第二章守恒定理PPT讲稿.ppt
第二章守恒定理第1页，共26页，编辑于2022年，星期二6.能量能量运动积分运动积分:在运动过程中保持常值在运动过程中保持常值,称为运动积分称为运动积分!能量守恒能量守恒性质性质:对于具有对于具有s个自由度的力学封闭体系，独立的运动积分有个自由度的力学封闭体系，独立的运动积分有2s-1个个！(1)s个自由度个自由度=s个二阶微分方程组个二阶微分方程组=通解有通解有2s个常数个常数.(2)封闭体系运动方程不显含时间封闭体系运动方程不显含时间t,解的形式解的形式(书上有误)从中间一个结果比如从中间一个结果比如q_1，可以反解出，可以反解出t，代入另外，代入另外2s-1个结果，有个结果，有 第2页，共26页，编辑于2022年，星期二再反解出，既可以看到有再反解出，既可以看到有2s-1个关于常数的关系式，对剩余的一个常数个关于常数的关系式，对剩余的一个常数,由于体系由于体系不显含时间不显含时间,t平移不改变任一方程平移不改变任一方程,可以任意选择初始时刻，将剩余常数的值吸收可以任意选择初始时刻，将剩余常数的值吸收到初始时刻的任意性中，不改变结果，故可以取成到初始时刻的任意性中，不改变结果，故可以取成0(任意数任意数).这样得到的这样得到的2s-1个个关系式只包含关系式只包含q,dot(q)和和C(2s-1)个，即个，即 运动积分运动积分.普适的运动积分普适的运动积分(守恒量守恒量)与体系的对称性有关！与体系的对称性有关！比如：时空平移不变性比如：时空平移不变性 能动量守恒能动量守恒物理意义物理意义第3页，共26页，编辑于2022年，星期二时间均匀性时间均匀性(时间平移不变性时间平移不变性)拉式量不显含时间拉式量不显含时间(1)有微分关系有微分关系(2)利用拉格朗日方程利用拉格朗日方程(3)可得可得第4页，共26页，编辑于2022年，星期二(4)整理整理定义定义可以看到该量不随时间变化，即守恒，运动积分！可以看到该量不随时间变化，即守恒，运动积分！称为能量称为能量.第5页，共26页，编辑于2022年，星期二进一步，对封闭体系有进一步，对封闭体系有利用利用可得可得(直角坐标系直角坐标系)因为因为T是速度的是速度的2次函数，即次函数，即Prob:推导推导第6页，共26页，编辑于2022年，星期二7.动量动量空间的均匀性空间的均匀性(空间平移不变性空间平移不变性)L不变不变(等价等价)利用拉格朗日方程，利用拉格朗日方程，得到得到(1)(2)第7页，共26页，编辑于2022年，星期二由此可以定义由此可以定义性质：动量的相加性性质：动量的相加性.由此可以定义单个质点的动量由此可以定义单个质点的动量具体地，代入拉式量形式有具体地，代入拉式量形式有第8页，共26页，编辑于2022年，星期二更具体地回顾看拉式量空间平移不变性更具体地回顾看拉式量空间平移不变性即即物理意义明显物理意义明显:整个体系无外力，动量守恒整个体系无外力，动量守恒!第9页，共26页，编辑于2022年，星期二深化深化1:广义坐标情况广义坐标情况 广义坐标广义坐标 q_I,定义广义动量定义广义动量 广义力广义力第10页，共26页，编辑于2022年，星期二8.质心质心讨论坐标系的选取讨论坐标系的选取封闭体系的动量对于不同的惯性系有不同的取值，封闭体系的动量对于不同的惯性系有不同的取值，Problem:考察动量在参考系变换下的变换关系考察动量在参考系变换下的变换关系参考系变换参考系变换KK 则则 动量关系动量关系即即第11页，共26页，编辑于2022年，星期二存在坐标系存在坐标系K,使得使得P=0,在该坐标系中，可以求得变换的速度在该坐标系中，可以求得变换的速度V对参考系对参考系K，系统整体相当于不动，退化到单质点情况，即是静止系。，系统整体相当于不动，退化到单质点情况，即是静止系。定义质心定义质心变换速度即是质心的速度！变换速度即是质心的速度！定义定义第12页，共26页，编辑于2022年，星期二整体静止的力学系统整体静止的力学系统(即质心系：质心不动的参考系即质心系：质心不动的参考系)的能量称为内能的能量称为内能可得可得 其他参考系其他参考系(相对质心系速度相对质心系速度V)中的体系能量为中的体系能量为推导：即是求坐标系变换下能量的变换关系推导：即是求坐标系变换下能量的变换关系 Vs.