲稿第二十一页，共五十四页例例2-11.求下列函数的导数求下列函数的导数本讲稿第二十二页，共五十四页6.参数方程的导数参数方程的导数若参数方程若参数方程 确定确定 是是 的函数，则有的函数，则有例例2-12.已知已知 ，求，求本讲稿第二十三页，共五十四页(2008-14)设函数设函数 由参数方程由参数方程 所确定，求所确定，求(2006-14)设函数设函数 由参数方程由参数方程 所确定，求所确定，求(2005-14)设函数设函数 由参数方程由参数方程 所确定，求所确定，求本讲稿第二十四页，共五十四页7.高阶导数高阶导数例例2-13.设设 ，求，求本讲稿第二十五页，共五十四页8.函数的微分函数的微分微分公式：微分公式：本讲稿第二十六页，共五十四页一、罗尔定理一、罗尔定理第二节第二节 中值定理中值定理条件条件如果函数如果函数 满足满足结论：结论：（1）在闭区间）在闭区间 连续；连续；（2）在开区间）在开区间 可导可导（3）则至少存在一点则至少存在一点 使得使得本讲稿第二十七页，共五十四页（2007-3）设函数设函数设函数设函数 ，则方，则方，则方，则方 程程程程 的实根个数为（的实根个数为（的实根个数为（的实根个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4（2006-3）下列函数在下列函数在 上满足罗尔定理条件的是上满足罗尔定理条件的是()()A.B.C.D.A.B.C.D.本讲稿第二十八页，共五十四页二、拉格朗日定理二、拉格朗日定理条件条件如果函数如果函数 满足满足结论：结论：（1）在闭区间）在闭区间 连续；连续；（2）在开区间）在开区间 可导可导则至少存在一点则至少存在一点 使得使得（2005-8）函数函数 在区间在区间 上满足拉格郎上满足拉格郎日中值定理的日中值定理的 .本讲稿第二十九页，共五十四页8.利用罗比塔法则求极限利用罗比塔法则求极限(1)型的罗彼塔法则型的罗彼塔法则设函数设函数 满足条件：满足条件：在点在点a的某空心邻域内可导，且的某空心邻域内可导，且则必有则必有本讲稿第三十页，共五十四页例例2-14.求下列函数的极限求下列函数的极限(2007-13)求极限求极限(2005-7)极限极限 本讲稿第三十一页，共五十四页(2)型的罗彼塔法则型的罗彼塔法则例例2-15.求极限求极限本讲稿第三十二页，共五十四页(3)型的罗彼塔法则型的罗彼塔法则如果如果 ，求，求解法：解法：通过分母通分或根式有理化，将其化成通过分母通分或根式有理化，将其化成 型的不定式，然后再求极限型的不定式，然后再求极限.例例2-16.求下列函数的极限求下列函数的极限本讲稿第三十三页，共五十四页(4)型的罗彼塔法则型的罗彼塔法则如果如果 ，求，求注意：注意：当当 为对数或反三角函数时不下放，即为对数或反三角函数时不下放，即不将写成不将写成例例2-17.求极限求极限本讲稿第三十四页，共五十四页例例2-18.求下列函数的极限求下列函数的极限本讲稿第三十五页，共五十四页1.利用定义判断函数的增减性利用定义判断函数的增减性任取任取增函数增函数增区间增区间减函数减函数减区间减区间（变量（变量x与与y同方向变化）同方向变化）（变量（变量x与与y反方向变化）反方向变化）注意：等号只是在个别点处取得，不影响函数的增减性注意：等号只是在个别点处取得，不影响函数的增减性第三节第三节 利用导数研究函数的性态利用导数研究函数的性态一、函数的增减性一、函数的增减性(证明题证明题)本讲稿第三十六页，共五十四页2.利用导数判断函数的增减性利用导数判断函数的增减性设函数设函数 在在 上可导，则上可导，则（1）在在 上是递增的上是递增的（2）在在 上是递减的上是递减的其中使其中使 成立的点仅有有限个成立的点仅有有限个.本讲稿第三十七页，共五十四页小结：利用导数求函数的增减区间的步骤小结：利用导数求函数的增减区间的步骤（1）求出）求出 的定义域；的定义域；（2）令）令 ，求出全部驻点和导数不存在的点；，求出全部驻点和导数不存在的点；（3）用驻点和导数不存在的点把定义域划分为若干）用驻点和导数不存在的点把定义域划分为若干个小区间，考察各小区间内个小区间，考察各小区间内 的符号的符号.例例2-19.确定下列函数的单调区间确定下列函数的单调区间驻点驻点本讲稿第三十八页，共五十四页3.利用导数判断函数单调性的方法证明不等式利用导数判断函数单调性的方法证明不等式证明过程如下：证明过程如下：（1）移项使不等式一端为）移项使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅，另一端即为所作辅助函数；助函数；（2）求）求 并验证并验证 在指定区间的增减性；在指定区间的增减性；（3）求出区间端点的函数值，作比较即可）求出区间端点的函数值，作比较即可.例例2-20.