【复习方略】（湖北专用）2014高中数学 证明不等式的基本方法课时训练 文 新人教A版.doc

课时提升作业(六十三)一、选择题1.设a+b<0,且b>0,则()(A)b2>a2>ab(B)a2<b2<-ab(C)a2<-ab<b2(D)a2>-ab>b22.(2013·咸宁模拟)若a>b>c,则()(A)大于0(B)小于0(C)小于或等于0(D)大于或等于03.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc>0,则的值()(A)一定是正数(B)一定是负数(C)可能是0(D)正、负不能确定4.若x2+xy+y2=1,且x,yR,则n=x2+y2的取值范围是()(A)0<n1(B)2n3(C)n2(D)n25.已知ab>0,x=,则有()(A)x>y(B)xy(C)xy(D)x<y6.已知a>2,b>2,则a+b与ab的大小关系是()(A)a+b>ab(B)a+b<ab(C)a+bab(D)a+bab7.若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则()(A)R<P<Q(B)P<Q<R(C)Q<P<R(D)P<R<Q8.(2013·武汉模拟)设a,b,c为正实数,且a+b+c=1,若M=(-1)(-1)(-1),则必有()(A)0M<(B)M<1(C)1M<8(D)M89.“”是“|x-y|<1”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件10.下列不等式:a2+2>2a;a2+b2>2(a-b-1);(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2.其中,恒成立的有()(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个11.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是()(A)(a+b)()4(B)a3+b32ab2(C)a2+b2+22a+2b(D)二、填空题12.若x3或y-1,M=x2+y2-6x+2y,N=-10,则M与N的大小关系是.13.已知等比数列an的各项均为正数,且公比q1,若则P与Q的大小关系为.14.A=与(nN*)的大小关系为.15.设ab>0,下面四个不等式中,正确命题的序号是.|a+b|>|a|;|a+b|<|b|;|a+b|<|a-b|;|a+b|>|a|-|b|.三、解答题16.(2013·荆州模拟)(1)设x是正实数,求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)8x3.(2)若xR,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)8x3是否仍然成立?如果成立,请给出证明,如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.答案解析1.【解析】选D.根据题意,设a=-3,b=2,a2=9,-ab=6,b2=4,a2>-ab>b2,故选D.2.【解析】选A.方法一:,又a>b>c,a-b>0,a-c>0,b-c>0,>0.方法二:a>b>c,a-c>b-c>0,>0,故选A.3.【解析】选B.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,且a2+b2+c2>0(由abc>0知a,b,c均不为0),ab+bc+ca<0,因此<0.4.【思路点拨】可利用xy建立关于n的不等式,同时要注意隐含条件(x+y)20.【解析】选D.x2+y22xy,1=x2+y2+xy(x2+y2),即n.又(x+y)2=x2+y2+2xy=n+2(1-n)0,n2,n2.5.【思路点拨】作立方差,然后变形,判断符号,得出答案.【解析】选C.x3-y3=()3-()3=(a-3+3-b)-(a-b)=3(-).ab>0,ab(b-a)0,ab2a2b,x3y3,xy.6.【解析】选B.方法一:a>2,b>2,a-1>1,b-1>1,(a-1)(b-1)>1,即ab-a-b>0,ab>a+b,故选B.方法二:a>2,b>2,0<<1,即0<<1,0<a+b<ab,故选B.7.【解析】选B.a>b>1,lga>lgb>0,R=lg()>lg=(lga+lgb)=Q.P<Q<R.【变式备选】已知a>0,b>0,若P是a,b的等差中项,Q是a,b的正的等比中项,是的等差中项,则P,Q,R按从大到小的排列顺序为.【解析】由已知P=,Q=,即R=,显然PQ,又=,QR,PQR.答案:PQR8.【解析】选D.由已知得M=【变式备选】已知a,b(0,+),且a+b=1,求证:(1)8.(2)a2+b2.(3) 8.(4) (a+)2+(b+)2.(5)(a+)(b+).(6)2.【思路点拨】以上六个不等式的左边都含有(或隐含有)ab或,因此只要利用a+b=1得出ab及的范围,就能够证出以上六个不等式.【证明】由得ab4.(1)=(a+b)()+2·2+4=4+4=8,8.(2)a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-2×=,a2+b2.(3)8,8.(4)由(2)、(3)的结论,知(a+)2+(b+)2=a2+b2+4+4+8=,(a+)2+(b+)2.(5)方法一:欲证原式,即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40,即证4(ab)2-33ab+80,即证ab或ab8.a>0,b>0,a+b=1,ab8不可能成立.1=a+b2,ab,从而得证.方法二:a+b=1,a>0,b>0,a+b2,ab,(a+)(b+)-=0.(a+)(b+).方法三:a+b=1,a>0,b>0,a+b2,ab,1-ab1-=(1-ab)2,即(a+)(b+).(6)方法一:x>0,y>0,x+y2,2(x+y)(x+y)+2=()2,由此得: =方法二:要证即证()28,即证2(a+b)+2+28,a+b=1,从而只需证2,即证2,只需证ab,而a>0,b>0,1=a+b2,ab显然成立,故原不等式成立.9.【解析】选A.|x-y|=|(x-1)-(y-1)|x-1|+|y-1|<=1.是|x-y|<1的充分条件,取则有|x-y|=<1,但|y-1|=不满足|y-1|<,不是|x-y|<1的必要条件,故选A.10.【解析】选C.(a2+2)-2a=(a-1)2+1>0,a2+2>2a恒成立.(a2+b2)-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)20,(当且仅当a=1,b=-1时等号成立)a2+b2>2(a-b-1)不恒成立.(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=a2d2+b2c2-2abcd=(ad-bc)20,(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2不恒成立.11.【解析】选B.a>0,b>0,由(a+b) 2+2=4,知A恒成立;知D恒成立.a2+b2+22()2+2=+2,知C恒成立.12.【解析】M-N=x2+y2-6x+2y+10=(x-3)2+(y+1)2又x3或y-1,M-N=(x-3)2+(y+1)2>0,即M>N.答案:M>N【方法技巧】1.作差比较法(1)作差比较法的一般步骤是:作差、变形、判断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等.(2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时,常用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法的一般步骤是:作商、变形、判断与1的大小关系,得出结论.(2)若所证不等式的两边是积、商、幂、对数、根式形式时,常用作商比较法.(3)利用作商比较法时,要注意分母的符号.13.【解析】由等比数列的性质得a2a9=a4a7,由已知a2>0,a9>0,a2a9,P=.答案:P>Q14.【解析】当n=1时,A=1,当n>1时,A=1+>综上可知,A.答案:A15.【解析】ab>0,a,b同号,|a+b|=|a|+|b|,和正确.答案:16.【解析】(1)因为x是正数,由基本不等式知,x+12,1+x22x,x3+12,故(x+1)(x2+1)(x3+1)2·2x·2=8x3(当x=1时等号成立).(2)若xR,不等式(x+1)(x2+1)(x3+1)8x3仍然成立.由(1)知,当x>0时,不等式成立;当x0时,8x30.而(x+1)(x2+1)(x3+1)=(x+1) 2(x2+1)(x2-x+1)=(x+1)2(x2+1)0,此时不等式仍然成立.- 9 -