上面坐标系变换下动量的变换关系上面坐标系变换下动量的变换关系第13页，共26页，编辑于2022年，星期二坐标系变换关系坐标系变换关系取取K系为质心系则系为质心系则 P=0由此由此第14页，共26页，编辑于2022年，星期二9.动量矩动量矩(角动量角动量)类似前面，空间的各向同性类似前面，空间的各向同性(即空间的转动不变性即空间的转动不变性)相应着角动量守恒相应着角动量守恒.转动的描述转动的描述:绕着某转动轴转动一定的角度！绕着某转动轴转动一定的角度！(转动方向按照右手法则转动方向按照右手法则)故需要一个矢量来描述故需要一个矢量来描述(在空间的方向和大小在空间的方向和大小)无穷小转动的描述：无穷小转动的描述：无穷小转动变换下，空间坐标的变换关系无穷小转动变换下，空间坐标的变换关系几何关系如图几何关系如图第15页，共26页，编辑于2022年，星期二大小：大小：方向：方向：垂直垂直综合则综合则相对速度的变换关系相对速度的变换关系例子，转动的描述例子，转动的描述第16页，共26页，编辑于2022年，星期二代入拉格朗日函数，拉式量在转动下不变：代入拉格朗日函数，拉式量在转动下不变：使用广义动量，广义力的表述使用广义动量，广义力的表述有有第17页，共26页，编辑于2022年，星期二转动角的任意性，可得转动角的任意性，可得:守恒量定义为守恒量定义为称为角动量！称为角动量！第18页，共26页，编辑于2022年，星期二综合：综合：由时空的均匀性，各向同性，可知由时空的均匀性，各向同性，可知3维封闭体系至少有上面维封闭体系至少有上面7个个 守恒量守恒量(运动积分运动积分):能量，能量，3个动量，个动量，3个角动量个角动量.第19页，共26页，编辑于2022年，星期二坐标原点变换下角动量的变换关系坐标原点变换下角动量的变换关系不同参考系变换下角动量的变换关系不同参考系变换下角动量的变换关系第20页，共26页，编辑于2022年，星期二体系整体相对参考系体系整体相对参考系K静止情况下，有静止情况下，有进一步，不单是封闭体系，有守恒量，只要拉式量具有对称性，就有进一步，不单是封闭体系，有守恒量，只要拉式量具有对称性，就有守恒量！守恒量！Ex:中心力场下的粒子中心力场下的粒子角动量分量的另一等价表达形式：角动量分量的另一等价表达形式：绕绕z轴的转角轴的转角第21页，共26页，编辑于2022年，星期二直接计算验证直接计算验证采用柱坐标采用柱坐标(容易描述绕容易描述绕z轴转动轴转动)有有代入之前的定义代入之前的定义另一方面另一方面第22页，共26页，编辑于2022年，星期二*10.力学相似性力学相似性拉格朗日函数可以相差任意一个非零常系数，而不改变运动方程拉格朗日函数可以相差任意一个非零常系数，而不改变运动方程.一些简单情况下，仅仅只需利用这些对称性，既可求解一些性质！一些简单情况下，仅仅只需利用这些对称性，既可求解一些性质！Now，考虑这样情况，假设势能具有如下性质，考虑这样情况，假设势能具有如下性质对这样的体系，引入相似性变换对这样的体系，引入相似性变换第23页，共26页，编辑于2022年，星期二则变换后的拉式量只是老的拉式量的倍数则变换后的拉式量只是老的拉式量的倍数如果满足如果满足则坐标改变相同倍数下，运动方程不变，前后的运动轨迹几何上相则坐标改变相同倍数下，运动方程不变，前后的运动轨迹几何上相似，并且运动时间满足似，并且运动时间满足(对不同的运动轨迹对不同的运动轨迹)第24页，共26页，编辑于2022年，星期二应用例子应用例子(1)均匀力场均匀力场:可见可见k=1，可得，可得物理意义：物理意义：“重力重力”场中的自由落体，下落时间的平方之比等于场中的自由落体，下落时间的平方之比等于下落高度之比！下落高度之比！(2)牛顿引力或库仑力牛顿引力或库仑力,k=-1，有，有物理意义：开普勒第三定律，轨道运动周期的平凡与轨道尺寸物理意义：开普勒第三定律，轨道运动周期的平凡与轨道尺寸的立方成正比的立方成正比.第25页，共26页，编辑于2022年，星期二Others,see text-book.给定拉式量，如何判断守恒量？给定拉式量，如何判断守恒量？第26页，共26页，编辑于2022年，星期二
