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第三章系统的数学模型第1页，共95页，编辑于2022年，星期二3.1 3.1 系统的微分方程系统的微分方程3.1.1 3.1.1 建立微分方程的基本步骤建立微分方程的基本步骤（1）确定系统或各组成元件的输入、输出量。）确定系统或各组成元件的输入、输出量。（2）根据各变量所遵循的运动规律和物理定律，列写出信）根据各变量所遵循的运动规律和物理定律，列写出信 号在传递过程中各环节的动态微分方程。号在传递过程中各环节的动态微分方程。（3）按照系统的工作条件，忽略一些次要因素，对已建立）按照系统的工作条件，忽略一些次要因素，对已建立 的原始动态微分方程进行数学处理，并考虑相邻元件的原始动态微分方程进行数学处理，并考虑相邻元件 间是否存在负载效应。间是否存在负载效应。（4）消除所列动态微分方程的中间变量，得到描述系统的）消除所列动态微分方程的中间变量，得到描述系统的 输入、输出量之间关系的微分方程。输入、输出量之间关系的微分方程。（5）整理所得的微分方程。）整理所得的微分方程。第2页，共95页，编辑于2022年，星期二3.1.2 3.1.2 机械系统的微分方程机械系统的微分方程 在机械系统中，有些部件具有较大的惯性和刚度，而另一些部件则惯性在机械系统中，有些部件具有较大的惯性和刚度，而另一些部件则惯性较小、柔性较大。我们将前一类部件的弹性忽略，将其视为质量块；而把较小、柔性较大。我们将前一类部件的弹性忽略，将其视为质量块；而把后一类部件的惯性忽略，将其视为无质量的弹簧。这样，机械系统可抽象后一类部件的惯性忽略，将其视为无质量的弹簧。这样，机械系统可抽象为为质量质量弹簧弹簧阻尼系统阻尼系统。通过牛顿第二定律将通过牛顿第二定律将质量质量弹簧弹簧阻尼系统阻尼系统中的运动（位移、中的运动（位移、速度和加速度）与力联系起来，速度和加速度）与力联系起来，建立机械系统的动力学方程，即建立机械系统的动力学方程，即机械系统的微分方程机械系统的微分方程。第3页，共95页，编辑于2022年，星期二 为了分析这个系统，首先将动力滑台连同铣刀抽象成如为了分析这个系统，首先将动力滑台连同铣刀抽象成如3.1(b)3.1(b)所所示的质量示的质量弹簧弹簧阻尼系统的力学模型阻尼系统的力学模型(其中，其中，m m为受控质量；为受控质量；k k为弹为弹性刚度；性刚度；c c为粘性阻尼系数；为粘性阻尼系数；y yo o(t t)为输出位移为输出位移)。根据牛顿第二定律。根据牛顿第二定律 例例3 31 1 如图如图3.1(a)3.1(a)所示的组合机床动力滑台铣平面时的情所示的组合机床动力滑台铣平面时的情 况。况。工件工件动力滑台动力滑台（a)(b)图3.1 组合机床动力滑台及其动力学模型第4页，共95页，编辑于2022年，星期二的运动方程。的运动方程。例例3 32 2 如图如图3.2(a)3.2(a)所示的机械位移系统。它由弹簧所示的机械位移系统。它由弹簧K K、质、质 量块量块m m、阻尼器、阻尼器c c所组成。试写出在外力所组成。试写出在外力的作用下，质的作用下，质量量可得可得将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右边，并将各阶导数项按降幂排列，得边，并将各阶导数项按降幂排列，得 上式就是组合机床动力滑台铣平面时的机械系统的数学模型，即上式就是组合机床动力滑台铣平面时的机械系统的数学模型，即微分方程微分方程。块块m m的位移的位移第5页，共95页，编辑于2022年，星期二图3.2 机械位移系统(a)(b);阻阻位移位移在本题中的输入变量为外力在本题中的输入变量为外力，输出变量为质量块，输出变量为质量块m m的的，受控对象为质量块，受控对象为质量块m m。取质量块取质量块m m对其进行受力分对其进行受力分析，析，作用在质量块作用在质量块m m上的力有外力上的力有外力;弹簧的弹力弹簧的弹力 尼器的阻尼力尼器的阻尼力 。由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得第6页，共95页，编辑于2022年，星期二为阻尼比。为阻尼比。，即，即令令 ，。，则上式可写成，则上式可写成（3.1）式中，式中，T T称为时间常数，单位为秒，称为时间常数，单位为秒，显然上式描述的质量块显然上式描述的质量块m m的位移的位移的运动方程是一的运动方程是一个二阶线性定常微分方程。个二阶线性定常微分方程。