第2章逻辑函数及其简化PPT讲稿.ppt
第2章逻辑函数及其简化第1页，共159页，编辑于2022年，星期一教学基本要求 要求掌握：要求掌握：（1）逻辑代数的基本定律和定理。）逻辑代数的基本定律和定理。（2）逻辑问题的描述方法。）逻辑问题的描述方法。（3）逻辑函数的化简方法。）逻辑函数的化简方法。本章重点：本章重点：（1）逻辑代数中的基本公式、基本定理和基本定律。）逻辑代数中的基本公式、基本定理和基本定律。（2）常用公式。）常用公式。（3）逻辑函数的真值表、表达式、卡诺图表示方法及其相互转换。）逻辑函数的真值表、表达式、卡诺图表示方法及其相互转换。（4）最小项和最大项概念。）最小项和最大项概念。（5）逻辑函数公式化简法和卡诺图化简法。）逻辑函数公式化简法和卡诺图化简法。第2页，共159页，编辑于2022年，星期一2.1.1 逻辑代数的概念逻辑代数的概念2.1 逻辑代数逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念逻辑代数的概念 2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算 2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑函数及逻辑函数间的相等 2.1.4 复合逻辑运算复合逻辑运算 2.1.5 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 2.1.6 逻辑代数运算的基本规则逻辑代数运算的基本规则 2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换逻辑函数表达式的形式与变换2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）第3页，共159页，编辑于2022年，星期一逻辑代数(布尔代数布尔代数)逻辑代数逻辑代数(LogicAlgebra)也称也称布尔布尔代数代数(BooleanAlgebra)，它是英国数，它是英国数学家乔治学家乔治.布尔布尔(GeorgeBoole)于于1849年提出来的。年提出来的。布尔代数简单得不能再简单了。运算的布尔代数简单得不能再简单了。运算的元素元素只有两个只有两个:1（TRUE，真真)和和 0（FALSE，假，假)。基本的运算基本的运算只有只有“与与”（AND)、“或或”(OR)和和“非非”（NOT)三种。全部运算只用下列几张真值表三种。全部运算只用下列几张真值表就能完全地描述清楚。就能完全地描述清楚。第4页，共159页，编辑于2022年，星期一布尔布尔的运算的运算AND|10-1|1 0 0|0 0OR|1 0-1|1 1 0|1 0NOT|-1|0 0|1 这张表说明如果这张表说明如果 AND AND 运算的两个元素有一个运算的两个元素有一个是是 0 0，则运算结果总是，则运算结果总是 0 0。如果两个元素都是。如果两个元素都是 1 1，运算结果是，运算结果是 1 1。这张表说明如果这张表说明如果OR运算的两个元素有一个是运算的两个元素有一个是 1，则运算结果总是，则运算结果总是 1。如果两个元素都是。如果两个元素都是 0，运，运算结果是算结果是 0。这张表说明这张表说明 NOT 运算把运算把 1 变成变成 0，把，把 0 变成变成 1。第5页，共159页，编辑于2022年，星期一简单的理论能解决什么实际问题简单的理论能解决什么实际问题 读者也许会问这么简单的理论能解决什么实际问题。布读者也许会问这么简单的理论能解决什么实际问题。布尔同时代的数学家们也有同样的问题。尔同时代的数学家们也有同样的问题。事实上在布尔代数提出后事实上在布尔代数提出后80 多年里，它确实没有什多年里，它确实没有什么像样的应用。么像样的应用。第6页，共159页，编辑于2022年，星期一克劳德克劳德.香农香农 直到直到 克劳德克劳德.香农在香农在1938年麻省理工学院所写的硕士论文年麻省理工学院所写的硕士论文ASymbolicAnalysisofRelayandSwitchingCircuits（继电器和开关电路的分析继电器和开关电路的分析）中指出并分析：）中指出并分析：布尔代数可以由开关电路实现，并可以指导电路设计布尔代数可以由开关电路实现，并可以指导电路设计，才使得布才使得布尔代数成为数字电路的基础。所有的数学和逻辑运算，加、减、乘、尔代数成为数字电路的基础。所有的数学和逻辑运算，加、减、乘、除、乘方、开方等等，全部能转换成二值的布尔运算。除、乘方、开方等等，全部能转换成二值的布尔运算。第7页，共159页，编辑于2022年，星期一继电器的使用继电器的使用 继电器的使用：继电器的使用：不同于传统开关，继电器用电来控制不同于传统开关，继电器用电来控制开关的闭合，所以输出的电压是由输入的电压决定的，开关的闭合，所以输出的电压是由输入的电压决定的，而而通电为通电为1,1,断电为断电为0 0。