第八章广义逆矩阵精选文档.ppt

第八章广义逆矩阵北京理工大学高数教研室*本讲稿第一页，共四十页其中其中 分别是任意分别是任意 矩阵。矩阵。证明：把形如证明：把形如(3)的矩阵以及的矩阵以及(2)式代入矩阵方程式代入矩阵方程(1)，得到：，得到：(3)本讲稿第二页，共四十页本讲稿第三页，共四十页所以形如所以形如(3)的每一个矩阵都是矩阵方程的每一个矩阵都是矩阵方程(1)的解。的解。为了说明为了说明(3)是矩阵方程是矩阵方程(1)的通解，现在任取的通解，现在任取(1)的一个解的一个解 ，则由，则由(1)和和(2)得得因为因为 可逆，所以从上式得可逆，所以从上式得(4)本讲稿第四页，共四十页把矩阵把矩阵 分块，设分块，设代入代入(4)式得式得即即(5)本讲稿第五页，共四十页由此得出，由此得出，代入，代入(5)式便得出式便得出这证明了矩阵方程这证明了矩阵方程(1)得任意一个解都能表示成得任意一个解都能表示成(3)的形式，所以公式的形式，所以公式(3)是矩阵方程是矩阵方程(1)的通解。的通解。定义：定义：设设 是一个是一个 矩阵，矩阵方程矩阵，矩阵方程 的通解称为的通解称为 的的广义逆矩阵广义逆矩阵，简称为，简称为 的的广义逆广义逆。我们用记号。我们用记号 表示表示 的一个广义逆。的一个广义逆。本讲稿第六页，共四十页定理定理(非齐次线性方程组的相容性定理非齐次线性方程组的相容性定理)：非齐次线非齐次线性方程组性方程组 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是证明：必要性。设证明：必要性。设 有解有解 ，则，则 。因为。因为 ，所以，所以充分性。设充分性。设 ，则取，则取 得得所以所以 是是 的解。的解。本讲稿第七页，共四十页定理定理(非齐次线性方程组解的结构定理非齐次线性方程组解的结构定理)：设非齐设非齐次线性方程组次线性方程组 有解，则它的一般解有解，则它的一般解(通解）通解）为为其中其中 是是 的任意一个广义逆。的任意一个广义逆。证明：任取证明：任取 的一个广义逆的一个广义逆 ，我们来证，我们来证 是方程组是方程组 的解：的解：已知已知 有解，根据前一个定理得：有解，根据前一个定理得：这表明这表明 是是 的一个解。的一个解。本讲稿第八页，共四十页反之，对于反之，对于 的任意一个解的任意一个解 ，我们要证，我们要证存在存在 的一个广义逆的一个广义逆 ，使得，使得 。设。设 是是 矩阵，它的秩为矩阵，它的秩为 ，且，且其中其中 与与 分别是分别是 阶、阶、阶可逆矩阵。由于阶可逆矩阵。由于 的广义逆具有形式的广义逆具有形式(3)，因此我们要找矩阵，因此我们要找矩阵 ，使，使本讲稿第九页，共四十页即即先分析先分析 与与 之间的关系。由已知之间的关系。由已知 ，因此我们有因此我们有分别把分别把 分块，设分块，设(6)本讲稿第十页，共四十页则则(6)式成为式成为所以所以 ，因为，因为 ，所以，所以 ，从而，从而 。设。设 ，且，且设设 。取取本讲稿第十一页，共四十页则则于是于是从而只要取从而只要取则则本讲稿第十二页，共四十页定理定理(齐次线性方程组解的结构定理齐次线性方程组解的结构定理)：数域数域 上上 元元齐次线性方程组齐次线性方程组 的通解为的通解为其中其中 是是 的任意给定的一个广义逆，的任意给定的一个广义逆，取遍取遍 中任意列向量。中任意列向量。证明：任取证明：任取 ，我们有，我们有所以所以 是方程组是方程组 的解。的解。本讲稿第十三页，共四十页反之，设反之，设 是方程组是方程组 的解，要证存在的解，要证存在 ，使得，使得 。取。取 我们有我们有所以所以 是方程组是方程组 的通解。的通解。利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的另利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的另一种形式的通解。一种形式的通解。