第7页，共95页，编辑于2022年，星期二齿轮齿轮1 1和齿轮和齿轮2 2的原动转矩及负载转矩分别是的原动转矩及负载转矩分别是 、和和 、。其粘性摩擦系数及转动惯量分别是其粘性摩擦系数及转动惯量分别是 、和和 、；例例3 33 3 试列写图试列写图3.3(a)3.3(a)所示的齿轮系的运动方程。图中齿所示的齿轮系的运动方程。图中齿轮轮1 1和齿轮和齿轮2 2的转速、齿数和半径分别用的转速、齿数和半径分别用 、和和 、表示；表示；(a)(b)图3.3 齿轮系解：解：在齿轮传动中，两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率在齿轮传动中，两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率亦相同，因此亦相同，因此齿数与半径成正比，即齿数与半径成正比，即第8页，共95页，编辑于2022年，星期二可得可得齿轮齿轮1 1和齿轮和齿轮2 2的运动方程为的运动方程为消去中间变量，可得消去中间变量，可得 令令则得齿轮系微分方程为则得齿轮系微分方程为第9页，共95页，编辑于2022年，星期二解：当汽车沿着道路行驶时，轮胎的垂直位移解：当汽车沿着道路行驶时，轮胎的垂直位移 作为一种作为一种运动激励作用在汽车的悬浮系统上。该系统的运动由质心的运动激励作用在汽车的悬浮系统上。该系统的运动由质心的平移运动和围绕质心的旋转运动所组成。建立该系统的数学平移运动和围绕质心的旋转运动所组成。建立该系统的数学模型是相当复杂的。模型是相当复杂的。例例3 34 4 图图3.4(a)3.4(a)表示了一个汽车悬浮系统的原理图，试求表示了一个汽车悬浮系统的原理图，试求汽车在行驶过程中的数学模型。汽车在行驶过程中的数学模型。质心车体(a)(b)图3.4 汽车悬浮系统及其动力学模型第10页，共95页，编辑于2022年，星期二根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 ，可得可得图图3.4(b)3.4(b)表示了经简化后的悬浮系统，表示了经简化后的悬浮系统，只考虑车体在垂直方向的运只考虑车体在垂直方向的运动。动。即即第11页，共95页，编辑于2022年，星期二3.1.3 3.1.3 电气系统的微分方程电气系统的微分方程 通过应用一种或同时应用两种基尔霍夫定律，就可以得到通过应用一种或同时应用两种基尔霍夫定律，就可以得到电路系统的数学模型。电路系统的数学模型。电气系统所遵循的基本定律是基尔霍夫电流定律和电压定律。电气系统所遵循的基本定律是基尔霍夫电流定律和电压定律。基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律(也称节点电流定律也称节点电流定律)表明，流入节点的电流表明，流入节点的电流之和等于流出同一节点的电流之和；之和等于流出同一节点的电流之和；基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律(也称环路电压定律也称环路电压定律)表明，在任意瞬间，在电路表明，在任意瞬间，在电路中沿任意环路的电压的代数和等于零。中沿任意环路的电压的代数和等于零。第12页，共95页，编辑于2022年，星期二。输入变量。输入变量，中间变量为，中间变量为 。，输出变量为，输出变量为例例3 35 5 RLC RLC无源网络如图无源网络如图3.53.5所示，图中所示，图中R R、L L、C C分别为电阻分别为电阻、电感、电容。试列出以、电感、电容。试列出以 为输入，为输入，为输出的微分方程。为输出的微分方程。RLC图3.5 RLC无源网络解解 设网络中的电流为设网络中的电流为忽略输出端负载效应。忽略输出端负载效应。解解：由基尔霍夫定律得，由基尔霍夫定律得，消去中间变量消去中间变量，得，得令令 ，则，则 （3.2）又又第13页，共95页，编辑于2022年，星期二式中，式中，T T为时间常数，单位为秒，为时间常数，单位为秒，为阻尼比。显然上式描述的为阻尼比。显然上式描述的以以 为为输入电压，输入电压，为输出电压的网络微分方程是一个为输出电压的网络微分方程是一个二阶线性定常微分方程。二阶线性定常微分方程。例例3 36 6 图图3.63.6所示为两个形式相同的所示为两个形式相同的RCRC网络串联而成的滤波网络串联而成的滤波网络。试写出以输出电压网络。试写出以输出电压 和输入电压和输入电压 为变量的滤波网为变量的滤波网络微分方程。络微分方程。R2C2图3.6 两级RC滤波网络C1R1 解：解：（1 1）考虑负载效应时）考虑负载效应时 根据基尔霍夫定律，得：根据基尔霍夫定律，得：第14页，共95页，编辑于2022年，星期二消去中间变量消去中间变量后得后得（3.3）即滤波网络微分方程。