这样就可以实现布尔代数的基本形式。这样就可以实现布尔代数的基本形式。于是，自然而然地产生了于是，自然而然地产生了“与与”门门，“或或”门门和和“非非”门门电路，对应于布尔代数基本形式的电路，对应于布尔代数基本形式的“与、或、非与、或、非”三种场景。三种场景。第8页，共159页，编辑于2022年，星期一*随之，不考虑进位的随之，不考虑进位的“半加器半加器”和考虑进位的和考虑进位的“全全加器加器”，由门电路（包括与非，或非和非电路）设，由门电路（包括与非，或非和非电路）设计出来了，这样，完成了到进位加的上层逻辑。之计出来了，这样，完成了到进位加的上层逻辑。之后，把后，把“全加器全加器”级联，于是级联，于是8位二进制加法器位二进制加法器设计出来设计出来了，这样，完成了更上层的逻辑（二进制数加法）。而计了，这样，完成了更上层的逻辑（二进制数加法）。而计算机所做的唯一运算，就是算机所做的唯一运算，就是加法加法运算，其他运算可以由运算，其他运算可以由加法运算得出。所以，计算机就是布尔代数的精确演义！加法运算得出。所以，计算机就是布尔代数的精确演义！从底层逻辑到上层逻辑，非常精密！从底层逻辑到上层逻辑，非常精密！第9页，共159页，编辑于2022年，星期一*数学理论的魅力数学理论的魅力 高度的高度的抽象性抽象性及其带来的符号化、形式化是及其带来的符号化、形式化是数学的基本特征之一。不同的实际问题经抽象、概数学的基本特征之一。不同的实际问题经抽象、概括后，可得到相同的数学概念、运算法则，乃至同括后，可得到相同的数学概念、运算法则，乃至同一数学理论。反之，同一数学概念、运算法则和数一数学理论。反之，同一数学概念、运算法则和数学理论可应用到表面看来完全不同的学理论可应用到表面看来完全不同的实际实际问题中。问题中。第10页，共159页，编辑于2022年，星期一开关电路开关电路布尔代数又称开关函数、逻辑函数，所以布尔代数又称开关函数、逻辑函数，所以数字电路又称为数字逻辑电路、逻辑电路和数字电路又称为数字逻辑电路、逻辑电路和开关电路开关电路。(其基本运算由其基本运算由开关电路演义形成）开关电路演义形成）第11页，共159页，编辑于2022年，星期一逻辑代数的形式逻辑代数的形式逻辑代数逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集逻辑变量集K，常量，常量0和和1以及以及“或或”、“与与”、“非非”三种基本运算所构成，记为三种基本运算所构成，记为L=K,+,-,0,1 第12页，共159页，编辑于2022年，星期一2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算2.1 逻辑代数逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念逻辑代数的概念 2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算 2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑函数及逻辑函数间的相等 2.1.4 复合逻辑运算复合逻辑运算 2.1.5 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 2.1.6 逻辑代数运算的基本规则逻辑代数运算的基本规则 2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换逻辑函数表达式的形式与变换2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）第13页，共159页，编辑于2022年，星期一逻辑变量逻辑代数和普通代数一样，也是用逻辑代数和普通代数一样，也是用字母字母表示其值可以表示其值可以变化的量，即变化的量，即变量变量。需注意的是：。需注意的是：1任何逻辑变量的取值只有两种可能性：任何逻辑变量的取值只有两种可能性：取值取值0或取值或取值12取值无大小、正负之分取值无大小、正负之分第14页，共159页，编辑于2022年，星期一基本逻辑运算基本逻辑运算基本逻辑运算逻辑代数中定义了逻辑代数中定义了“与与”、“或或”、“非非”三种基本运算。三种基本运算。与运算与运算:与运算与运算(逻辑乘逻辑乘)表示这样一种逻辑关系：只有当表示这样一种逻辑关系：只有当决定一事件结果的所有条件同时具备时，结果才能决定一事件结果的所有条件同时具备时，结果才能发生。发生。（条件均具备，事件才发生）条件均具备，事件才发生）第15页，共159页，编辑于2022年，星期一与运算与运算开关电路表示：AB220 VF开关开关A，B串联串联第16页，共159页，编辑于2022年，星期一开关电路表示两个开关必须同时接通，灯才亮。两个开关必须同时接通，灯才亮。