第二章矩阵理论小结PPT讲稿.ppt

第二章矩阵理论小结第1页，共81页，编辑于2022年，星期二第一节第一节 矩阵及其运算矩阵及其运算第二节第二节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第三节第三节 逆矩阵逆矩阵第四节第四节 矩阵理论的应用矩阵理论的应用第2页，共81页，编辑于2022年，星期二1 1理解矩阵的概念。知道单位阵、对角阵、三角阵、对称阵等的理解矩阵的概念。知道单位阵、对角阵、三角阵、对称阵等的性质。性质。2 2熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。3 3了解方阵的幂与方阵的乘积的行列式。了解方阵的幂与方阵的乘积的行列式。4 4熟练掌握矩阵的初等变换。了解初等矩阵和矩阵的标准形。熟练掌握矩阵的初等变换。了解初等矩阵和矩阵的标准形。本章学习要求：本章学习要求：对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。第3页，共81页，编辑于2022年，星期二 5 5理解矩阵的秩的概念，知道满秩矩阵的性理解矩阵的秩的概念，知道满秩矩阵的性 质，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。质，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。6 6理解逆矩阵的概念、性质及其存在的充要条理解逆矩阵的概念、性质及其存在的充要条 件，会用伴随矩阵求逆矩阵，掌握用初等变换求件，会用伴随矩阵求逆矩阵，掌握用初等变换求 逆矩阵的方法。逆矩阵的方法。7 7了解矩阵的分块及其运算。了解矩阵的分块及其运算。本章学习要求：本章学习要求：对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。第4页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论由由 m n 个数个数 aij(i=1,2,m;j=1,2,n)有序地排列有序地排列成成 m 行行(横排横排)n 列列(竖排竖排 )的数表的数表称称为为一一个个 mm 行行行行 n n 列列列列的的的的矩矩矩矩阵阵阵阵，简简记记为为 (aij)m n ,通通常常用用大大写写字字母母 A、B、C、表表示示.m 行行 n 列列的的矩矩阵阵 A 也也写写成成 Am n ,构构成成矩矩阵阵的的每每个个数数称称为为矩矩阵阵的的元元素素，而而 aij 表表示示矩矩阵阵 第第第第 i i 行行行行第第第第 j j 列的元素列的元素列的元素列的元素.1.1.矩阵及其运算矩阵及其运算 一、矩阵的概念一、矩阵的概念第5页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论有几种特殊的矩阵有几种特殊的矩阵:1)1)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 (a1,a2,an)称为称为行矩阵行矩阵行矩阵行矩阵 ；2)2)只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵列矩阵列矩阵 ;3)3)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 O,若强调若强调零矩阵零矩阵零矩阵零矩阵是是 m 行行 n 列的，则记为列的，则记为 Om n .注意：注意：不同型的零矩阵是不相等的不同型的零矩阵是不相等的.同型矩阵同型矩阵同型矩阵同型矩阵 矩阵相等矩阵相等矩阵相等矩阵相等第6页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论 二、矩阵的运算二、矩阵的运算1 1、矩阵的加法和减法、矩阵的加法和减法、矩阵的加法和减法、矩阵的加法和减法设有两个设有两个 m n 矩阵矩阵 A=(aij)m n,B=(bij)m n,则矩则矩阵阵称为矩阵称为矩阵 A 与与 B 的的和和和和，记为，记为 C=A+B.矩阵的加法满足下列运算规律：矩阵的加法满足下列运算规律：(i)交换律交换律：A+B=B+A;(ii)结合律：结合律：(A+B)+C=A+(B+C);(iii)A+O=A.A B =A+(B)=(aij bij)m n.第7页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论2 2、数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法设设 为常数为常数,矩阵矩阵 A=(aij)m n,则称矩阵则称矩阵(aij)m n 为为数数数数 与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵A A A A 的乘积的乘积的乘积的乘积，记为，记为 A,即即数与矩阵的乘法满足下列运算规律：数与矩阵的乘法满足下列运算规律：(i)结合律：结合律：()A=(A)=(A);(ii)分配律分配律：(A+B)=A+B,(iii)1 A=A,(1)A=A .(+)A=A+A;第8页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论3.3.矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法设矩阵设矩阵 A=(aik)m s,B=(bkj)s n,则定义则定义 A 与与 B 的的乘积乘积乘积乘积 C 为为C =A B注注意意：只只有有第第一一个个矩矩阵阵的的列列数数等等于于第第二二个个矩矩阵阵的的行行数数时时，两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘.