考点06 二次函数与幂函数-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点帮.docx

考点06 二次函数与幂函数【命题趋势】 此知识点也是高考中的常考知识点，注意：（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图象，了解它们的变化情况.【重要考向】一、求二次函数和幂函数的解析式二、幂函数的图像与性质的应用三、二次函数的图像与性质的应用 二次函数与幂函数的解析式 幂函数与二次函数的概念1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数yxyx2yx3yyx1图象性质定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0上单调递减；在(0，)上单调递增在R上单调递增在0，)上单调递增在(，0)和(0，)上单调递减公共点(1,1)2二次函数的概念形如的函数叫做二次函数.3表示形式(1)一般式：f(x)=ax2bxc(a0).(2)顶点式：f(x)=a(xh)2k(a0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f(x)=a(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标. 【巧学妙记】 (1)函数f(x)=ax2bxc(a0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2bxc=0的实根.(2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1x2|=.(3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0().(4)幂函数在上都有定义.(5)幂函数的图象均过定点.(6)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.(7)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.(8)幂函数在第四象限无图象. 【典例】1.已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3，对xR，都有f(1x)f(1x)成立，则f(x)的解析式为_【答案】f(x)x22x3解析由f(0)3，得c3，又f(1x)f(1x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称，1，b2，f(x)x22x3.2.已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.【答案】x22x解析设函数的解析式为f(x)ax(x2)(a0)，所以f(x)ax22ax，由1，得a1，所以f(x)x22x.3.若函数是幂函数，且满足，则A B C D3【答案】A【解析】由题意可设为常数），因为满足，所以，所以，所以，所以.故选A 幂函数的图像与性质幂函数y=x的图象与性质的正负：当>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立幂函数的指数与图象特征的关系当0，1时，幂函数y=x在第一象限的图象特征如下：>10<<1<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2、【巧学妙记】结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.【典例】4.若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()Ad>c>b>aBa>b>c>dCd>c>a>bDa>b>d>c【答案】B【解析】由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.5.已知幂函数f(x)(n22n2)(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3 B1 C2 D1或2【答案】B【解析】由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1符合题意，故选B.6.若(a1)<(32a)，则实数a的取值范围是_【答案】(，1)【解析】不等式(a1)<(32a)等价于a1>32a>0或32a<a1<0或a1<0<32a，解得a<1或<a<. 二次函数图像与性质的应用二次函数的图象与性质函数解析式图象(抛物线)定义域R值域对称性函数图象关于直线对称顶点坐标奇偶性当b=0时是偶函数，当b0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数.在上是增函数；在上是减函数.最值当时，当时，【巧学妙记】(1)函数f(x)=ax2bxc(a0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2bxc=0的实根.(2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1x2|=.(3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0(). 【典例】7.一次函数yaxb(a0)与二次函数yax2bxc在同一坐标系中的图象大致是()【答案】C【解析】若a>0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数yaxb为减函数，二次函数yax2bxc的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.8.函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0【答案】D【解析】当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上单调递减，知解得3a<0.综上，a的取值范围为3,09.已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值解f(x)a(x1)21a.(1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a>0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(3)当a<0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.10.已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1，若不等式f(x)>2xm在区间1,1上恒成立，则实数m的取值范围为_【答案】(，1)【解析】设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)1，得c1，又f(x1)f(x)2x，得2axab2x，所以a1，b1，所以f(x)x2x1.f(x)>2xm在区间1,1上恒成立，即x23x1m>0在1,1上恒成立，令g(x)x23x1m2m，x1,1，g(x)在1,1上单调递减，所以g(x)ming(1)131m>0，所以m<1.1.已知时不等式恒成立，则x的取值范围为（ ）A. (，2)(3，)B. (，1)(2，)C. (，1)(3，)D. (1，3)2.