即滤波网络微分方程。如果孤立地分别写出如果孤立地分别写出R R1 1C C1 1和和R R2 2C C2 2这两个环节的微分方程。则对前一这两个环节的微分方程。则对前一个环节，有个环节，有（3.4）（2 2）不考虑负载效应时）不考虑负载效应时式中，式中，为此时前一个环节的输出与后一个环节的输入。为此时前一个环节的输出与后一个环节的输入。（3.5）对后一个环节，有对后一个环节，有第15页，共95页，编辑于2022年，星期二消去中间变量，得消去中间变量，得 （3.6）特别指出：特别指出：负载效应是物理环节之间的信息反馈作用，相邻环节的负载效应是物理环节之间的信息反馈作用，相邻环节的串联，应该考虑它们之间的负载效应。对于电网络系统而言，只有当串联，应该考虑它们之间的负载效应。对于电网络系统而言，只有当后一个环节的输入阻抗很大，对前面环节的影响可以忽略时，方可单后一个环节的输入阻抗很大，对前面环节的影响可以忽略时，方可单独分别列写每个环节的微分方程。独分别列写每个环节的微分方程。3.1.4 3.1.4 机电系统的微分方程机电系统的微分方程 对于较复杂的控制系统，列写系统微分方程可采用以下步骤：对于较复杂的控制系统，列写系统微分方程可采用以下步骤：(1)(1)分析系统的组成结构和工作原理，将系统按照其组成结构分析系统的组成结构和工作原理，将系统按照其组成结构 (2)(2)和属性划分为各组成环节，并确定各环节的输入、输出变量；和属性划分为各组成环节，并确定各环节的输入、输出变量；(3)(2)(2)根据各组成环节的属性和所遵循的运动规律和物理定律，根据各组成环节的属性和所遵循的运动规律和物理定律，第16页，共95页，编辑于2022年，星期二例例3 37 7 在图在图3.73.7所示的机电系统中，所示的机电系统中，在质量块上产生的电磁力为在质量块上产生的电磁力为 ，为输出为输出为输入电压，为输入电压，列写每一个环节的原始微分方程，并将其适当地简化；列写每一个环节的原始微分方程，并将其适当地简化；(3)(3)按照系统的工作原理，根据信号在传递过程中能量的转换按照系统的工作原理，根据信号在传递过程中能量的转换 形式，找出各组成环节的相关物理量，将各组成环节的微形式，找出各组成环节的相关物理量，将各组成环节的微 分方程联立，消去中间变量，最后得到系统得微分方程。分方程联立，消去中间变量，最后得到系统得微分方程。位移。位移。R R和和L L分别为铁芯线圈的电阻与电感，分别为铁芯线圈的电阻与电感，m m为质量块的质量，为质量块的质量，k k为弹簧的为弹簧的刚度，刚度，c c为阻尼器的阻尼系数，功率放大器为一理想放大器，其增益为为阻尼器的阻尼系数，功率放大器为一理想放大器，其增益为K K。假定铁芯线圈的反电动势为假定铁芯线圈的反电动势为，线圈电流，线圈电流并设全部初始条件为零。试列写该系统的输并设全部初始条件为零。试列写该系统的输入输出入输出微分方程。微分方程。第17页，共95页，编辑于2022年，星期二图3.7 机电系统RL功功率率放放大大器器对于电气系统这个环节，根据基尔霍夫定律，写出原始方程：对于电气系统这个环节，根据基尔霍夫定律，写出原始方程：对于机械系统这个环节，根据牛顿第二定律对于机械系统这个环节，根据牛顿第二定律，写出原写出原始方程，可得始方程，可得消去中间变量消去中间变量，并整理得，并整理得即为该系统的输入输出微分方程。即为该系统的输入输出微分方程。第18页，共95页，编辑于2022年，星期二例例3 38 8 试列写图试列写图3.83.8所示的电枢控制直流电动机的输入输出所示的电枢控制直流电动机的输入输出微分方程。电枢的输入电压微分方程。电枢的输入电压为输为输为输入量，电动机转速为输入量，电动机转速与激磁磁通与激磁磁通及转速成正比，方向及转速成正比，方向 对于电枢回路，设电枢旋转对于电枢回路，设电枢旋转 时产生的反电动势为时产生的反电动势为动机轴上的总负载转矩，设激磁磁通动机轴上的总负载转矩，设激磁磁通为常值。为常值。