2019_2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式第二课时一般形式的柯西不等式练习新人教A版选修4_5.doc

第二课时一般形式的柯西不等式基础达标1.若实数a、b、c均大于0，且abc3，则的最小值为A.3 B.1 C.D.解析3(a2b2c2)(121212)(a2b2c2)(1·a1·b1·c)2(abc)29，a2b2c23，故选D.答案D2.设a，b，c>0，且abc1，则的最大值是A.1 B. C.3 D.9解析由柯西不等式，得()2()2()2(121212)()2，则()23×13.当且仅当abc时等号成立.故的最大值为.答案B3.已知x，y，z均大于0，且xyz1，则的最小值为A.24 B.30 C.36 D.48解析(xyz)36，故36.答案C4.设a，b，c为正数，则(abc)的最小值是_.解析(abc)()2()2()2·(236)2121.当且仅当时等号成立.答案1215.已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1，1.(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.解析(1)因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x)mxm.又f(x2)0的解集为1，1，故m1.(2)证明由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.原不等式得证.能力提升1.已知a，b，cR，且abc1，则a2b2c2的最小值为A.1B.4C. D.答案C2.设a1，a2，an为实数，P，Q，则P与Q间的大小关系为A.PQ B.PQC.PQ D.不确定答案B3.已知x2y2z21，则x2y2z的最大值为A.1 B.2 C.3 D.4解析由柯西不等式，得(x2y2z)2(122222)(x2y2z2)9，所以3x2y2z3.当且仅当x时，右边等号成立.所以x2y2z的最大值为3.答案C4.若a，b，c为正数，则·的最小值为A.1 B.1 C.3 D.9答案D5.已知x，y是实数，则x2y2(1xy)2的最小值是A. B. C.6 D.3解析由柯西不等式，得(121212)x2y2(1xy)2xy(1xy)21，即x2y2(1xy)2，当且仅当xy1xy，即xy时，x2y2(1xy)2取得最小值.答案B6.设m，n，p为正实数，且m2n2p20，则的最小值为A.0 B.3 C.1 D.答案D7.设a，b，c，d均为正实数，P(abcd)·，则P的最小值为_.答案168.已知a，b，c是正实数，且abbcac1，则abc的最大值为_.解析因为a，b，c是正实数，且abbcac1，所以，所以(abc)2，所以abc，当且仅当abc时等号成立，即abc的最大值为.答案9.设xyz19，则函数u的最小值为_.答案10.设a，b，c为正数，求证：abc.证明(abc)·()2()2()2(abc)2，即(abc)(abc)2，又a，b，cR，abc0，abc.11.设a，b，c为正数，求证：(abc).证明由柯西不等式得·ab，即·ab.同理·bc.·ca.将以上三个不等式同向相加得( )2(abc).(abc).12.已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值.解析(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立.又a>0，b>0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc，又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)(abc)216，即a2b2c2，当且仅当，即a，b，c时等号成立，故a2b2c2的最小值为.5