A、B都断开，灯不亮。都断开，灯不亮。A断开、断开、B接通，灯不亮。接通，灯不亮。A接通、接通、B断开，灯不亮。断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。都接通，灯亮。第17页，共159页，编辑于2022年，星期一功能表和真值表功能表和真值表将开关将开关接通记作接通记作1，断开记作，断开记作0；灯灯亮记作亮记作1，灯，灯灭记作灭记作0。（正逻辑。（正逻辑编码）可以作出如下表格来描述与编码）可以作出如下表格来描述与逻辑关系：逻辑关系：功能表功能表真真值值表表这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做的表格叫做真值表真值表。第18页，共159页，编辑于2022年，星期一逻辑表达式、运算和逻辑表达式、运算和波形图波形图F=AB 11=110=001=000=0tttABF与运算可以用逻辑表达式表示为与运算可以用逻辑表达式表示为波波形形图图读作读作A与与B（A乘乘B）第19页，共159页，编辑于2022年，星期一与门与门图图(a)为我国常用的传统符号，为我国常用的传统符号，图图(b)为国外流行的符号，为国外流行的符号，图图(c)为国标符号为国标符号实现与逻辑的电路称为实现与逻辑的电路称为与门与门。与门的逻辑符号：与门的逻辑符号：与门逻辑符号与门逻辑符号第20页，共159页，编辑于2022年，星期一或运算或运算开关电路表示：B220 VFA 或运算或运算(逻辑加逻辑加)表示这样一种逻辑关系：当决定一事件表示这样一种逻辑关系：当决定一事件结果的所有条件，至少有一个具备时，结果才能发生。结果的所有条件，至少有一个具备时，结果才能发生。（某个条件具备，事件即发生）（某个条件具备，事件即发生）第21页，共159页，编辑于2022年，星期一功能表、真值表和波形图功能表、真值表和波形图真值表真值表功能表功能表FtttAB波波形形图图第22页，共159页，编辑于2022年，星期一或运算和逻辑表达式或运算和逻辑表达式F=A+B 1+1=11+0=10+1=10+0=0或运算可以用逻辑表达式表示为或运算可以用逻辑表达式表示为读作读作A或或B（A加加B）第23页，共159页，编辑于2022年，星期一或门或门图图(a)为我国常用的传统符号为我国常用的传统符号,图图(b)为国外流行的符号，为国外流行的符号，图图(c)为国标符号为国标符号实现或逻辑的电路称为实现或逻辑的电路称为或门或门。或门的逻辑符号：或门的逻辑符号：第24页，共159页，编辑于2022年，星期一非运算非运算开关电路表示：220 VFA 非运算非运算(逻辑反逻辑反)是逻辑的否定：当条件具备时，结果是逻辑的否定：当条件具备时，结果不会发生；而条件不具备时，结果一定会发生。不会发生；而条件不具备时，结果一定会发生。第25页，共159页，编辑于2022年，星期一非运算的表示非运算的表示FttA波形图波形图逻辑符号逻辑符号非运算可以用逻辑表达式表示为非运算可以用逻辑表达式表示为F=A 0=11=0(读作读作A非非)第26页，共159页，编辑于2022年，星期一三种基本运算的逻辑符号三种基本运算的逻辑符号基本运算的逻辑符号基本运算的逻辑符号(教材教材P15)P15)第27页，共159页，编辑于2022年，星期一正逻辑、负逻辑的概念正逻辑、负逻辑的概念高有效信号（正逻辑）低有效信号（负逻辑）在电路中，用电压的高低来表示逻辑值在电路中，用电压的高低来表示逻辑值第28页，共159页，编辑于2022年，星期一2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑函数及逻辑函数间的相等2.1 逻辑代数逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念逻辑代数的概念 2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算 2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑函数及逻辑函数间的相等 2.1.4 复合逻辑运算复合逻辑运算 2.1.5 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 2.1.6 逻辑代数运算的基本规则逻辑代数运算的基本规则 2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换逻辑函数表达式的形式与变换2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）第29页，共159页，编辑于2022年，星期一逻辑函数的定义逻辑函数的定义为了刻画各种复杂的逻辑关系，引出了逻辑函数的概念为了刻画各种复杂的逻辑关系，引出了逻辑函数的概念一、逻辑函数的定义一、逻辑函数的定义 从数字系统研究的角度看，逻辑函数的定义如下：从数字系统研究的角度看，逻辑函数的定义如下：设某一逻辑电路的设某一逻辑电路的输入逻辑变量为输入逻辑变量为A A1 1、A A2 2 、A An n ，输出逻辑输出逻辑变量为变量为F F。