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第六章多维流动本讲稿第一页，共二十四页6-1 流体微团运动分析流体微团运动分析6-2 有旋流动有旋流动6-3不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程第六章 不可压缩流体的多维流动6-4无旋流动无旋流动本讲稿第二页，共二十四页 流体由于具有易流动特性，因此流体的运动要比刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度 的流动，无旋流动是指 的流动。实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后形成的旋涡等等。工程中大量存在着的紊流运动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。本讲稿第三页，共二十四页6-1流体微团运动分析 刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。本讲稿第四页，共二十四页一、表示流体微团运动特征的速度表达式一、表示流体微团运动特征的速度表达式 在运动流体中，在时刻t任取一正方形流体微团，其边长分别为dx、dy，设O 点的速度分量分别为ux、uy、其他各点的速度均可利用泰勒级数展开并略去二阶及以上无穷小量得到：本讲稿第五页，共二十四页 由速度表达式可见，微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同引起的速度增量两个组成部分。把中心点的速度ux和uy定义为流体微团的平移速度。由于微团上的A点和C点x方向有速度差，一段时间后沿x方向发生变形。单位时间，单位长度的线变形称为线变形速度。线变形速度用 ，表示：扩展到空间1.1.线变形线变形本讲稿第六页，共二十四页2.2.角变形角变形 由于微团上的A点和C点y方向有速度差 ，一段时间后微团沿y方向发生变形。所以AOC直线绕O点发生旋转。同样，BD直线也绕O点旋转。但旋转角度不同。由A点C点y方向的速度表达式AOC的旋转角速度为：BOD的旋转角速度为：角速度方向规定逆时针为正。本讲稿第七页，共二十四页 由于过O点的直线的旋转角速度不相等，最终正方形流体微团变为菱形。整个变形过程可以分为两部分：1.流体微团绕O点以等角速度转动；2.由于各直线角速度不等产生角变形运动。把对角线EOF的旋转角速度定义为整个流体微团在xoy面的旋转角速度，用 表示。EOF的旋转角速度可看成是AOC和BOD角速度的平均：扩展到三维流动角速度矢量为本讲稿第八页，共二十四页 把AOC与EOF的夹角的变形速度定义为流体微团的角变形速度，记为 ：扩展到三维流动 一般情况下，流体微团的运动由以上四种情况组合而成，已知任意点M0的速度分量，ux0，uy0，uz0，流体微团内任意点的速度可写为：本讲稿第九页，共二十四页将速度分量展开本讲稿第十页，共二十四页流体微团的运动可分解为三部分：以流体微团中某点的速度作整体平移运动；绕通过该点轴的旋转运动；微团本身的变形运动（线变形和角变形）。本讲稿第十一页，共二十四页 例例1 1 已知流速分布已知流速分布u ux x=-ky,u=-ky,uy y=kx,u=kx,uz z=0=0。求旋转角速度、线变形。求旋转角速度、线变形速度和角变形速度。速度和角变形速度。解：解：所以所以线变形速度线变形速度角变形速度角变形速度本讲稿第十二页，共二十四页6-2有旋流动一、有旋流动和无旋流动的定义一、有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动。如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线旋转，则称为无旋流动。这里需要说明的是，判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。本讲稿第十三页，共二十四页 如图（a）所示，虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。流体微团运动无旋流动有旋流动ab本讲稿第十四页，共二十四页 判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团都满足则有由于本讲稿第十五页，共二十四页6-3不可压缩流体连续性微分方程 和一元流连续性方程相似，在流场中选取边长为dx、dy、dz正六面微元控制体。dxdydz 设控制体中心的坐标为x、y、z，中心点的速度为ux、uy、uz。左侧中心点沿x方向的流速为：右侧中心点沿x方向的流速为：dt时间内沿x方向流入和流出的净体积流量为：本讲稿第十六页，共二十四页同理 dt时间内沿y方向流入和流出的净体积流量为：dt时间内沿z方向流入和流出的净体积流量为：对于不可压缩流体，dt时间内流入和流出微元控制体的净体积流量之和应为0。多维流动的不可压缩流体的连续性方程。对于定常和非定常流动都适用。本讲稿第十七页，共二十四页6-4无旋流动 在流场中流体微团的旋转角速度在任意时刻处处为零的流动称为无旋流动，无旋流动也称为有势流动。根据数学分析可知：上式成立是 成为某一函数 的全微分的充要条件。称为速度势函数，简称速度势。1、空间问题、空间问题一、速度势函数一、速度势函数本讲稿第十八页，共二十四页此时，速度势函数与速度的关系：根据全微分理论，势函数 的全微分可写成于是得 流体不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。本讲稿第十九页，共二十四页 把速度势函数代入到不可压缩流体的连续性方程其中同理所以 上式称为拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。所以不可压缩流体的速度势函数是一个调和函数。本讲稿第二十页，共二十四页2、平面问题、平面问题在不可压缩流体平面流动中，连续性方程为：旋转角速度也只有z分量，如果z 为零，即：平面流动为无旋流动。平面无旋流动的速度势函数为：平面无旋流动的拉普拉斯方程：本讲稿第二十一页，共二十四页【例例2 2】有一不可压流体平面流动的速度分布为 该平面流动是否满足连续性方程；是否存在速度势函数?若存在，求出其表达式。【解解】（1）由不可压流体平面流动的连续性方程 该流动满足连续性方程。（2）由于是平面流动 该流动为无旋流动，存在速度势函数。本讲稿第二十二页，共二十四页 由速度势函数的全微分得：积分 本讲稿第二十三页，共二十四页本讲稿第二十四页，共二十四页