设函数，若对于，恒成立，则实数m的取值范围（ ）A. B. C. D. 3.已知函数在区间1,+)上单调递增，则a的取值范围为（ ）A. (2,+)B. 2, +)C. (,2)D. (,2 4.函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D. 5.已知幂函数的图象过点(4,2)，则等于（ ）A. B. 3C. D. 26.若幂函数f(x)的图象过点，则函数的递增区间为（ ）A. B. C. D. 7.若四个幂函数，在同一坐标系中的部分图象如图，则、的大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 8.已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）A. B. C. 2D. 9.（多选题）已知点在函数的图象上，则过点A的曲线的切线方程是（ ）A. B. C. D. 二、填空题10.已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是_.11. 已知直线与曲线有四个交点，则a的取值范围是_.12. 已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则m的值是_13. 幂函数在(0,+)上为增函数，则实数m =_.14.已知幂函数是奇函数，且，则m的值为_.一、单选题1（2013浙江高考真题（文）已知a，b，cR，函数f (x)ax2bxc.若f (0)f （4）>f （1），则（ ）Aa>0，4ab0Ba<0，4ab0Ca>0，2ab0Da<0，2ab02（2007湖南高考真题（文）函数的图象和函数的图象的交点个数是A1B2C3D43（2008江西高考真题（文）已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是ABCD4（2011上海高考真题（文）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）ABCD二、填空题5（2017北京高考真题（文）已知,且,则的取值范围是_.6（2012山东高考真题（文）若函数在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a_.三、解答题7（2014辽宁高考真题（文）设函数，记的解集为M，的解集为N.（1）求M；（2）当时，证明：.一、单选题1（2021北京高三二模）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）ABCD2（2021新疆高三其他模拟（文）若实数，满足，且，则下列选项正确的是（ ）ABCD3（2021全国高三月考（文）已知为二次函数，且，则（ ）ABCD4（2021江西新余市高三二模（文）已知，是区间上的任意实数，则函数在上单调递增的概率为（ ）ABCD5（2021全国高一课时练习）已知函数，则的增区间为（ ）A（，1）B（3，1）C1，+）D1，1）6（2021安徽合肥市合肥一中高三其他模拟（文）若，则下列函数；满足条件的有（ ）A1个B2个C3个D4个7（2021江西高三二模（文）设，则下列关系中正确的是（ ）ABCD8（2021江西高三其他模拟（文）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ）ABCD二、多选题9（2021全国高一课时练习）有如下命题，其中真命题的标号为（ ）A若幂函数的图象过点，则B函数且的图象恒过定点C函数在上单调递减D若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是三、填空题10（2021全国高一课时练习）已知偶函数在上是减函数，则整数a的值是_11（2021黑龙江哈尔滨市哈尔滨三中高二月考（文）已知，若对任意的，总有，则的范围是_12（2021千阳县中学高三其他模拟（文）给出以下几个不等式：；其中不等式中成立序号为_四、解答题13（2020上海高一专题练习）幂函数是偶函数，且在上为增函数，求函数解析式.试卷第14页，总14页参考答案跟踪训练1.【答案】：C【分析】根据题意，转化为关于的函数，得出对于任意恒成立，即可求解.【详解】由题意，因为时不等式恒成立，可转化为关于的函数，则对于任意恒成立，则满足，解得或，即的取值范围为.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，其中解答中根据条件转化为关于的函数，结合其图象特征，列出不等式组是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.2.【答案】：A【分析】由题意变量分离转为在上恒成立，只需，求出最大值即可得到实数的取值范围.【详解】由题意，可得，即，当时，所以在上恒成立，只需，当时有最小值为1，则有最大值为3，则，实数的取值范围是，故选：A【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题.3.【答案】：D【分析】直接根据二次函数性质，由对称轴和区间的位置关系即可得解.【详解】依题意对称轴，解得，故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，属于基础题.4.【答案】：B【分析】根据函数在上单调递增，则根据函数的图象知：对称轴必在x=3的左边，列出不等式求解即可【详解】函数在上单调递增，x=，即故选B【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴的求法与应用，属于基础题5.【答案】：A【分析】根据题意，由幂函数的定义可得，将点的坐标代入解析式，计算可得的值，相加即可得答案【详解】解：根据题意，函数为幂函数，则，若其图象过点，则有，解可得，则；故选：【点睛】本题考查幂函数的定义以及解析式的求法，注意幂函数解析式的形式，属于基础题6.【答案】：A【分析】设，代入点求出，再求出的导数，令，即可求出的递增区间.【详解】设，代入点，则，解得，则，令，解得，函数的递增区间为.故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.7.【答案】：B【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得.故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中熟记幂函数在第一象限的图象与性质是解答的关键，属于基础题.8.【答案】：C【分析】设幂函数的解析式为，根据幂函数的图象过点，求得，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，设幂函数的解析式为，根据幂函数的图象过点，可得，解得，即，所以.故选：C.9.【答案】AD【分析】先根据点在函数图象上，可求出，再设出切点，求出在点处的切线方程，然后根据点在切线上，即可解出【详解】因为点在函数的图象上，所以设切点，则由得，即，所以在点处的切线方程为：，即而点在切线上， 即，解得或，切线方程为：和故选：AD【点睛】本题主要考查过某点的曲线的切线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题二、填空题10.【答案】：【分析】求出二次函数的对称轴方程，根据二次函数的单调区间，确定对称轴与区间的关系，即可求解.【详解】对称轴方程为，在区间上是增函数，所以.故答案为:.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.11. 