如果。如果A A1 1 、A A2 2、A An n的值确定后，的值确定后，F F的值就唯一地被确的值就唯一地被确定下来，则定下来，则F F被称为被称为A A1 1、A A2 2 、A An n的逻辑函数，记为的逻辑函数，记为F=fF=f(A(A1 1,A,A2 2,，A An n)第30页，共159页，编辑于2022年，星期一逻辑函数的特点：逻辑函数的特点：逻辑函数具有它自身的特点：逻辑函数具有它自身的特点：1逻辑函数逻辑函数F=f(A1,A2,，An)和逻辑变量和逻辑变量A1、A2、An一样，一样，取值只有取值只有0和和1两种两种可能可能；2函数和变量之间的关系是由函数和变量之间的关系是由“或或”、“与与”、“非非”3种基本运算决定的。种基本运算决定的。第31页，共159页，编辑于2022年，星期一逻辑函数的表示法逻辑函数的表示法二、逻辑函数的表示法二、逻辑函数的表示法常用的表示方法：真值表描述法常用的表示方法：真值表描述法逻辑表达式描述法逻辑表达式描述法逻辑图描述法逻辑图描述法波形图描述法波形图描述法第32页，共159页，编辑于2022年，星期一逻辑函数的相等逻辑函数的相等 三、逻辑函数的相等三、逻辑函数的相等 设有两个相同变量的逻辑函数设有两个相同变量的逻辑函数:F1=f1(A1,A2,An)F2=f2(A1,A2,An)如果对应于如果对应于A1、A2、An的任何一组取值的任何一组取值(共共2n组组)，F1和和F2的值都相等，则称的值都相等，则称F1=F2，或者，或者F1和和F2有有相同的真值表。相同的真值表。第33页，共159页，编辑于2022年，星期一逻辑函数运算的优先级规定逻辑函数运算的优先级规定：“非”“括号”“与”“或”高低 F1=F2例如：证明F1=ABC+AC 与 F2=C(A+B)相等 真值表A B C F1 F20 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 1 11 0 0 0 0 1 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1第34页，共159页，编辑于2022年，星期一逻辑问题的描述逻辑问题的描述例：某公司有例：某公司有A、B、C三个股东，分别占有公司三个股东，分别占有公司50%、30%和和20%的股份。一个议案要获得通过，必须有超过的股份。一个议案要获得通过，必须有超过50%股权的股东投赞成票。试列出该公司表决电路的真股权的股东投赞成票。试列出该公司表决电路的真值表。值表。解：解：用用1表示股东赞成议案，用表示股东赞成议案，用 0表示股东不赞成议案；表示股东不赞成议案；用用F表示表决结果，且用表示表决结果，且用1表示议案获得通过，用表示议案获得通过，用0表示表示议案未获得通过。根据这些假定（议案未获得通过。根据这些假定（编码编码），不难列出该公），不难列出该公司表决电路的真值表，如下表所示。司表决电路的真值表，如下表所示。第35页，共159页，编辑于2022年，星期一例例A AB BC CF F真值表真值表 000 11100010 01000 011 100 101 1100111例：某公司有例：某公司有A、B、C三三个股东，分别占有公司个股东，分别占有公司50%、30%和和20%的股份。的股份。一个议案要获得通过，必须一个议案要获得通过，必须有超过有超过50%股权的股东投股权的股东投赞成票。试列出该公司表赞成票。试列出该公司表决电路的真值表。决电路的真值表。第36页，共159页，编辑于2022年，星期一逻辑函数最常用形式逻辑函数最常用形式由真值表可以很方便地写出输出变量的函数表达式。通常由真值表可以很方便地写出输出变量的函数表达式。通常有两种方法：有两种方法：这两种形式是逻辑函数最常用形式。这两种形式是逻辑函数最常用形式。与与-或表达式（积之和式）或表达式（积之和式）或或-与表达式（和之积式）与表达式（和之积式）第37页，共159页，编辑于2022年，星期一与与-或表达式或表达式(积之和积之和)与项的逻辑或构成的逻辑函数与项的逻辑或构成的逻辑函数。与与-或表达式或表达式(积之和积之和)1 1）把每个输出变量）把每个输出变量F F1 1 的相对应一的相对应一组输入变量（组输入变量（A A，B B，C C，）的组合状）的组合状态以逻辑乘形式表示（用原变量表示变态以逻辑乘形式表示（用原变量表示变量取值为量取值为1 1，用反变量形式表示变量取，用反变量形式表示变量取值值0 0）；）；2 2）再将所有）再将所有F F1 1 的逻辑乘进行逻辑的逻辑乘进行逻辑加，即得出加，即得出F F的逻辑函数表达式的逻辑函数表达式。