为折合到电为折合到电出量，图中出量，图中R R、L L分别为电枢电路的电阻和电感，分别为电枢电路的电阻和电感，负载图3.8 电枢控制直流电动机原理图RL，其大小，其大小（3.7）与电枢电压相反，即与电枢电压相反，即根根据基尔霍夫定律，得：据基尔霍夫定律，得：（3.8）解：解：第19页，共95页，编辑于2022年，星期二 对于负载而言，设对于负载而言，设f f是电动机折合到电动机轴上的粘性摩擦系数，是电动机折合到电动机轴上的粘性摩擦系数，J J是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量，则电动机轴上是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量，则电动机轴上的转矩平衡方程为的转矩平衡方程为 （3.103.10）将式（将式（3.73.7）（）（3.103.10）消去中间变量，）消去中间变量，可得到电枢控制直流可得到电枢控制直流电动机的微分方程电动机的微分方程 （3.11）在工程应用中，由于电枢电路电感在工程应用中，由于电枢电路电感L L较小，通常忽略不较小，通常忽略不动机的转矩系数为动机的转矩系数为，则电磁回路的转矩方程，则电磁回路的转矩方程（3.9）对于电磁回路，设电枢电流产生的电磁转矩为对于电磁回路，设电枢电流产生的电磁转矩为，电，电第20页，共95页，编辑于2022年，星期二式中，式中，是电动机的时间常数，是电动机的时间常数，是电动机的传递系数。是电动机的传递系数。如果电枢电阻如果电枢电阻R R和电动机的转动惯量和电动机的转动惯量J J都很小，可忽略不计时，式都很小，可忽略不计时，式（3.123.12）还可进一步简化为）还可进一步简化为（3.13）成正比，于是，电成正比，于是，电与电枢电压与电枢电压这时，电动机的转速这时，电动机的转速动机可作为测速发电机使用。动机可作为测速发电机使用。（3.12）计，因而式（计，因而式（3.113.11）可简化为）可简化为第21页，共95页，编辑于2022年，星期二，系，系统统微分微分3.2 3.2 系统的传递函数系统的传递函数对线性定常系统，若输入为对线性定常系统，若输入为 3.2.13.2.1传递函数的基本概念传递函数的基本概念，输输出出为为（3.14）方程的一般形式可表示为方程的一般形式可表示为在零初始条件下，即当外界在零初始条件下，即当外界输输入作用前，入作用前，输输入、入、输输出的出的，初始条件初始条件和和，均均为为零零时时，对对式（式（3.14）作拉氏）作拉氏变换变换得得 （3.15）第22页，共95页，编辑于2022年，星期二 在外界在外界输输入作用前，入作用前，输输入、入、输输出的初始条件出的初始条件为为零零时时，线线的拉氏的拉氏变换变换与与输输的拉氏的拉氏变换变换之比，称之比，称为该为该系系统统（环节环节或元件）的或元件）的表示。表示。入入性定常系统（环节或元件）的输出性定常系统（环节或元件）的输出传递函数，用传递函数，用（3.16）则则（3.17）将式将式（3.17）所表示的系统用方框图表示为图所表示的系统用方框图表示为图3.9所示。所示。如无特如无特别别声明，一般将外界声明，一般将外界输输入作用前的入作用前的输输出的初始条件出的初始条件，称称为为系系统统的初始状的初始状态态。，图3.9 系统方框图第23页，共95页，编辑于2022年，星期二(1)传递传递函数分母的函数分母的阶阶次与各次与各项项系数只取决于系系数只取决于系统统本身的与外本身的与外 (2)界无关的固有特性，而分子的界无关的固有特性，而分子的阶阶次与各次与各项项系数取决于系系数取决于系统统与与(3)外界之外界之间间的关系。所以，的关系。所以，传递传递函数的分母与分子分函数的分母与分子分别别反映了反映了(4)由系由系统统的的结结构与参数所决定的系构与参数所决定的系统统的固有特性和系的固有特性和系统统与外界与外界之之间间的的联联系。系。由于已由于已设设初始状初始状态为态为零，而零，而这这一一输输出与系出与系统统在在输输入作用前的入作用前的初始状初始状态态无关。无关。（3.18）传递函数具有如下一些主要特点传递函数具有如下一些主要特点：(2)当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的拉当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的拉 氏逆变换完全取决于系统的传递函数。式氏逆变换完全取决于系统的传递函数。式（3.17）通过拉氏通过拉氏 逆变换，便可求得系统在时域中的输出逆变换，便可求得系统在时域中的输出第24页，共95页，编辑于2022年，星期二(3)传递函数分母中传递函数分母中s的阶次的阶次n不会小于分子中不会小于分子中s的阶次的阶次m,即即nm。(4)传递函数可以有量纲，也可以是无量纲的，这取决于系统输传递函数可以有量纲，也可以是无量纲的，这取决于系统输 出的量纲与输入的量纲。出的量纲与输入的量纲。