本讲稿第十四页，共四十页推论推论：设数域：设数域 是是 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组 有解，则它的通解为有解，则它的通解为其中其中 是是 的任意给定的一个广义逆，的任意给定的一个广义逆，取遍取遍 中任意列向量。中任意列向量。证明：我们已经知道证明：我们已经知道 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 的一个解，又知道的一个解，又知道 是导出组是导出组 的通解，所以的通解，所以 是是 的通解。的通解。本讲稿第十五页，共四十页伪逆矩阵伪逆矩阵定义定义：设：设 ，若，若 ，且同时有，且同时有则称则称 是是 的的伪逆矩阵伪逆矩阵。上述条件称为。上述条件称为Moore Penrose 方程。方程。例：例：设设 ，那么，那么本讲稿第十六页，共四十页 设设 ，那么，那么设设 ，其中，其中 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则如果如果 是一个可逆矩阵，那么是一个可逆矩阵，那么本讲稿第十七页，共四十页下面我们讨论伪逆矩阵的求法下面我们讨论伪逆矩阵的求法定理定理：设：设 是是 的一个满秩的一个满秩分解，则分解，则是是 的伪逆矩阵。的伪逆矩阵。例例1：设：设求求 。解解：利用满秩分解公式可得：利用满秩分解公式可得本讲稿第十八页，共四十页从而从而 的伪逆矩阵是的伪逆矩阵是本讲稿第十九页，共四十页本讲稿第二十页，共四十页例例2：设设求求 。解解：由满秩分解公式可得：由满秩分解公式可得于是其伪逆矩阵为于是其伪逆矩阵为本讲稿第二十一页，共四十页本讲稿第二十二页，共四十页推论推论：若：若 ，则，则若若 ，则，则定理定理：伪逆矩阵：伪逆矩阵 唯一。唯一。证明：设证明：设 都是都是 的伪逆矩阵，则的伪逆矩阵，则本讲稿第二十三页，共四十页根据此定理知，若根据此定理知，若 ，则，则 。本讲稿第二十四页，共四十页定理定理：设：设 ，则，则证明证明：容易验证：容易验证(1)，(2)，现在只证，现在只证(3)。设设 是是 的满秩分解，则的满秩分解，则 的满秩分解的满秩分解可以写成可以写成本讲稿第二十五页，共四十页其中其中 是列满秩，是列满秩，为行满秩，故由式为行满秩，故由式 得得因此因此同理可证：同理可证：本讲稿第二十六页，共四十页例例：设设 ，则，则 是正定或半正定是正定或半正定Hermite矩阵，故存在矩阵，故存在 ，使得，使得证明证明解：解：因为因为本讲稿第二十七页，共四十页不妨设不妨设则则本讲稿第二十八页，共四十页本讲稿第二十九页，共四十页其中其中故故于是于是本讲稿第三十页，共四十页令令由由 ，知，知本讲稿第三十一页，共四十页因此由因此由得得例例：已知已知求求 。解解：的特征值的特征值的特征向量为的特征向量为本讲稿第三十二页，共四十页 的特征向量为的特征向量为故故本讲稿第三十三页，共四十页代入代入 得：得：本讲稿第三十四页，共四十页练习练习1：已知已知求其奇异值分解与求其奇异值分解与 。练习练习2 ：设设本讲稿第三十五页，共四十页求求 。答案答案：（1）奇异值分解式为）奇异值分解式为本讲稿第三十六页，共四十页（2）其伪逆矩阵为）其伪逆矩阵为本讲稿第三十七页，共四十页不相容线性方程组不相容线性方程组 的解的解定义定义：设：设 ，如果，如果 维向量维向量 对于任何一个对于任何一个 维向量维向量 ，都有，都有则称则称 是方程组是方程组 的一个的一个最小二乘解最小二乘解。若若 是最小二乘解，如果对于任一个最小二乘解是最小二乘解，如果对于任一个最小二乘解 都有不等式都有不等式则称则称 是是最佳最小二乘解最佳最小二乘解。本讲稿第三十八页，共四十页定理定理：设：设 ，则，则 是方程组是方程组 的最佳最小二乘解。的最佳最小二乘解。例例1：求不相容方程组：求不相容方程组的最佳最小二乘解。的最佳最小二乘解。本讲稿第三十九页，共四十页例例2：求不相容方程组：求不相容方程组的最佳最小二乘解。的最佳最小二乘解。本讲稿第四十页，共四十页