表决结果表决结果F的表达式的表达式第38页，共159页，编辑于2022年，星期一或或-与表达式与表达式(和之积和之积)或项的逻辑与构成的逻辑函数。或项的逻辑与构成的逻辑函数。或或-与表达式与表达式(和之积和之积)1）把每个输出变量）把每个输出变量F0的相对应一组输的相对应一组输入变量（入变量（A，B，C，）的组合状态以逻）的组合状态以逻辑加形式表示（用原变量表示变量取值为辑加形式表示（用原变量表示变量取值为0，用反变量形式表示变量取值，用反变量形式表示变量取值1）；）；2）再将所有）再将所有F0的逻辑加进行逻辑乘，的逻辑加进行逻辑乘，即得出即得出F的逻辑函数表达式。的逻辑函数表达式。（ABC）(A+B+C)（ABC）F(A+B+C)(A+B+C)表决结果表决结果F的表达式的表达式第39页，共159页，编辑于2022年，星期一*课堂练习1写出教材写出教材P21表表2-1-12（b）中）中P的函数表达式的函数表达式第40页，共159页，编辑于2022年，星期一*课堂练习2A AB BC CF F 写出下述问题的真值表，写出下述问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函并写出描述该问题的逻辑函数表达式。数表达式。000 11100010 01001 011 100 101 1100111例：有例：有A、B、C三个输入信号，三个输入信号，当三个输入信号有两个或者两个当三个输入信号有两个或者两个以上为高电平时，输出高电平，以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。其余情况下，均输出低电平。第41页，共159页，编辑于2022年，星期一2.1.4 复合逻辑运算复合逻辑运算2.1 逻辑代数逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念逻辑代数的概念 2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算 2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑函数及逻辑函数间的相等 2.1.4 复合逻辑运算复合逻辑运算 2.1.5 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 2.1.6 逻辑代数运算的基本规则逻辑代数运算的基本规则 2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换逻辑函数表达式的形式与变换2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）第42页，共159页，编辑于2022年，星期一与非、与非、或非、或非、与或非与或非或非逻辑运算是或运算和非运算的组合，或非逻辑运算是或运算和非运算的组合，即即 与或非逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即与或非逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即 一、一、与非、与非、或非、或非、与或非逻辑运算与或非逻辑运算与非逻辑运算是与运算和非运算的组合，与非逻辑运算是与运算和非运算的组合，即即第43页，共159页，编辑于2022年，星期一复合逻辑门第44页，共159页，编辑于2022年，星期一异或逻辑异或逻辑当当两两个个输输入入变变量量相相异异时时，输输出出为为1；相相同同时时输输出出为为0。是是异异或或运运算的符号。算的符号。异或运算也称模异或运算也称模2加运算。加运算。A BF000110110110异或逻辑真值表异或逻辑真值表二、二、异或和同或逻辑运算异或和同或逻辑运算逻辑表达式为逻辑表达式为异或逻辑异或逻辑第45页，共159页，编辑于2022年，星期一同或逻辑同或逻辑同同或或逻逻辑辑与与异异或或逻逻辑辑相相反反，它它表表示示当当两两个个输输入入变变量量相相同同时时输输出出为为1；相异时输出为；相异时输出为0。是同或运算的符号。是同或运算的符号。A BF000110111001表表2-6同或逻辑真值表同或逻辑真值表F=AB同或逻辑同或逻辑其逻辑表达式为其逻辑表达式为 第46页，共159页，编辑于2022年，星期一异或门和同或门的逻辑符号异或门和同或门的逻辑符号异或门和同或门的逻辑符号异或门和同或门的逻辑符号(a)异或门；异或门；(b)同或门同或门FBFA(a)FAABB 1FBFA(b)FAABB 1第47页，共159页，编辑于2022年，星期一异或逻辑与同或逻辑的关系异或逻辑与同或逻辑的关系由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即“互补互补”AB异或逻辑与同或逻辑真值表异或逻辑与同或逻辑真值表ABF1=A BF2=A B 0001011010101101第48页，共159页，编辑于2022年，星期一*一对特殊函数一对特殊函数异或与同或运算互为对偶式。