(5)物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同类型的传物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同类型的传 递函数。递函数。(6)传递函数非常适用于对单输入、单输出的线性定常系统的动传递函数非常适用于对单输入、单输出的线性定常系统的动 态特性进行描述。态特性进行描述。第25页，共95页，编辑于2022年，星期二3.2.2 3.2.2 传递函数的零点、极点和放大系数传递函数的零点、极点和放大系数 系系统统的的传递传递函数函数G(s)是以复是以复变变量量s作作为为自自变变量的函数。通量的函数。通过过因式分解后，因式分解后，传递传递函数函数G(s)可以写成如下的一般形式：可以写成如下的一般形式：K为为常数常数 （3.19）由复变函数可知，在式由复变函数可知，在式（3.19）中，当中，当s=zj(j=1,2,m)时，均能使时，均能使传递函数传递函数G(s)0，称称z1,z2,zm为传递函数为传递函数G(s)的的零点零点。当。当s=pi(i=1,2,n)时，均能使传递函数时，均能使传递函数G(s)的分母等于零，即使传递函数的分母等于零，即使传递函数G(s)取极值取极值 (i=1,2,n)（3.20）因此，称因此，称p1,p2,pn为为传递函数传递函数G(s)的的极点极点，即系统传递函数的极点也就，即系统传递函数的极点也就是系统微分方程的特征根。是系统微分方程的特征根。第26页，共95页，编辑于2022年，星期二 如果用拉氏如果用拉氏变换变换求解系求解系统统的微分方程可得系的微分方程可得系统统的瞬的瞬态态响响应应，其瞬其瞬态态响响应应由以下形式的分量所构成由以下形式的分量所构成，其中，其中，p和和是系是系统传递统传递函数的极点，也就是系函数的极点，也就是系统统微分方微分方程程的特征根。的特征根。假定所有的极点是假定所有的极点是负负数或具有数或具有负实负实部的复数，即部的复数，即，当当时时，上述分量将，上述分量将趋趋近于零，瞬近于零，瞬态态响响应应是收是收敛的。在这敛的。在这种情况下，称系统是稳定的，也就是说种情况下，称系统是稳定的，也就是说系统是否稳定由系统的系统是否稳定由系统的极点性质所决定。极点性质所决定。同样，根据拉氏变换求解系统的微分方程可知，当系统的输入信同样，根据拉氏变换求解系统的微分方程可知，当系统的输入信号一定时，系统的零、极点决定着系统的动态性能，即号一定时，系统的零、极点决定着系统的动态性能，即零点对系统的零点对系统的稳定性没有影响，但它对瞬态响应曲线的形状有影响。稳定性没有影响，但它对瞬态响应曲线的形状有影响。第27页，共95页，编辑于2022年，星期二当当s=0 s=0 时时若系若系统输统输入入为单为单位位阶跃阶跃信号，即信号，即，根据拉氏，根据拉氏变换变换的的终值定理，系统的稳态输出值为终值定理，系统的稳态输出值为 所以所以G(0)决定着系统的稳态输出值，由式决定着系统的稳态输出值，由式（3.16）可知，可知，G(0)就是就是系统的放大系数。系统的放大系数。由上述可知，由上述可知，系统传递函数的零点、极点和放大系数决定着系统的瞬态系统传递函数的零点、极点和放大系数决定着系统的瞬态性能和稳态性能。性能和稳态性能。第28页，共95页，编辑于2022年，星期二，可以用如下的形式，可以用如下的形式3.2.3 3.2.3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数对对于于线线性定常系性定常系统统的的传递传递函数函数如果将上式如果将上式进进行因式分解行因式分解，总可以分解为如下一些因式的有限组合：，总可以分解为如下一些因式的有限组合：描述：描述：（3.21），这些简单因式可以构成独立的控制单元，并具有各自独特的动态这些简单因式可以构成独立的控制单元，并具有各自独特的动态性能，我们称这些简单因式作为传递函数所构成的控制单元为性能，我们称这些简单因式作为传递函数所构成的控制单元为典型典型环节环节。式（。式（3.21）所表示的典型环节分别为：）所表示的典型环节分别为：比例环节、惯性环节、比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节。第29页，共95页，编辑于2022年，星期二1.1.比例环节比例环节 也称也称为为放大放大环节环节，无，无惯惯性性环节环节，零，零阶环节阶环节。凡。凡输输出量与出量与输输入量成正比，入量成正比，输输出不失真也不延出不失真也不延迟迟，而按比例反映，而按比例反映输输入量的入量的环节环节称称为为比例比例环节环节。其。