高中数学一轮复习最基醇点系列考点6利用导数研究生活中的优化问题.doc

专题6 利用导数研究生活中的优化问题利用导数研究生活中的优化问题1生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点2利用导数解决生活中优化问题的基本思路利用导数解决生活中的优化问题的步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答典例某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大1传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为且以每秒等速率缩短，而长度以每秒等速率增长.已知神针的底面半径只能从缩到为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为_ 【答案】4【解析】设原来神针的长度为，t秒时神针体积为则，其中。所以.因为当底面半径为时其体积最大，所以，解得，此时，解得，所以，其中， ，当时， ，当时， ，从而在(0,2)单调递增，在(2,8)单调递减， ，所以当时， 有最小值，此时金箍棒的底面半径为.2在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为 (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为（升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 (升）.（1）求关于的函数关系式；（2）求当下潜速度取什么值时，总用氧量最少.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；（2）利用基本不等式可得，时取等号，再结合cv15（c0），即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少（2），令得，在时， ，在时， ，函数在上单调递减，在上单调递增，此时， 时总用氧量最少.3现有一块大型的广告宣传版面，其形状如图所示的直角梯形某厂家因产品宣传的需要，拟出资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形（点在曲线段上，点在线段上）已知，其中曲线段是以为顶点，为对称轴的抛物线的一部分（1）求线段，线段，曲线段所围成区域的面积；（2）求厂家广告区域的最大面积【答案】(1) 曲线段所围成区域的面积：;(2) 面积最大值是.【解析】试题分析：(1) 以为轴，为轴建立平面直角坐标系，曲线段的方程为（），直线：，利用定积分求面积即可； (2) 厂家广告区域的面积为，利用导函数求最值即可.试题解析：（1）以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，曲线段的方程为（），直线：，线段与，曲线段所围成区域的面积：，令，得，当时，当时，在上是增函数，在上是减函数，厂家广告区域的面积最大值是1某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新的墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A32米，16米B30米，15米C40米，20米 D36米，18米解析：选A要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设堆料厂的宽为x米，则长为米，因此新墙总长为L2x(x>0)，则L2，令L0，得x±16.又x>0，x16.则当x16时，L取得极小值，也是最小值，即用料最省，此时长为32(米)故选A.2某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,0.048)，则银行获得最大收益的存款利率为()A3.2% B2.4% C4% D3.6%解析：选A依题意知，存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，银行应获得的利息是0.048kx2，所以银行的收益y0.048kx2kx3，故y0.096kx3kx2，令y0，得x0.032或x0(舍去)因为k>0，所以当0<x<0.032时，y>0；当0.032<x<0. 048时，y<0.因此，当x0.032时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益3已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为_米4(2017·北京东城模拟 )某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则y(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，则y3p2300p11 700.令y0得p2100p3 9000，解得p30或p130(舍去)则p，y，y变化关系如下表：p(20,30)30(30，)y0y极大值故当p30时，y取极大值23 000.又yp3150p211 700p166 000在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件30元时，所获利润最大为23 000元答案：3023 0005统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为yx3x8(0<x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，共耗油××403×40817.5(升)因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)·x2(0<x120)，h(x)(0<x120)令h(x)0，得x80.当x(0,80)时，h(x)<0，h(x)是减函数；当x(80,120时，h(x)>0，h(x)是增函数，所以当x80时，h(x)取得极小值h(80)11.25.易知h(80)是h(x)在(0,120上的最小值故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升_7