异或与同或运算互为对偶式。如如果果F=A B,G=A B，不不难难证证明明F*=G,G*=F。因因此此可可以以将将“”作作为为“”的的对对偶偶符符号号，反反之之亦亦然然。由由以以上上分分析析可可以以看看出出，两变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊函数。两变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊函数。第49页，共159页，编辑于2022年，星期一2.1.5 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律2.1 逻辑代数逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念逻辑代数的概念 2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算 2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑函数及逻辑函数间的相等 2.1.4 复合逻辑运算复合逻辑运算 2.1.5 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 2.1.6 逻辑代数运算的基本规则逻辑代数运算的基本规则 2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换逻辑函数表达式的形式与变换2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）第50页，共159页，编辑于2022年，星期一基本定律取反律取反律一、变量与常量的定律变量与常量的定律0-1律律自等律自等律互补律互补律重叠律重叠律非非律非非律第51页，共159页，编辑于2022年，星期一基本定律二、二、类似普通代数的定律类似普通代数的定律交换律交换律结合律结合律分配律分配律第52页，共159页，编辑于2022年，星期一特殊定律特殊定律三、三、逻辑代数中的特殊定律逻辑代数中的特殊定律反演律反演律合并律合并律吸收律吸收律吸收律吸收律包含律包含律包含律又称包含律又称添加项添加项或或多余项多余项定律定律第53页，共159页，编辑于2022年，星期一有关说明有关说明 F1=F2例如：证明例如：证明F1=ABC+AC 与与 F2=C(A+B)相等相等 四、说明四、说明1、公式中的变量应作广义理解它可以代表一个、公式中的变量应作广义理解它可以代表一个式子式子；2、公式反映变量之间的是逻辑关系，而不是数量关系（、公式反映变量之间的是逻辑关系，而不是数量关系（不能移项不能移项）；）；3、证明两逻辑函数相等可用列、证明两逻辑函数相等可用列真值表证明真值表证明。A B C F1 F20 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 1 11 0 0 0 0 1 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1真真值值表表第54页，共159页，编辑于2022年，星期一2.1.6 逻辑代数运算的基本规则逻辑代数运算的基本规则2.1 逻辑代数逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念逻辑代数的概念 2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算 2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑函数及逻辑函数间的相等 2.1.4 复合逻辑运算复合逻辑运算 2.1.5 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 2.1.6 逻辑代数运算的基本规则逻辑代数运算的基本规则 2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换逻辑函数表达式的形式与变换2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）第55页，共159页，编辑于2022年，星期一三个基本规则代入规则代入规则反演规则反演规则对偶规则对偶规则第56页，共159页，编辑于2022年，星期一代入规则代入规则任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都代任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。