其输输入入输输出方程出方程为为（3.22）为为比例比例环节环节的放大系数或的放大系数或式中，式中，为输为输出，出，为输为输入，入，增益。其传递函数为：增益。其传递函数为：用方框图表示用方框图表示图3.10 比例环节方框图第30页，共95页，编辑于2022年，星期二为输出电压；为输出电压；R R1 1、R R2 2为电阻。为电阻。为输入电压，为输入电压，图3.11 运算放大器R2R1例例3 39 9 求如图求如图3.113.11所示的运算放大器的传递函数。其中，所示的运算放大器的传递函数。其中，的关系为的关系为解解 输入电压输入电压与输出电压与输出电压经拉氏变换后，得经拉氏变换后，得则运算放大器的传递函数则运算放大器的传递函数第31页，共95页，编辑于2022年，星期二 若齿轮副无传动间隙，且传动系统的刚性为无穷大。那若齿轮副无传动间隙，且传动系统的刚性为无穷大。那分别为输入和输出轴的转速，分别为输入和输出轴的转速，z z1 1、z z2 2为齿轮的齿数。为齿轮的齿数。例例3 31010 求如图求如图3.123.12所示的齿轮传动副的传递函数。所示的齿轮传动副的传递函数。、图3.12 齿轮传动副解解，故有，故有，就会产生输出转速，就会产生输出转速么，一旦有输入转速么，一旦有输入转速经拉氏变换后，得经拉氏变换后，得则齿轮传动副的传递函数则齿轮传动副的传递函数式中，式中，K K为齿轮副的传动比。为齿轮副的传动比。第32页，共95页，编辑于2022年，星期二2.2.惯性环节惯性环节 也称为一阶惯性环节。凡在时域中，如果输入、输出量可表达也称为一阶惯性环节。凡在时域中，如果输入、输出量可表达为如下一阶微分方程：为如下一阶微分方程：形式的形式的环节环节称称为为惯惯性性环节环节。设设初始状初始状态为态为零，将上式两零，将上式两边边同同时进时进行行拉氏拉氏变换变换，得，得则则 （3.23）式中，式中，K K为惯性环节的增益或放大系数，为惯性环节的增益或放大系数，T T为惯性环节的时间常数。惯性为惯性环节的时间常数。惯性环节的方框图环节的方框图第33页，共95页，编辑于2022年，星期二图3.16 微分环节方框图 在在惯惯性性环节环节中，中，总总是含有一个是含有一个储储能元件，能元件，对对于突于突变变形式的形式的输入，输入，其输出不能立即复现，输出总是落后于输入。其输出不能立即复现，输出总是落后于输入。例例3 31111 求如图求如图3.143.14所示的质量所示的质量弹簧弹簧阻尼系统的传递函阻尼系统的传递函为输入位移，为输入位移，为输出位移，为输出位移，k k为弹簧的刚度，为弹簧的刚度，c c为阻为阻数。数。尼器的阻尼系数。尼器的阻尼系数。图3.14 忽略质量的阻尼弹簧系统解解 若质量块的质量若质量块的质量m m相对很小，可以忽略其影响。根据牛相对很小，可以忽略其影响。根据牛顿第二定律，有顿第二定律，有经拉氏变换后，得经拉氏变换后，得第34页，共95页，编辑于2022年，星期二电压，电压，为电流，为电流，R R为电阻，为电阻，C C为电容。求系统的传递函数。为电容。求系统的传递函数。为输出为输出故传递函数为：故传递函数为：式中，式中，T为惯性系统的时间常数，且为惯性系统的时间常数，且。RC图3.15 无源滤波网络例例3 31212 图图3.153.15为无源滤波网络，为无源滤波网络，为输入电压，为输入电压，解解 根据基尔霍夫定律，有根据基尔霍夫定律，有消去中间变量，得消去中间变量，得 第35页，共95页，编辑于2022年，星期二正比于正比于输输入量入量经拉氏变换后，得经拉氏变换后，得 故传递函数为：故传递函数为：式中，式中，TRC为惯性系统的时间常数。为惯性系统的时间常数。凡在凡在时时域中，如果域中，如果输输出量出量的微分，的微分，3.3.微分环节微分环节即具有即具有形式的形式的环节环节称称为为微分微分环节环节。将上式两。将上式两边边同同时进时进行拉氏行拉氏变换变换，第36页，共95页，编辑于2022年，星期二则传递则传递函数函数为为：式中，式中，T为为微分微分环节环节的的时间时间常数。微分常数。微分环节环节的方框的方框图图（3.24）图3.16 微分环节方框图 微分微分环节环节的的输输出反映了出反映了输输入的微分关系入的微分关系，当，当输输入入为单位阶跃函数时，为单位阶跃函数时，输出在理论上将是一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲函数，输出在理论上将是一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲函数，这在实际中是不可能的。