第9页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论矩阵乘法满足下列运算规律矩阵乘法满足下列运算规律:(1)结合律：结合律：(A B)C=A(B C);(2)分配律：分配律：A(B+C)=A B+A C，(B+C)A=B A+C A;(A B)=(A)B=A(B),为常数为常数.第10页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论4 4、矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置将将 m n 矩阵矩阵 A 的行和列互换而顺序不变，得到的的行和列互换而顺序不变，得到的 n m 矩阵称为矩阵称为 A 的的转置矩阵转置矩阵转置矩阵转置矩阵，记作，记作 AT 或或 A.矩阵的转置满足下列规律：矩阵的转置满足下列规律：1)(A T)T=A;2)(A+B)T=A T+B T;3)(A)T=A T,为常数为常数；4)(A B)T=B T AT.第11页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论1)1)单位矩阵单位矩阵单位矩阵单位矩阵三、方阵三、方阵三、方阵三、方阵2)2)对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵第12页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论3)3)三角矩阵三角矩阵三角矩阵三角矩阵：分为上三角矩阵和下三角矩阵两种：分为上三角矩阵和下三角矩阵两种上三角矩阵：上三角矩阵：上三角矩阵：上三角矩阵：下三角矩阵：下三角矩阵：下三角矩阵：下三角矩阵：4)对称阵对称阵对称阵对称阵：A T=A 5)5)反对称阵反对称阵反对称阵反对称阵：AT =A第13页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论方阵的运算方阵的运算方阵的运算方阵的运算A A=A 2,A A A =A 3,A A A =A k .k个个显然有显然有 A k A l=A k+l ,(A k)l =A k l (其中其中 k,l 均为正整数均为正整数 ).设设 A、B 均为均为 n 阶方阵，一般地阶方阵，一般地(A B)k A k B k .注意：注意：第14页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论对于一切的正整数对于一切的正整数 k 第15页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论方方阵阵 A 构构成成的的行行列列式式记记为为|A|或或 detA.若若|A|0,则则称称 A 为为非非非非奇奇奇奇异异异异(非退化非退化非退化非退化)的；若的；若|A|=0,则称则称 A 为为奇异的奇异的奇异的奇异的.由行列式的性质及矩阵的乘法可以证明：由行列式的性质及矩阵的乘法可以证明：1)|A|=n|A|;2)|A B|=|A|B|;3)|A m|=|A|m.方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式方阵的行列式非奇异方阵的积仍是非奇异方阵非奇异方阵的积仍是非奇异方阵.非奇异方阵的转置矩阵也是非奇异方阵非奇异方阵的转置矩阵也是非奇异方阵.第16页，共81页，编辑于2022年，星期二1)1)计算两个矩阵的加法时，要将两个矩阵进行相同的划分，以保计算两个矩阵的加法时，要将两个矩阵进行相同的划分，以保证对应子块同型；证对应子块同型；2)2)计算两个矩阵的乘法时，要使对第一个矩阵列的分法与第计算两个矩阵的乘法时，要使对第一个矩阵列的分法与第二个矩阵行的分法一致，这样才能保证对应子块能相乘；二个矩阵行的分法一致，这样才能保证对应子块能相乘；3)3)求矩阵转置时，要将子块当作元素将分块矩阵转置后，再将每求矩阵转置时，要将子块当作元素将分块矩阵转置后，再将每个子块转置个子块转置.第二章 矩阵理论四、矩阵的分块四、矩阵的分块四、矩阵的分块四、矩阵的分块第17页，共81页，编辑于2022年，星期二注：注：设矩阵设矩阵 A=(aij)m n 分块为分块为 则则第18页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论若矩阵若矩阵 A A 经过某种分块后，能划分成如下形式：经过某种分块后，能划分成如下形式：其中其中 A,A2,Am 均为方阵，则称均为方阵，则称 A 为为准对角矩阵准对角矩阵准对角矩阵准对角矩阵，它有着与，它有着与对角矩阵类似的性质对角矩阵类似的性质.如如 第19页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论注意：注意：第20页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论定义定义1 1对矩阵施行下列三种变换均称为矩阵的对矩阵施行下列三种变换均称为矩阵的初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换:1)1)互换矩阵的两行互换矩阵的两行(记作记作 ri rj ););2)2)以数以数 0 乘以矩阵的某一行乘以矩阵的某一行(记作记作 ri );3)3)将矩阵的某一行各元素乘以数将矩阵的某一行各元素乘以数 后加到另一行的对应元后加到另一行的对应元素上去素上去(记作记作 ri+rj ).).将行换成列，则称为矩阵的将行换成列，则称为矩阵的初等列变换初等列变换初等列变换初等列变换 (所用记号将所用记号将 r 换成换成 c).).2.2.2.2.矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换第21页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论二、初等矩阵二、初等矩阵二、初等矩阵二、初等矩阵单单位位矩矩阵阵 E E 经经过过一一次次初初等等变变换换后后得得到到的的矩矩阵阵称称为为初初初初等等等等矩阵矩阵矩阵矩阵.初等矩阵共三种：初等矩阵共三种：1)ri rj ,得得第第 j 行行第第 i 行行第22页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论2)ri (0)，得得第第 i 行行第23页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论3)ri +rj，得得 第第 i 行行第第 j 行行第24页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论设设 A 是是一一个个 m n 矩矩阵阵，则则对对 A 施施行行一一次次初初等等行行变变换换相相当当于于 A 左左乘乘以以一一个个相相应应的的初初等等矩矩阵阵；对对 A 施施行行一次列变换，相当于一次列变换，相当于 A 右乘以一个相应的初等矩阵右乘以一个相应的初等矩阵.第25页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论三、矩阵的秩三、矩阵的秩三、矩阵的秩三、矩阵的秩A 的不为零的子式的最高阶数称为的不为零的子式的最高阶数称为矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 的秩的秩的秩的秩，记为，记为 R(A).R(A)=k的充要条件是的充要条件是矩阵矩阵 A 中至少有一个中至少有一个 k 阶子式不为零，而所有阶子式不为零，而所有 k+1 阶子式全为零阶子式全为零。初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩.第26页，共81页，编辑于2022年，星期二若矩阵若矩阵 B 是由矩阵是由矩阵 A 经过有限次的初等变换后所得，则称经过有限次的初等变换后所得，则称 A A 与与与与 B B 等价等价等价等价.第27页，共81页，编辑于2022年，星期二方阵方阵 A 非奇异的充要条件是非奇异的充要条件是 A 可以表示为一系列初等矩阵可以表示为一系列初等矩阵的乘积的乘积.若若 A 为为 n 阶非奇异矩阵，则只要对阶非奇异矩阵，则只要对 A 施行初等行变换或施行初等行变换或列变换，可将矩阵列变换，可将矩阵A化为单位阵化为单位阵.第28页，共81页，编辑于2022年，星期二秩的重要公式与结论秩的重要公式与结论证证证证证证证证证证证证证证证证第29页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论用初等行变换求矩阵的秩的步骤用初等行变换求矩阵的秩的步骤:行变换行变换右端矩阵称为右端矩阵称为阶梯形矩阵阶梯形矩阵阶梯形矩阵阶梯形矩阵，有，有 r 行不全为零，则行不全为零，则 A 的秩为的秩为 r.第30页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论若对阶梯形矩阵再施行列变换，则可化为最简形式：若对阶梯形矩阵再施行列变换，则可化为最简形式：右端右端矩阵矩阵称为称为 A 的的标准形标准形标准形标准形，其左上角为一个，其左上角为一个 r 阶单位阵阶单位阵(r=R(A),其余元素全为零其余元素全为零.第31页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论3.3.3.3.逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵一、逆矩阵的概念一、逆矩阵的概念一、逆矩阵的概念一、逆矩阵的概念设设 A 是一个是一个 n 阶方阵，如果存在阶方阵，如果存在 n 阶方阵阶方阵 B,使使A B=B A=E ,则称则称 B 为为 A 的的逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵，此时也称，此时也称 A 可逆可逆可逆可逆.若矩阵若矩阵 A 是可逆的，则是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.第32页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论设设 a11 a22 ann 0,则由定义可直接验证对角矩阵的逆矩阵则由定义可直接验证对角矩阵的逆矩阵若方阵若方阵 A1,A2,Am 均可逆，则准对角矩阵与对角矩阵均可逆，则准对角矩阵与对角矩阵类似地有逆矩阵类似地有逆矩阵第33页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论二、矩阵可逆的条件及求逆公式二、矩阵可逆的条件及求逆公式二、矩阵可逆的条件及求逆公式二、矩阵可逆的条件及求逆公式设设 n 阶方阵阶方阵Aij 为元素为元素 aij 的代数余子式的代数余子式 (i,j=1,2,n),称为矩阵称为矩阵 A 的的伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵.则矩阵则矩阵第34页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论且且其中其中 A*为为 A 的伴随矩阵的伴随矩阵.方阵方阵 A 可逆可逆|A|0,设设 A、B 均为均为 n 阶方阶方阵阵，若，若 A B=E(或或 B A=E),则则 B=A 1 .