高中数学一轮复习最基醇点系列考点5导数与函数的极值最值.doc

专题5 导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值1函数的极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近的其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值2函数的极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值3函数的极值极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.知图判断函数极值情况的策略知图判断函数极值情况的思路是：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴交点的横坐标为函数的极值点例设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析由图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值答案 D1.已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)2.已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0，当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40，由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)4.所以1abc4，得c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.3.(2013·新课标全国卷)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图象是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点，则 f(x0)0解析：选C因为函数f(x)的值域为R，所以一定x0R，f(x0)0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(xm)3n(xm)h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为yx3nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2x1，即函数在到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确1.若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为()A.B.C.D.解析：选D若函数f(x)x32cx2x有极值点，则f(x)3x24cx10有根，故(4c)212>0，从而c>或c<.故实数c的取值范围为，.2.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A1 B2 C3 D4解析：选B由函数极值的定义和导函数的图象可知，f(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个3.已知函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，则实数m()A0 B1 C2 D33.函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为()A1e B1 Ce D0解析：选B因为f(x)1，当x(0,1)时，f(x)>0；当x(1，e时，f(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e，所以当x1时，f(x)取得最大值ln 111.4.已知函数f(x)(2xx2)ex，则()Af()是f(x)的极大值也是最大值Bf()是f(x)的极大值但不是最大值Cf()是f(x)的极小值也是最小值Df(x)没有最大值也没有最小值5.函数f(x)xsin xcos x在上的最大值为_解析：因为f(x)sin xxcos xsin xxcos x，所以f(x)0在x上的解为x.又f，f，f()1，所以函数f(x)xsin xcos x在上的最大值为.答案：6.已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解：由题意知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因为f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值7.已知函数f(x)ax3bxc在x2处取得极值为c16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在3,3上的最小值 (2)由(1)知f(x)x312xc，f(x)3x212.令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)时，f(x)>0，故f(x)在(，2)上为增函数当x(2,2)时，f(x)<0，故f(x)在(2,2)上为减函数；当x(2，)时，f(x)>0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c，在x22处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，得c12，此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c164，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4._6