【答案】：【分析】直线与曲线有四个交点等价于方程有四个解，即满足和有四个交点，画出函数图象即可求出.【详解】直线与曲线有四个交点等价于方程有四个解，则，满足和有四个交点，画出函数图象如下，观察图象可知，要使和有四个交点，需满足故答案为：.【点睛】本题考查利用函数图象求参数，属于基础题.12. 【答案】：1【分析】由幂函数的定义可得，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定m的值.【详解】函数是幂函数，解得或，又该函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当时，函数是偶函数，即的值是1，故答案为1.【点睛】本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查13. 【答案】：1【分析】利用幂函数定义和单调性可得且，联立求解即可.【详解】由幂函数定义得，解得：或因为在上为增函数，所以，即，所以故答案为：【点睛】本题考查了幂函数定义和单调性，属于基础题.14.【答案】：0【分析】由和，可确定或，由是奇函数，可舍掉，即可得到本题答案.【详解】因为，又因为，所以或，当时，不符合题意，舍去；当时，符合题意.故答案为：0真题再现1A【分析】由已知得f (x)的图象的对称轴为x2且f (x)先减后增，可得选项.【详解】由f (0)f （4），得f (x)ax2bxc图象的对称轴为x2，4ab0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），f (x)先减后增，于是a>0，故选：A.【点睛】本题考查二次函数的对称轴，单调性，属于基础题.2C【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象，如下图所示： 由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数3C【详解】当时，显然成立当时，显然不成立；当显然成立；当时，则两根为负，结论成立故,故选C.4A【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称5【详解】试题分析：，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为. 【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.6【详解】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意7（1）；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当时，由，或 当时，由，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求（2）由 ，求得N，可得当xMN时，f（x）=1-x，不等式的左边化为，显然它小于或等于，要证的不等式得证（1）当时，由得，故；当时，由得，故；所以的解集为.（2）由得解得，因此，故.当时，于是.考点：1.其他不等式的解法；2.交集及其运算模拟检测1D【分析】根据基本初等函数的性质依次判断选项即可.【详解】对于A选项：指数函数，底数，所以函数在上单调递减；对于B选项：幂函数，所以幂函数在上单调递减；对于C选项：二次函数，对称轴为，所以二次函数在上单调递减，在上单调递增；对于D选项：对数函数，底数，所以对数函数在上单调递增.故选：D.【点睛】本题主要考查基本初等函数的单调性，基本初等函数的函数性质是整个高中数学知识的奠基，和很多专题知识都有交融，是整个数学学习的基础.2A【分析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：函数，在时单调递增，且，故A正确；函数，在时单调递减，且，故B错误；当时，故C错误；当时，故D错误；故选：A.3B【分析】设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式.【详解】设，则，由可得，所以，解得，因此，.故选：B.4D【分析】利用函数单调性求得，关系，结合几何概型即可求解【详解】因为，是区间上的任意实数，则函数在上单调递增所以如图所示阴影部分：则所要求的概率为故选：D5B【分析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.【详解】由，得，当时，函数单调递增，所以函数单调递增；当时，函数单调递减，所以所以函数单调递减，故选：B.6D【分析】条件表明函数应是上凹函数或者是一次函数，结合幂函数的图象可作答【详解】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有满足.故选：D.7D【分析】利用指对函数的性质，结合中间量比较大小【详解】，故选：D8D【分析】由幂函数的性质求参数a、b，根据点在直线上得，有且，进而可求的取值范围.【详解】由是幂函数，知：，又在上，即，则且，.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m、n的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围.9BD【分析】由所过点可求得幂函数解析式，由此得到，知A错误；由恒成立可知过定点，知B正确；由二次函数的性质可知C错误；由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定的范围，知D正确.【详解】对于A，令，则，解得：，A错误；对于B，令，即时，恒过定点，B正确；对于C，为开口方向向上，对称轴为的二次函数，在上单调递增，C错误；对于D，令，解得：或；又，实数的取值范围为，D正确.故选：BD.102【分析】由在上是减函数，可得，进而可得结果.【详解】因为在上是减函数，所以，解得，又函数为偶函数，且，当时，为奇函数当时，为偶函数当时，为奇函数；所以故答案为：211【分析】把函数f(x)视为关于参数a的一次型函数，在端点-1，1处的函数值不小于0，建立不等式组求解即得.【详解】令g(a)=x2a-3x+1，则g(a)是一次型函数，它在闭区间上图象为线段，则在闭区间上函数值不小于0，即对应图象不在x轴下方，只需端点不在x轴下方即可，解得：或，解得：，所以有.答案为：【点睛】在参数范围给定的含该参数的函数问题中，转换“主”、“辅”变元的位置是解题的关键.12【分析】利用幂函数的单调性可判断的正误；利用对数函数的单调性结合作差法、基本不等式可判断的正误；利用函数的单调性可判断的正误；利用对数函数可判断的正误.【详解】对于，错误；对于，所以， ，正确；对于，令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，当时，则，所以，函数在上单调递减，因为，则，即，故，正确；对于，设，其中，则，当时，即函数在上单调递减，所以，即，所以，因此，正确.故答案为：.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.13或.【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于满足的式子，即可求得的值.【详解】因为幂函数是偶函数，且在上为增函数，所以，解得或，当时，当时，.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关幂函数的问题，能够正确解题的关键是熟练掌握幂函数的定义和幂函数的性质.33