代入规则代入规则例如，已知例如，已知A+B=AB(反演律反演律)，若用，若用F=B+C代替等式中的代替等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律，则可以得到适用于多变量的反演律，即即意义在于变量的扩展意义在于变量的扩展第57页，共159页，编辑于2022年，星期一反演规则反演规则反演规则反演规则又称德又称德摩根定律，或称互补规则摩根定律，或称互补规则a.a.反演式（反函数）反演式（反函数）已知：已知：F“”“+”“0”“1”变量反变量“”“+”“0”“1”取反F 求b.b.规则规则如果两个逻辑函数如果两个逻辑函数F F和和G G相等，相等，那么它们各自的反函数式那么它们各自的反函数式F F和和G G也相等。也相等。主要用于较方便地求出补主要用于较方便地求出补函数（反函数）函数（反函数）第58页，共159页，编辑于2022年，星期一例=B+(A+CD)E=B+ACDE=B+A(C+D)E=B+A(C+D)E=B+(A+CD)+E 解：F=B(A+CD)+E 例如例如:已知已知 F=B(A+CD)+E F=B(A+CD)+E ，求，求F F的非的非（分别用和不用反（分别用和不用反演规则进行求解）演规则进行求解）第59页，共159页，编辑于2022年，星期一注意事项注意事项F=AB+CD F=A+BC+DF=(A+B)(C+D)在运用反演规则时几个变量（一个以上）上的公共非号应保持在运用反演规则时几个变量（一个以上）上的公共非号应保持不变。不变。注意：注意：注意运算符号的优先顺序先算括号再进行与，最后进行或运注意运算符号的优先顺序先算括号再进行与，最后进行或运算；算；第60页，共159页，编辑于2022年，星期一对偶规则对偶规则对偶规则对偶规则a.对偶式已知已知F“”“+”“0”“1”变量变量“”“+”“0”“1”不变F*求b.b.规则规则如果两个逻辑函数如果两个逻辑函数F F和和G G相等，相等，那么它们各自的对偶式那么它们各自的对偶式F F*和和G G*也相等。也相等。意义在于公式的扩展和化简变换。意义在于公式的扩展和化简变换。第61页，共159页，编辑于2022年，星期一例解：解：例例 利用对偶规则求对偶式：利用对偶规则求对偶式：第62页，共159页，编辑于2022年，星期一*例解：解：例例 利用对偶规则求对偶式：利用对偶规则求对偶式：第63页，共159页，编辑于2022年，星期一2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换逻辑函数表达式的形式与变换2.1 逻辑代数逻辑代数 2.1.1 逻辑代数的概念逻辑代数的概念 2.1.2 逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量及基本逻辑运算 2.1.3 逻辑函数及逻辑函数间的相等逻辑函数及逻辑函数间的相等 2.1.4 复合逻辑运算复合逻辑运算 2.1.5 逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律 2.1.6 逻辑代数运算的基本规则逻辑代数运算的基本规则 2.1.7 逻辑函数表达式的形式与变换逻辑函数表达式的形式与变换2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 2.2.1 公式法（代数法）公式法（代数法）2.2.2 图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）第64页，共159页，编辑于2022年，星期一逻辑函数表达式的基本形式逻辑函数表达式的基本形式与与-或式：或式：与项的逻辑或构成的逻辑函数。与项的逻辑或构成的逻辑函数。(积之和积之和)例如：例如：f(A,B,C)=ABC+BC+ABC或或-与式：与式：或项的逻辑与构成的逻辑函数。或项的逻辑与构成的逻辑函数。(和之积和之积)一、逻辑函数表达式的一、逻辑函数表达式的基本形式基本形式这两种形式是逻辑函数最常用形式。这两种形式是逻辑函数最常用形式。如：如：f(A,B,C)=(A+B+C)(B+C)(A+B+C)第65页，共159页，编辑于2022年，星期一例F(A,B,C)=AB+AC=AB(C+C)+AC(B+B)=ABC+ABC+ABC+ABC逻辑函数的表达式不是唯一的逻辑函数的表达式不是唯一的。例如例如第66页，共159页，编辑于2022年，星期一逻辑函数表达式的标准形式逻辑函数表达式的标准形式二、逻辑函数表达式的二、逻辑函数表达式的标准形式标准形式标准积之和式标准积之和式 也叫标准与也叫标准与-或式、或式、最小项表达式最小项表达式标准和之积式标准和之积式 也叫标准或也叫标准或-与式、与式、最大项表达式最大项表达式第67页，共159页，编辑于2022年，星期一最小项表达式最小项表达式最小项最小项(minterm)及其特性及其特性最小项最小项n变量函数最多组成变量函数最多组成？