河北省唐山市滦县2018届高三数学上学期期中试题理.doc

2017-2018学年度第一学期期中考试高三理科数学试题 第I卷（选择题）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合Ay|y2x，xR，Bx|x21<0，则AB A(1,1) B(0,1) C(1，) D(0，)2.复数z满足z（1i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.在区间1，2上任选两个数x，y，则y 的概率为A2ln21 B1ln2 C Dln24.在等比数列an 中，a1=4，公比为q，前n项和为Sn，若数列Sn+2也是等比数列，则q等于A2 B2 C3 D35.函数f（x）=x|x|若存在x1，+），使得f（x2k）k0，则k的取值范围是A（2，+） B（1，+） C（，+） D（，+）6.若，则|a0|a1|+|a2|a3|+|a4|a5|=A0 B1 C32 D17.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A32 B18 C16 D108.如图程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=A0 B5 C45 D909.设函数 的图象关于直线x=对称，它的周期是，则A f（x）的一个对称中心是（，0） Bf（x）在上是减函数C f（x）的图象过点（0，） D将f（x）的图象向右平移|个单位得到y=3sinx的图象10.过双曲线=1（a0，b0）的左焦点F（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为A B C D11.设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0则当取得最大值时，的最大值为（）A0 B1 C D312. 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：P，Q都在函数yf(x)的图象上；P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数yf(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)已知函数f(x)有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是A(，0) B(0,1) C. D(0，) 第II卷（非选择题）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.D为ABC的BC边上一点，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若， 其中0，0，= 14.若实数满足，则的最小值为 .15.已知F为抛物线C：y2=2px（p0）的焦点，过F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，设|FA|FB|，则=16.在正三棱锥VABC内，有一个半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积的最小时，其底面边长为三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在右图所示的四边形ABCD中，BAD90°，BCD150°，BAC60°，AC2，AB1. (1)求BC；(2)求ACD的面积18如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且ABBP2，ADAE1，AEAB，且AEBP.(1)设点M为棱PD的中点，求证：EM平面ABCD；(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值为？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由19汽车4S店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等某品牌汽车4S店为了了解A，B，C三种类型汽车质量问题，对售出的三种类型汽车各取前100辆进行跟踪服务，发现各车型一年内需要维修的车辆数如下表1.(1)某公司一次性从4S店购买该品牌A，B，C型汽车各一辆，记表示这三辆车一年内需要维修的车辆数，求的分布列及数学期望(把各类型汽车维修的频率视为其需要维修的概率)(2)该品牌汽车4S店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的各种价格进行试销相等时间，得到数据如下表2.预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从bxa，(b0.2，ab)的关系，且该产品的成本是500元/件，为使4S店获得最大利润(利润销售收入成本)，该产品的单价应定为多少元？表1车型ABC频数202040表2单位x(元)800820840860880900销量y(件)90848380756820设椭圆C：1(a>b>0)，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且SBF1F24，离心率为，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M，N，且满足 |？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由21已知函数f(x).(1)当x0时，f(x)(m>0)恒成立，求实数m的取值范围；(2)求证：f(x)ln x<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程将圆（为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线（1）求曲线的普通方程；（2）设，是曲线上的任意两点，且，求的值23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求的取值范围滦县二中2017-2018学年度第一学期期中考试试题高三数学理科答案 CDACD AACAA BB13. 3 14. 15. 3+2 16. 17.(1)在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22AB·ACcosBAC6，所以BC.(2)在ABC中，由正弦定理得，则sinABC，又0°<ABC<120°，所以ABC45°，从而有ACB75°，由BCD150°，得ACD75°，又DAC30°，所以ACD为等腰三角形，即ADAC2，故SACD1.18.(1)证明：因为平面ABCD平面ABPE，且BCAB，所以BC平面ABPE，所以BA，BP，BC两两垂直以B为原点，的方向分别为x轴、y轴 、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,2,0)，D(2,0,1)，M，E(2,1,0)，C(0,0,1)，所以. 易知平面ABCD的一个法向量为n(0,1,0)，所以·n·(0,1,0)0，所以n.又EM平面ABCD，所以EM平面ABCD.(2)当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.理由如下：因为(2，2,1)，(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得取y11，得平面PCD的一个法向量为n1(0,1,2)假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.设(01)， 则(2，2,1)(2，2，)，(2，22，) 所以sin|cos，n1|.所以92845，解得1或(舍去)因此，线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.19.(1)根据表格，A型车维修的概率为，B型车维修的概率为，C型车维修的概率为.由题意，的可能取值为0,1,2,3，P(0)××； P(1)××××××；P(2)××××××； P(3)××.所以的分布列为：0123P所以E()0×1×2×3×.(2)设获得的利润为w元，根据计算可得850，80，代入回归方程得0.2x250. 所以w(0.2x250)(x500)0.2x2350x125000，该函数图象是开口向下，以直线x875为对称轴的抛物线，所以当x875时，w取得最大值，即为使4S店获得最大利润，该产品的单价应定为875元20.(1)因为椭圆C：1(a>b>0)，由题意得SBF1F2×2c×b4，e，a2b2c2，所以椭圆C的方程为1.(2)假设存在圆心在原点的圆x2y2r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M，N，且满足|，则有·0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为ykxm，解方程组得x22(kxm)28，即(12k2)x24kmx2m280，则16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)>0，即8k2m24>0，x1,2，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2，要使·0，需x1x2y1y20， 即0，所以3m28k280，所以k20，又8k2m24>0，所以所以m2，即m或m，因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r，r2，r，所求的圆为x2y2，此时圆的切线ykxm都满足m或m，而当切线的斜率不存在时，切线为x±，与椭圆1的两个交点为或，满足·0.综上，存在圆心在原点的圆x2y2满足条件21.(1)x0，f(x)(m>0)恒成立，m2>0在x0时恒成立，即m在x0时恒成立令g(x)(x0)，即g(x)0，g(x)在0，)上单调递减，g(x)maxg(0)1，m的取值范围是1，)(2)证明：要证f(x)ln x<，即证ln x<， x>0，x1>0，只需证ln x<ex2.令h(x)ex2ln x，则h(x)ex2，且h(1)1<0，h(2)1>0，必有x0(1,2)，使得h(x0)0，即ex020， x02ln x0.h(x)在(0，x0)上是减函数，在(x0，)上是增函数， h(x)minh(x0)ex02ln x0x02>0，ex2ln x>0，即ln x<ex2. 故f(x)ln x<. 22.(1)设为圆上的任意一点，在已知的变换下变为上的点，则有 （2）曲线C化为极坐标方程得：，设A（），B（），则|OA|=，|OB|= =.23.（）当时，当时，不等式等价于，解得，；当时，不等式等价于，即，解集为空集；当时，不等式等价于，解得，故原不等式的解集为（） ，原命题等价于，即，- 8 -