北京市大兴区2015届高三数学上学期期末考试试题 理.doc

大兴区20142015学年高三期末检测数学（理科）一、选择题，共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则等于（A） （B） （C） （D）（2）如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和， 则等于（A） （B）（C） （D）（3）在中，则A等于（A） （B） （C） （D） 或（4）下列函数中，既是偶函数，又在上是单调减函数的是（A） （B）（C） （D） （5）已知等比数列，则“”是“为递增数列” 的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）已知直线平面，直线平面，有下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.以上命题中，正确命题的序号是 （A） （B） （C） （D）（7）已知不等式组表示的平面区域为D，若函数的图像上存在区域D上的点，则实数的取值范围是（A） （B）（C） （D）（8）已知集合，集合，若，则不同集合A的个数是（A）12 （B）27 （C）42 （D）63二、填空题，共6小题，每小题5分，共30分。（9） 若函数，则_（10）已知向量，则向量在向量方向上的投影是 （11）已知数列为等差数列，若，则的前项和_（12）已知圆：，在圆周上随机取一点P，则P到直线的距离大于的概率为 （13）在中，设，则的取值范围是 （14）设抛物线，双曲线的焦点均在轴上，的顶点与的中心均为原点，从每条曲线上至少取一个点，将其坐标记录于下表中：1则的方程是 ；的方程是 三、解答题，共6小题，共80分。（15）已知函数.（）求函数的最小正周期及单调减区间；（）若，求的值.（16）2014年5月，北京市提出地铁分段计价的相关意见，针对“你能接受的最高票价是多少？”这个问题，在某地铁站口随机对50人进行调查，调查数据的频率分布直方图及被调查者中35岁以下的人数与统计结果如下：（）根据频率分布直方图,求a的值，并估计众数，说明此众数的实际意义；（）从“能接受的最高票价”落在 8，10)，10，12的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中35岁以上（含35岁）的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望 最高票价35岁以下人数2，4)24，6)86，8)128，10)510，123 频率 组距0.2a0.060.06 120.042 10864 最高票价(元)（17）在如图所示的几何体中， 四边形是正方形,且,.（）若与交于点,求证:；（）求证：；（）求二面角的余弦值.（18）已知.（）若，求在处的切线方程；（）确定函数的单调区间，并指出函数是否存在最大值或最小值（19）已知椭圆的离心率为，右焦点为，过原点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交椭圆于点（）求椭圆的方程；（）求证：为定值，并求面积的最小值（20）已知，函数的零点从小到大依次为，.（）若（），试写出所有的值；（）若，求证： ；（）若，试把数列的前项及按从小到大的顺序排列。（只要求写出结果）.理科参考答案与评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案ACBDCBDD二、填空题（每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13）（14）；（第一个空3分，第二个空2分）三、解答题（共80分）（15）（本题满分13分）解：（） .4分所以， .6分由 .7分化简得 所以，函数的单调递减区间为 .9分（）因为 ， 所以 即 .2分又因为 所以 .3分 则 ， .4分(16)（本题满分13分）（）由题意得： 2分 由频率分布直方图估计众数为7， 3分说明在被调查的50人中，能接受最高票价为7元的人数比能接受最高票价为其他值得人数多。4分（）由题意知， 50名被调查者中：选择最高票价在8，10)的人数为人。 选择最高票价在10，12的人数为人 2分 故X的可能取值为0，1，2 ， 3分 6分所以，的分布列为：012 9分（17）（本题满分14分）证明：（）如图，取中点，连， 在中，因为分别是的中点，所以，且， 又由已知得，且， 所以，所以四边形是平行四边形，所以3分 又，所以 4分 （）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系 则， ，2分 所以， ， 所以，且 所以，； 4分又，所以 5分（） 设平面的法向量为 由（）知， 所以，令，得 2分 又平面的法向量为 3分 设二面角的大小为，是锐角 则 所以二面角的余弦值为 5分（18）（本题满分13分）（）当时， 2分， 3分所以直线方程为，即 4分（）=其中， 2分令，得当，即时，小于0等于0大于0小于0递减极小值递增递减的增区间是 ，减区间是和，当时，取得极小值。又时，所以有最小值； 6分当时，的减区间是和，无最大值和最小值。 7分 3）当时，的增区间是 ，减区间是和，当时，取得极大值。又时，所以有最大值。 9分 （19）（本题满分14分）解：（）由题意，因为，所以， 2分所以 所以椭圆的方程为 4分 （）当直线垂直于坐标轴时，易得，的面积 1分当直线与坐标轴不垂直时，设直线的方程为， 则由 消元得，所以， 3分所以 4分又是线段的垂直平分线，故方程为， 同理可得 5分 从而为定值。7分方法一：由，所以，当且仅当时，即，时，等号成立，所以的面积 。 9分所以，当时，的面积有最小值。 10分方法二：的面积所以 9 9分所以，当且仅当时，即时，的面积有最小值。10分（20）（本题满分13分）解：（），所以 3分（），在上单调递增，当时， 1分由（）知，即 2分所以 下面用数学归纳法证明由式知，所以，即，所以，当时，命题成立假设时命题成立，即 当时，由式得即当时，命题也成立，所以7分（），在R上单调递减，由于 ，所以，即，可推出，即进而可得，即，又可得即，所以用数学归纳法易证 3分- 12 -