当当 时，证明不等式：时，证明不等式：(2008-24)对任意实数对任意实数 ，证明不等式：，证明不等式：（2007-24）求证：当求证：当 时，时，.本讲稿第三十九页，共五十四页二、函数的极值与最值二、函数的极值与最值1.函数极值的定义函数极值的定义设函数设函数 在点在点 的某领域内有定义，的某领域内有定义，是该领域内的任意一点，若是该领域内的任意一点，若本讲稿第四十页，共五十四页2.函数极值存在的条件函数极值存在的条件（1）必要条件）必要条件函数的函数的极值点极值点必是函数的必是函数的驻点或导数不存在点驻点或导数不存在点.驻点或导数不存在的点驻点或导数不存在的点不一定就是函数的不一定就是函数的极值点极值点.注意：注意：点点 是曲线是曲线 的极值点，的极值点，则有则有 或或 不存在不存在.本讲稿第四十一页，共五十四页(2005-2)若若 是函数是函数 的可导极的可导极值点，则常数值点，则常数 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.本讲稿第四十二页，共五十四页（2）第一充分条件）第一充分条件例例2-21.求下列函数的极值求下列函数的极值本讲稿第四十三页，共五十四页（3）第二充分条件）第二充分条件(只适用驻点）只适用驻点）设设 ，存在，存在若有若有 ，则，则 为为 的极小值的极小值.若有若有 ，则，则 为为 的极小值的极小值.例例2-22.求函数求函数 的极值的极值.本讲稿第四十四页，共五十四页小结：利用导数求函数极值点和极值的步骤小结：利用导数求函数极值点和极值的步骤（1 1）求出驻点和导数不存在的点）求出驻点和导数不存在的点 ；（2 2）利用第一充分条件判断在点）利用第一充分条件判断在点 处是否取得极值；处是否取得极值；（3）求出极值）求出极值（对于驻点还可以采用第二充分条件）（对于驻点还可以采用第二充分条件）本讲稿第四十五页，共五十四页3.函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值（1）最值的定义）最值的定义任意任意 是函数是函数 的最小值的最小值.是函数是函数 的最小值的最小值.本讲稿第四十六页，共五十四页（2 2）利用导数求函数在）利用导数求函数在 上的最值的步骤：上的最值的步骤：求出端点函数值求出端点函数值 ；求出求出 在在 内的驻点和导数不存在的点内的驻点和导数不存在的点 ；将将 比较大小，最大的就是最大值，比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值最小的就是最小值.例例2-23.求函数求函数 在在 上的最大值和最小值上的最大值和最小值.（2006-21）证明：当证明：当 时，时，.本讲稿第四十七页，共五十四页三、函数的凹性与拐点三、函数的凹性与拐点1.函数的凹性定义函数的凹性定义如果在某区间如果在某区间 内，曲线弧位于其上任意一点切线的内，曲线弧位于其上任意一点切线的上上（下）（下）方，则称曲线在方，则称曲线在 内是内是上（下）凹上（下）凹的的.曲线曲线上上凹凹与与下凹下凹的分界点称为的分界点称为拐点拐点.本讲稿第四十八页，共五十四页2.判断函数的凹性判断函数的凹性设函数设函数 在在 上二阶可导，则上二阶可导，则（1）在在 上是上凹的上是上凹的（2）在在 上是下凹的上是下凹的是递增的是递增的是递减的是递减的本讲稿第四十九页，共五十四页3.拐点存在的必要条件拐点存在的必要条件点点 是曲线是曲线 的拐点，的拐点，则有则有 或或 不存在不存在.例例2-24.判断曲线判断曲线 的拐点及凹性的拐点及凹性.(2008-9)已知曲线已知曲线 ，则其拐，则其拐点为点为 .本讲稿第五十页，共五十四页（2007-22）设函数设函数 具有如下性质：具有如下性质：（1）在点）在点 的左侧临近单调减少；的左侧临近单调减少；（2）在点）在点 的右侧临近单调增加；的右侧临近单调增加；（3）其图形在点）其图形在点 的两侧凹凸性发生改变的两侧凹凸性发生改变.试确定试确定 的值的值.本讲稿第五十一页，共五十四页四、曲线的渐近线四、曲线的渐近线1.1.曲线渐近线的定义曲线渐近线的定义 如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于某条直线的距离趋于0 0，则称此直线为曲线的渐近线，则称此直线为曲线的渐近线.2.2.水平渐近线水平渐近线若若 或或则则 为曲线的水平渐近线为曲线的水平渐近线.本讲稿第五十二页，共五十四页3.3.垂直渐近线垂直渐近线若若 或或则则 为曲线的垂直渐近线为曲线的垂直渐近线.4.4.水平渐近线水平渐近线若若 则则 是曲线的是曲线的斜渐近线斜渐近线.本讲稿第五十三页，共五十四页例例2-25.2-25.判断下列函数的渐近线判断下列函数的渐近线本讲稿第五十四页，共五十四页