这也证明了传递函数中分子的阶次不可能这在实际中是不可能的。这也证明了传递函数中分子的阶次不可能高于分母的阶次。因此，微分环节不可能单独存在，它是与其他环高于分母的阶次。因此，微分环节不可能单独存在，它是与其他环节同时存在的。因此，式节同时存在的。因此，式（3.24）定义的微分环节称为定义的微分环节称为理想的微分环理想的微分环节节。第37页，共95页，编辑于2022年，星期二例例3 31313 图图3.173.17是机械液压阻尼器的原理图。图中是机械液压阻尼器的原理图。图中A A为活塞面为活塞面积，积，k k为弹簧刚度，为弹簧刚度，R R为液体流过节流阀上阻尼小孔时的液阻，为液体流过节流阀上阻尼小孔时的液阻，p p1 1、p p2 2分别为液压缸左右腔单位面积上的压力。输入量是活塞分别为液压缸左右腔单位面积上的压力。输入量是活塞，输出量是液压缸的位移，输出量是液压缸的位移。求系统的传递函数。求系统的传递函数。位移位移图3.17 机械液压阻尼器解解 液压缸的力平衡方程为液压缸的力平衡方程为通过节流阀上阻尼小孔的流量方程为通过节流阀上阻尼小孔的流量方程为以上二式中消去以上二式中消去p p1 1、p p2 2，得到，得到第38页，共95页，编辑于2022年，星期二为输入电压，为输入电压，即即 经拉氏变换后，得经拉氏变换后，得 故传递函数为：故传递函数为：令令，得，得、为电流，为电流，和和为为电阻，电阻，C C为电容，为电容，例例3 31414 图图3.183.18也是一个具有惯性的微分环节。图中也是一个具有惯性的微分环节。图中R R1 1、R R2 2为输出电压。求其传递函数。为输出电压。求其传递函数。第39页，共95页，编辑于2022年，星期二CR1图3.18 具有惯性的微分环节R2解解 根据基尔霍夫定律，有根据基尔霍夫定律，有代入代入将将、中，得中，得对对、进行拉氏变换，分别得到进行拉氏变换，分别得到第40页，共95页，编辑于2022年，星期二消去中间变量消去中间变量则传递函数为则传递函数为式中，式中，称为时间常数。而称为时间常数。而 当当时，时，经拉氏变换后，得经拉氏变换后，得故传递函数函数为故传递函数函数为式中，式中，称为时间常数。称为时间常数。第41页，共95页，编辑于2022年，星期二如对一比例环节如对一比例环节Kp施加一速度函数，即单位斜坡函数施加一速度函数，即单位斜坡函数作作为输为输入，入，则则当当Kp1时时，此，此环节环节在在时时域中的域中的输输出出即为即为45斜线，如图斜线，如图3.19所示；若对此比例环节再并联一个微分环所示；若对此比例环节再并联一个微分环节节KpTs，则系统的传递函数为（如图，则系统的传递函数为（如图3.20(b)所示）所示）:在控制系统中，微分环节主要用来改善系统的动态性能，其控制作用如在控制系统中，微分环节主要用来改善系统的动态性能，其控制作用如下所述：下所述：0图3.19 比例环节(Kp1)的输入输出曲线即系即系统统并并联联了微分了微分环节环节（在（在Kp1时）时）它所增加的它所增加的输输出出（1）使系统的输出提前，即对系统的输入有预测作用。）使系统的输出提前，即对系统的输入有预测作用。第42页，共95页，编辑于2022年，星期二，故微分，故微分环节环节所增加的所增加的输输出出为为：因因为为原输出(a)(b)0图3.20 微分环节的控制作用新输出第43页，共95页，编辑于2022年，星期二（2）增加系增加系统统的阻尼。的阻尼。如图如图3.21(a)所示，系统的传递函数为：所示，系统的传递函数为：(a)图3.21 微分环节增加系统的阻尼(b)对对系系统统的比例的比例环节环节Kp并并联联微微分分环节环节KpTds化化简简后，其后，其传递传递函函数数为为：第44页，共95页，编辑于2022年，星期二 G1(s)与与G2(s)均为二阶系统的传递函数，其分母中的第二项均为二阶系统的传递函数，其分母中的第二项s前前的系数与阻尼有关，的系数与阻尼有关，G1(s)的系数为的系数为1，而，而G2(s)的系数为的系数为1KpKTd1。所以，采用微分环节后，系统的阻尼增加。所以，采用微分环节后，系统的阻尼增加。（3）具有强化系统噪声的作用。）具有强化系统噪声的作用。4.4.积分环节积分环节凡在凡在时时域中，如果域中，如果输输出量出量正比于输入量的积分，即具有正比于输入量的积分，即具有形式的形式的环节环节称称为积为积分分环节环节。显显然，其然，其则传递则传递函数函数为为：（3.25）式中，式中，T T为积分环节的时间常数。积分环节的方框图如图为积分环节的时间常数。积分环节的方框图如图3.223.22所示。