第35页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论第36页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论三、逆矩阵的性质三、逆矩阵的性质三、逆矩阵的性质三、逆矩阵的性质1)(A 1)1 =A;2)3)(A T)1 =(A 1)T;4)(A B)1 =B 1 A 1;5)6)若若 A B=A C 且且 A 可逆可逆 B=C.性质性质 4 还可推广到还可推广到 m 个方阵的情形，即个方阵的情形，即特别：特别：(A m)1 =(A 1)m .第37页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论矩阵性质的比较：矩阵性质的比较：(A 1)1 =A;(A B)1 =B 1 A 1;(AT)T =A;(A B)T =B T AT;(A T)1 =(A 1)T;第38页，共81页，编辑于2022年，星期二第二章 矩阵理论四、用初等变换求逆矩阵四、用初等变换求逆矩阵四、用初等变换求逆矩阵四、用初等变换求逆矩阵(A|E)初等行变换初等行变换(E|A 1).第39页，共81页，编辑于2022年，星期二第一章 行列式求逆矩阵常用方法求逆矩阵常用方法1.1.定义定义2.2.伴随矩阵法伴随矩阵法3.3.初等变换法初等变换法(A|E)初等行变换初等行变换(E|A 1).第40页，共81页，编辑于2022年，星期二第一章 行列式4.4.利用分块矩阵求逆利用分块矩阵求逆第41页，共81页，编辑于2022年，星期二第一章 行列式第42页，共81页，编辑于2022年，星期二第一章 行列式证明矩阵可逆的常用方法证明矩阵可逆的常用方法1.1.定义定义2.2.可逆的充要条件可逆的充要条件3.3.反证法反证法第43页，共81页，编辑于2022年，星期二第一章 行列式求方阵求方阵A的高次幂的方法的高次幂的方法1.1.数学归纳法数学归纳法2.2.利用矩阵乘法的结合律利用矩阵乘法的结合律3.3.利用二项展开式利用二项展开式4.4.利用准对角矩阵求幂利用准对角矩阵求幂第44页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第45页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第46页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第47页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第48页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第49页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第50页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第51页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第52页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第53页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第54页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第55页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第56页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第57页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第58页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第59页，共81页，编辑于2022年，星期二练练第60页，共81页，编辑于2022年，星期二例例解解第61页，共81页，编辑于2022年，星期二例例解解第62页，共81页，编辑于2022年，星期二例例解法一解法一数学归纳法数学归纳法第63页，共81页，编辑于2022年，星期二例例解法二解法二A是初等矩阵是初等矩阵第64页，共81页，编辑于2022年，星期二例例解法二解法二解法一解法一第65页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第66页，共81页，编辑于2022年，星期二例例证证第67页，共81页，编辑于2022年，星期二例例解解第68页，共81页，编辑于2022年，星期二例例解解第69页，共81页，编辑于2022年，星期二例例解解第70页，共81页，编辑于2022年，星期二第71页，共81页，编辑于2022年，星期二例例解解第72页，共81页，编辑于2022年，星期二例例解解第73页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第74页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第75页，共81页，编辑于2022年，星期二例例第76页，共81页，编辑于2022年，星期二练练第77页，共81页，编辑于2022年，星期二证：证：第78页，共81页，编辑于2022年，星期二证：证：第79页，共81页，编辑于2022年，星期二证：证：第80页，共81页，编辑于2022年，星期二证：证：第81页，共81页，编辑于2022年，星期二