个最小项：个最小项：1.1.最小项表达式最小项表达式3个变量个变量A、B、C可组成的最小项：可组成的最小项：2nn个变量逻辑函数的最小项，是由个变量逻辑函数的最小项，是由n个变量组成的乘积项，其个变量组成的乘积项，其中每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次且中每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次仅出现一次。第68页，共159页，编辑于2022年，星期一最小最小项编项编号号为了便于书写和表述，常用符号为了便于书写和表述，常用符号mi来表示某个最小项。这里来表示某个最小项。这里m表示最小项，下标表示最小项，下标i是最小项的编号。是最小项的编号。把使某最小项为把使某最小项为1的的变量取值变量取值组合看作为一组组合看作为一组二进制数二进制数，这个二进制数所对应的这个二进制数所对应的十进制数十进制数就是最小项的下标就是最小项的下标i的编的编号号。最小最小项项代数式代数式二二进进制代制代码码000，001最小最小项编项编号号m0，m1第69页，共159页，编辑于2022年，星期一例最小最小项项代数式代数式二二进进制代制代码码000，001，010，011，100，101，110，111根据代数式可以写出函数的最小项编号，反之，如果知道了根据代数式可以写出函数的最小项编号，反之，如果知道了某函数的某函数的变量数变量数、变量排列顺序变量排列顺序和和最小项的编号最小项的编号，就可以方便地，就可以方便地写出相应的代数式。写出相应的代数式。最小最小项编项编号号m0，m1，m2，m3，m4，m5，m6，m7第70页，共159页，编辑于2022年，星期一最小项性质最小项性质1)对任意一组输入变量取值组合，有且仅有一个最小项取值为对任意一组输入变量取值组合，有且仅有一个最小项取值为1，其余最小项均为，其余最小项均为0。3)所有最小项所有最小项之和之和恒为恒为1(mi=1)。2)对对同一组变量取值，任意两个不同最小项的乘积为同一组变量取值，任意两个不同最小项的乘积为0(mimj=0)。第71页，共159页，编辑于2022年，星期一标准与或式 最小项表达式标准与或式 如果与或表达式中的每个乘积项均是最小项，则这个表达式如果与或表达式中的每个乘积项均是最小项，则这个表达式就是最小项表达式，也称为就是最小项表达式，也称为标准与或式标准与或式。一个逻辑函数的最小项。一个逻辑函数的最小项表达式是唯一的。表达式是唯一的。该式是不是最小项表达式该式是不是最小项表达式?该式是不是最小项表达式该式是不是最小项表达式?不是，该表达式有三个变量，但每个乘积项均未包含所有的变不是，该表达式有三个变量，但每个乘积项均未包含所有的变量。量。如果该表达式是一个四变量逻辑函数，则为最小项表达如果该表达式是一个四变量逻辑函数，则为最小项表达式。因为每个乘积项均包含所有的变量。式。因为每个乘积项均包含所有的变量。第72页，共159页，编辑于2022年，星期一最小项编号之和的形式最小项编号之和的形式为了方便起见，上式可以写成最小项编号之和的形式。为了方便起见，上式可以写成最小项编号之和的形式。注意注意：括号中的：括号中的A,B,C,DA,B,C,D，既表明了该逻辑函数有四个输入变量，既表明了该逻辑函数有四个输入变量，同时还表明了在对最小项编号时，变量同时还表明了在对最小项编号时，变量A A在最左边，其次是在最左边，其次是B B，然，然后是后是C C，最后是，最后是D D。将上式的变量顺序调整为将上式的变量顺序调整为DCBADCBA，其最小项编号之和的形式如何？，其最小项编号之和的形式如何？如果改变了变量的排列顺序，同一逻辑函数的形式，在如果改变了变量的排列顺序，同一逻辑函数的形式，在表达式中的编号将发生变化。表达式中的编号将发生变化。第73页，共159页，编辑于2022年，星期一真值表与最小项表达式的关系（3 3）真值表与最小项表达式的关系行 数输 入输 出反函数输出 1第74页，共159页，编辑于2022年，星期一非标准与或式展开为标准与或式(4)非标准与或式展开为标准与或式即利用公式即利用公式 AABAB如果函数的与或表达式中的某些乘积项不是最小项，若如果函数的与或表达式中的某些乘积项不是最小项，若需要把它展开为最小项表达式，可以在非最小项的乘积项中需要把它展开为最小项表达式，可以在非最小项的乘积项中乘以所缺变量组成的乘以所缺变量组成的1(如B+B)，再用，再用乘法分配律展开乘法分配律展开，经整，经整理后消去重复的最小项，最后得到的就是最小项表达式。理后消去重复的最小项，最后得到的就是最小项表达式。第75页，共159页，编辑于2022年，星期一例【例例】把把转换为最小项转换为最小