所示。第45页，共95页，编辑于2022年，星期二当系当系统统的的输输入入为单为单位位阶跃阶跃信号信号时，时，经经拉氏逆拉氏逆变换变换后，后，积积分分环节环节的的输输出出图3.22 积分环节方框图图3.23 积分环节的输入输出关系0对阶跃输入，输出要在对阶跃输入，输出要在t=T时才能等于输时才能等于输入，故有滞后作用。经过一段时间的累入，故有滞后作用。经过一段时间的累积后，当输入变为零时，输出量不再增加，但保持该值不积后，当输入变为零时，输出量不再增加，但保持该值不变，具有记忆功能。变，具有记忆功能。其特点是输出量为输入量对时间的累积，输出的其特点是输出量为输入量对时间的累积，输出的幅值呈线性增长，如图幅值呈线性增长，如图3.23所示。所示。第46页，共95页，编辑于2022年，星期二为输出量。试求此机构的为输出量。试求此机构的为输入量，齿条的位移量为输入量，齿条的位移量例例3 31515 图图3.243.24示出了一齿轮齿条传动机构。齿轮的转速示出了一齿轮齿条传动机构。齿轮的转速解解 齿轮齿条的转速关系为齿轮齿条的转速关系为传递函数。传递函数。图3.24 齿轮齿条传动机构式中，式中，D D为齿轮的节圆直径。对上式取拉氏变换后，得其传递函数为齿轮的节圆直径。对上式取拉氏变换后，得其传递函数为为时，这个环节变为比例环节。时，这个环节变为比例环节。倍。若输出为速度倍。若输出为速度时，输出时，输出上式表示，当输入为转速上式表示，当输入为转速为输入为输入的积分的的积分的第47页，共95页，编辑于2022年，星期二例例3 31616 图图3.253.25所示出为有源积分网络，所示出为有源积分网络，为输出电压，为输出电压，R R为电阻，为电阻，C C为电容。求网络的传递函数。为电容。求网络的传递函数。为输入电压，为输入电压，解解 由图可得由图可得图3.25 有源积分网络CR故其传递函数为：故其传递函数为：式中，式中，。第48页，共95页，编辑于2022年，星期二 振振荡环节荡环节也称二也称二阶阶振振荡环节荡环节，它是一个二，它是一个二阶环节阶环节。凡在。凡在时时域中，域中，如果如果输输出量出量与输入量可用下列微分方程表示与输入量可用下列微分方程表示5.5.振荡环节振荡环节的的环节环节称称为为振振荡环节荡环节。将上式两。将上式两边边同同时进时进行拉氏行拉氏变换变换，得，得则传递则传递函数函数为为：令令，式（，式（3.26）可化）可化为为：（3.27）（3.26）第49页，共95页，编辑于2022年，星期二式中，式中，为为无阻尼固有无阻尼固有频频率，率，T为为振振荡环节荡环节的的时间时间常数，常数，为为阻尼比，且阻尼比，且01。图3.26 振荡环节方框图（1）当）当01时时，系，系统统的的输输出出为为一振一振荡过荡过程，此程，此时时二二阶阶环环对于二阶环节作阶跃输入时，系统的输出有两种情况：对于二阶环节作阶跃输入时，系统的输出有两种情况：节为振荡环节。即节为振荡环节。即第50页，共95页，编辑于2022年，星期二其输出曲线如图其输出曲线如图3.27(b)所示，是一条按指数衰减振荡的曲线。所示，是一条按指数衰减振荡的曲线。0图3.27 振荡环节中单位阶跃输入输出曲线0(a)(b)（2）当）当1时时，系，系统统的的输输出出为为一指数上升曲一指数上升曲线线而不振而不振荡荡，最，最后达到常值输出。后达到常值输出。振荡环节一般含有两个储能元件和一个耗能元件，由于两个储能元振荡环节一般含有两个储能元件和一个耗能元件，由于两个储能元件之间有能量交换，使系统的输出发生振荡。件之间有能量交换，使系统的输出发生振荡。第51页，共95页，编辑于2022年，星期二为输入位移，为输入位移，例例3 31717 求图求图3.283.28所示的质量所示的质量阻尼阻尼弹簧系统的传递函数。弹簧系统的传递函数。为输出位移，为输出位移，k k为弹簧的刚度，为弹簧的刚度，m m为质量为质量块的质量，块的质量，c c为质量块与支撑面间的阻尼系数。为质量块与支撑面间的阻尼系数。解解 根据牛顿第二定律，写出系统的动力学方程如下根据牛顿第二定律，写出系统的动力学方程如下经拉氏变换后，得经拉氏变换后，得故传递函数为故传递函数为式中，式中，。当。当00 11时，系统为一振荡环节。时，系统为一振荡环节。图3.28 质量阻尼弹簧系统第52页，共95页，编辑于2022年，星期二为输入电压，为输入电压，例例3 31818 图图3.293.29所示为电感所示为电感L L、电阻、电阻R R与电容与电容C C的串、并联电路，的串、并联电路，解解 根据基尔霍夫定律，有根据基尔霍夫定律，有为输出电压。试求该